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江苏省南京一中等五校联考2015届高考数学四模试卷


江苏省南京一中等五校联考 2015 届高考数学四模试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上) 1. (5 分)已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N=. 2. (5 分)若复数 是纯虚数,则实数 a 的值为.

3. (5 分)某校选修乒乓球

课程的学生中,2014-2015 学年高一年级有 30 名,2014-2015 学年 高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在 2014-2015 学 年高一年级的学生中抽取了 6 名,则在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为. 4. (5 分)执行如图的流程图,得到的结果是.

5. (5 分)已知双曲线

的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为.

6. (5 分)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,则所得的两个点数中至少有一个是奇 数的概率为. 7. (5 分)已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于. 8. (5 分)直线 l 过点(﹣1,0) ,且与直线 3x+y﹣1=0 垂直,直线 l 与圆 C: (x﹣2) +y =1 交于 M、N 两点,则 MN=. 9. (5 分)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是. 10. (5 分)函数 y=sinα(sinα﹣cosα) (α∈[﹣ ,0])的最大值为.
2 2

11. (5 分) 已知△ ABC 是等边三角形, 有一点 D 满足

+

=

, 且|

|=

, 那么

?

=.

12. (5 分)已知函数 f(x)= =f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是.

,若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)

13. (5 分)已知函数 f(x)满足 f(x)=f( ) ,当 x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[ , 3]内,函数 g(x)=f(x)﹣ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是. 14. (5 分)各项均为实数的等差数列的公差为 2,其首项的平方与其余各项之和不超过 33, 则这样的数列至多有项.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π) ,其图象经过点 M( 且与 x 轴两个相邻的交点的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式; (2)在△ ABC 中,a=13,f(A)= ,f(B)= ,求△ ABC 的面积. , ) ,

16. (14 分)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D,求证:平面 AB1D⊥平面 ABM.

17. (15 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 4,F1、F2 为椭圆

左、右焦点,点 B 为下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(x0,y0)是椭圆 C 上第一象限的点.

①若 M 为线段 BF1 上一点,且满足

=

?

,求直线 OP 的斜率; + 为定值,并求出该定值.

②设点 O 到直线 PF1、PF2 的距离分别为 d1、d2,求证:

18. (15 分)如图,某广场为一半径为 80 米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域 OAB 内建 两个圆形花坛,该扇形的圆心角为变量 2θ(0<2θ<π) ,其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇 形,半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切,且与 OA、OB 相切. (1)求⊙P 的半径(用 θ 表示) ; (2)求⊙Q 的半径的最大值.

19. (16 分)已知 a 为实数,函数 f (x)=a?lnx+x ﹣4x. (1)是否存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值?证明你的结论; (2)若函数 f (x)在[2,3]上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; (3)设 g(x)=2alnx+x ﹣5x﹣ 数 a 的取值范围. 20. (16 分)已知两个无穷数列{an},{bn}分别满足|an+1﹣an|=2,b =4b ,且 a1=1,b1=
2

2

,若存在 x0∈[1,e],使得 f (x0)<g(x0)成立,求实

﹣1. (1)若数列{an},{bn}都为递增数列,求数列{an},{bn}的通项公式; * (2)若数列{cn}满足:存在唯一的正整数 r(r∈N ) ,使得 cr+1<cr,称数列{cn}为“梦 r 数列”; 设数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn, ①若数列{an}为“梦 5 数列”,求 Sn; ②若{an}为“梦 r1 数列”,{bn}为“梦 r2 数列”,是否存在正整数 m,使得 Sm+1=Tm,若存在,求 m 的最大值;若不存在,请说明理由.

【选做题】请考生在四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分. 【选修 4-1 几何证明选讲】 21. (10 分)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, 2 PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明:AD?DE=2PB .

【选修 4-2 矩阵与变换】 22. (10 分)已知矩阵 A= (1)求 A ; ﹣1 (2)满足 AX=A 二阶矩阵 X.
﹣1

【选修 4-4 坐标系与参数方程选讲】 23. 已知圆 C 的参数方程为 , 若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交

点,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 l,求直 线 l 的极坐标方程.

【不等式选讲】 2 2 2 24.已知实数 x,y,z 满足 3x+2y+z=1,求 x +2y +3z 的最小值.

【必做题】第 25 题,第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 25. (10 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=3, AA1=AC=4, AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC, (1)求二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求 的值.

26. (10 分) (1)证明:①C

+C

=C

;②C

=2C

(其中 n,r∈N ,0≤r≤n

*

﹣1) ; (2)某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行,比赛共设 2n+1 局,每局比赛甲获胜的 概率均为 p(p> ) ,首先赢满 n+1 局者获胜(n∈N ) . ①若 n=2,求甲获胜的概率; ②证明:总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大) .
*

江苏省南京一中等五校联考 2015 届高考数学四模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上) 1. (5 分)已知集合 M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则 M∩N=(0,1) . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:N={x|lg(2x+1)>0}={x|2x+1>1}={x|x>0}, ∵M={x|x<1}, ∴M∩N={x|0<x<1}=(0,1) , 故答案为: (0,1) 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)若复数 是纯虚数,则实数 a 的值为 1.

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用两个复数代数形式的乘除法法则求得 z 的值,再根据它是纯虚数,求得实数 a 的值.

解答: 解:∵复数

=

=

为纯虚数,故有 a﹣1=0,

且 a+1≠0, 解得 a=1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性 质,属于基础题. 3. (5 分)某校选修乒乓球课程的学生中,2014-2015 学年高一年级有 30 名,2014-2015 学年 高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在 2014-2015 学 年高一年级的学生中抽取了 6 名,则在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为 8. 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 首先根据 2014-2015 学年高一年级的总人数和抽取的人数, 做出每个个体被抽到的概 率,根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,利用这个概率乘以 2014-2015 学年高二的 学生数,得到 2014-2015 学年高二要抽取的人数. 解答: 解:∵2014-2015 学年高一年级有 30 名学生, 在 2014-2015 学年高一年级的学生中抽取了 6 名, ∴每个个体被抽到的概率是 =

∵2014-2015 学年高二年级有 40 名学生, ∴要抽取 40× =8 名学生, 故答案为:8 点评: 本题考查分层抽样,在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,本题解题的关 键是做出每个个体被抽到的概率, 用这个概率乘以指定年级的人数, 就可以得到这个年级要抽 取的样本数,本题是一个基础题.

4. (5 分)执行如图的流程图,得到的结果是 .

考点: 循环结构.

专题: 阅读型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用 是利用循环计算 S 的值,并输出,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变量的值进 行分析,不难得到输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S n 循环前/0 0 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 是 是 是 否 1 2 3

故最后输出的结果为: 故答案为: 点评: 本题主要考查了循环结构,以及根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,同时 考查了分析问题的能力,属于基础题.

5. (5 分)已知双曲线

的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由双曲线方程得它的渐近线方程为 y= 得到 c= x,对照已知条件得 = ,结合平方关系,

= a,从而求得该双曲线的离心率.

解答: 解:∵双曲线的方程为



∴该双曲线的渐近线方程为 y=

x

∵双曲线一条渐近线方程为 y= x, ∴ = ,得 b= a,所以 c= 因此,双曲线的离心率为 e= = 故答案为: = a

点评: 本题给出中心在原点的双曲线的一条渐近线方程,求双曲线的离心率,考查了双曲 线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 6. (5 分)将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,则所得的两个点数中至少有一个是奇 数的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,含有 36 个等可能基本事件,两数中至少有一个奇数包含 两个数有一个奇数,两个数都是奇数两种情况,这样做起来比较繁琐,可以选用它的对立事件 来,对立事件是两数均为偶数,通过列举得到结论. 解答: 解:将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 记“两数中至少有一个奇数”为事件 A, 则事件 A 与“两数均为偶数”为对立事件, 两数都是偶数包含(2,2) , (2,4) , (2,6) , (4,2) , (4,4) , (4,6) , (6,2) , (6,4) , (6,6)共 9 中结果, ∴P(A)=1﹣ 故答案为: 点评: 本题考查的是古典概型,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利 于理解概率的概念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题. 7. (5 分)已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于 15π. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线,进而求出圆锥的侧面积. 解答: 解:设圆锥的高为 h,底面半径为 r, ∵圆锥的底面半径为 3,体积是 12π, ∴ 即 h=4, ∴圆锥的母线长 l= , , = .

∴圆锥的侧面积 S=πrl=3×5π=15π, 故答案为:15π. 点评: 本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算,要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式. 8. (5 分)直线 l 过点(﹣1,0) ,且与直线 3x+y﹣1=0 垂直,直线 l 与圆 C: (x﹣2) +y =1 交于 M、N 两点,则 MN= .
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 用点斜式求得直线 l 的方程,再根据点到直线的距离公式求得弦心距,再利用弦长公 式求出弦长 MN 的值. 解答: 解:与直线 3x+y﹣1=0 垂直的直线的斜率为 ,∴直线 l 的方程为 y﹣0= (x+1) , 即 x﹣3y+1=0. 圆心 C(2,0)到直线 l 的距离 d= MN=2 故答案为: =2 . = , = ,∴弦长

点评: 本题主要考查用点斜式求直线的方程,直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式, 弦长公式的应用,属于基础题. 9. (5 分)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 4. 考点: 基本不等式;简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目由已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值,猜想到基本不 等式的用法,利用 a+b≥2 代入已知条件,化简为函数求最值. 解答: 解:考察基本不等式 x+2y=8﹣x?(2y)≥8﹣( 整理得(x+2y) +4(x+2y)﹣32≥0 即(x+2y﹣4) (x+2y+8)≥0,又 x+2y>0, 所以 x+2y≥4(当且仅当 x=2y 时取等号) 则 x+2y 的最小值是 4 故答案为:4. 点评: 此题主要考查基本不等式的用法, 对于不等式 a+b≥2 应用非常广泛,需要同学们多加注意. 10. (5 分)函数 y=sinα(sinα﹣cosα) (α∈[﹣
2

) (当且仅当 x=2y 时取等号)

2

在求最大值最小值的问题中

,0])的最大值为



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用倍角公式、两角和差公式可得:函数 y= ,0],可得 得最大值. ∈ ,因此 + ,由于 α∈[﹣ 取得最小值﹣1,y 取

解答: 解:函数 y=sinα(sinα﹣cosα)= sin2α= ∵α∈[﹣ ∴当 2 故答案为: ,0],∴ =﹣ , 即 α= . + , ∈ 时, ,∴

=





, .

取得最小值﹣1, y 取得最大值

点评: 本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 11. (5 分) 已知△ ABC 是等边三角形, 有一点 D 满足

+

=

, 且|

|=

, 那么

?

=3.

考点: 专题: 分析: 答. 解答:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 由已知画出图形,得到各向量的关系,求出等边三角形的边长,利用数量积公式解 解:由已知得到如图 + = ,且| |= ,

因为△ ABC 是等边三角形,有一点 D 满足 所以 EF∥CD,并且 EF= 所以 AD= ? =| || |cosD= ,所以 BE= , =

,AC=2,

=3;

故答案为:3.

点评: 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用,属于基础题.

12. (5 分)已知函数 f(x)= =f(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 a<4. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当

,若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)

<1,即 a<2 时,由二次函数的图象和性质,易得满足条件;当

≥ 1,

即 a≥2 时, 若存在 x1, x2∈R 且 x1≠x2, 使得 ( f x1) =f (x2) 成立, 则函数 ( f x) = 不为单调函数,即﹣1+a>2a﹣5,综合讨论结果可得答案. 解答: 解:当 <1,即 a<2 时,由二次函数的图象和性质,可知:



存在 x1,x2∈(﹣∞,1]且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立, 当 ≥1,即 a≥2 时,

若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立, 则﹣1+a>2a﹣5, 解得:a<4, ∴2≤a<4, 综上所述:实数 a 的取值范围是 a<4, 故答案为:a<4 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,分段函数的图象和性质,正确理解分 段函数的单调性,是解答的关键. 13. (5 分)已知函数 f(x)满足 f(x)=f( ) ,当 x∈[1,3]时,f(x)=lnx,若在区间[ , 3]内,函数 g(x)=f(x)﹣ax 与 x 轴有三个不同的交点,则实数 a 的取值范围是[ , ) .

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 根据已知即可求得 f(x)在[ ,1]上的解析式为 f(x)=﹣lnx,从而可画出 f(x)在 上的图象,而容易知道 g(x)与 x 轴交点个数便是 y=f(x)与 y=ax 交点个数.通过 图象可以看出直线 y=ax 在其与 f(x)=lnx 的切点和曲线 y=f(x)的右端点之间,从而分别求 出相切时 a 的值和经过右端点时 a 的值即可. 解答: 解:设 x∈ ,则 ∈[1,3];

∴根据条件



g(x)与 x 轴有三个不同的交点即表示函数 y=f(x)和函数 y=ax 有三个不同交点,如图所示:

由图可看出当直线 y=ax 与曲线 f(x)=lnx,x∈[1,3],相切时直线 y=ax 和曲线 y=f(x)有两 个公共点; 若直线 y=ax 再向下旋转便有三个交点,直到 y=ax 经过曲线 y=f(x)的右端点,再向下旋转 便成了两个交点; 设切点为(x0,lnx0) ,∴ ∴此时 lnx0=1,x0=e; ∴此时 a= ; y=f(x)的右端点坐标为(3,ln3) ; ∴直线 y=ax 经过右端点时,a= ∴实数 a 的取值范围是 故答案为:[ ) . ; . ,又 ,∴ ;

点评: 考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法,数形结合解题 的方法,以及直线和曲线相切时的斜率和曲线在切点处导数的关系. 14. (5 分)各项均为实数的等差数列的公差为 2,其首项的平方与其余各项之和不超过 33, 则这样的数列至多有 7 项. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 通过写出首项的平方与其余各项之和的表达式,利用一个数的平方最小为 0,化简即 可.

解答: 解: = =

+a2+a3+…+an=

+n +n(a1﹣1)﹣a1

2

+(n﹣1) (a1+n) +(n﹣1)a1+n(n﹣1)

=(a1+ =(a1+

) +n(n﹣1)﹣ )+
2 2

2

≤33, ) =0,

为了使得 n 尽量大,故(a1+ ∴ ≤33,

∴(n﹣1) (3n+1)≤132, 当 n=6 时,5×19<132, 当 n=7 时,6×22=132, ∴nmax=7, 故答案为:7. 点评: 本题考查求数列的项数,考查计算求解能力,注意解题方法的积累,属于难题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π) ,其图象经过点 M( 且与 x 轴两个相邻的交点的距离为 π. (1)求 f(x)的解析式; (2)在△ ABC 中,a=13,f(A)= ,f(B)= ,求△ ABC 的面积. , ) ,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: ①由图象与 x 轴两个相邻的交点的距离为 π 确定周期,然后以点 M( 函数解析式求 φ, ②由 f(A)= ,f(B)= =sinAcosB+cosAsinB= ,求出 sinA= ,sinB= ,再求 sinC=sin(A+B) , )代人

,根据正弦定理求边 b,然后应用面积公式即可.

解答: 解:①依题意 T=2π,∴ω=1, ∴函数 f(x)=sin(x+φ) ∵f( )=sin( +φ)= ,且 0<φ<π,

∴ ∴φ=

< .

+φ< π,

+φ= π,

∴f(x)=sin(x+

)=cosx ,∴A,B∈(0, ) ,

②∵f(A)=cosA= ,f(B)=cosB= ∴sinA= ,sinB= ,

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∵在三角形 ABC 中, =



,∴b=15, =84

∴S△ ABC= absinC= ×13×15×

点评: 本题主要考查怎样求函数解析式,灵活运用诱导公式,同角三角函数的基本关系, 正弦定理及面积公式. 16. (14 分)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点. (1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)设 M 为棱 CC1 的点,且满足 BM⊥B1D,求证:平面 AB1D⊥平面 ABM.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理即可证明 A1C∥平面 AB1D; (2)根据面面垂直的判定定理进行证明即可. 解答: 证明: (1)记 A1B∩AB1=O,连接 OD. ∵四边形 AA1B1B 为矩形,∴O 是 A1B 的中点, 又∵D 是 BC 的中点,∴A1C∥OD.…2 分 又∵A1C?平面 AB1D,OD?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D.…6 分 注意:条件“A1C?平面 AB1D,OD?平面 AB1D”少写一个扣除 2 分,两个都不写本小步 4 分 扣完! (2)∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点,

∴AD⊥BC.…8 分 ∵平面 ABC⊥平面 BB1C1C, 平面 ABC∩平面 BB1C1C=BC,AD?平面 ABC, ∴AD⊥平面 BB1C1C. 或利用 CC1⊥平面 ABC 证明 AD⊥平面 BB1C1C.…10 分 ∵BM?平面 BB1C1C,∴AD⊥BM.…12 分 又∵BM⊥B1D,AD∩B1D=D,AD,B1D?平面 AB1D, ∴BM⊥平面 AB1D. 又∵BM?平面 ABM, ∴平面 AB1D⊥平面 ABM. …14 分.

点评: 本题主要考查线面平行和面面垂直的判定,根据平行和垂直的判定定理是解决本题 的关键.

17. (15 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 4,F1、F2 为椭圆

左、右焦点,点 B 为下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(x0,y0)是椭圆 C 上第一象限的点. ①若 M 为线段 BF1 上一点,且满足 = ? ,求直线 OP 的斜率; + 为定值,并求出该定值.

②设点 O 到直线 PF1、PF2 的距离分别为 d1、d2,求证:

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)利用椭圆 C: c.即可求椭圆 C 的标准方程; (2) ①设 M (t, ﹣2t﹣2) , 由
2

+

=1(a>b>0)的离心率为

,短轴长为 4,求出 a,b,

=

?

, 得

, 代入椭圆方程得:

+6

(t+1) =1,求出 M 的坐标,即可求直线 OP 的斜率; ②求出点 O 到直线 PF1、PF2 的距离分别为 d1、d2,利用椭圆的定义证明:
2 2 2

+

为定值.

解答: 解: (1)由题意知,2b=4,∴b=2,又∵e= = 解得:a= ,c=1, =1; …4 分

,且 a =b +c ,

∴椭圆 C 的标准方程为

(2)①由(1)知:B(0,﹣2) ,F1(﹣1,0) ,∴BF1:y=﹣2x﹣2 设 M(t,﹣2t﹣2) ,由 = ?
2

…5 分 …7 分

,得

代入椭圆方程得:
2

+6(t+1) =1,
2

∴36t +60t+25=0,∴(6t+5) =0,∴t=﹣ ,∴M(﹣ ,﹣ ) ∴OM 的斜率为 ,即直线 OP 的斜率为 ;

…9 分 …10 分

②由题意,PF1:y=

(x+1) ,即 y0x﹣(x0+1)y+y0=0

…11 分

∴d1=

,同理可得:d2=



=

?

,=PF1+PF2=2a=

…15 分

点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题. 18. (15 分)如图,某广场为一半径为 80 米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域 OAB 内建 两个圆形花坛,该扇形的圆心角为变量 2θ(0<2θ<π) ,其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇 形,半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切,且与 OA、OB 相切. (1)求⊙P 的半径(用 θ 表示) ; (2)求⊙Q 的半径的最大值.

考点: 三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)设⊙P 切 OA 于 M,⊙Q 切 OA 于 N,记⊙P、⊙Q 的半径分别为 rP、rQ.可得 |OP|=80﹣rP,由此求得 rP 的解析式. (2)由|PQ|=rP+rQ,求得 rQ= 求得 rQ=80(﹣1﹣ (0<θ< ) .令 t=1+sinθ∈(1,2) ,

+ ) ,再利用二次函数的性质求得它的最大值.

解答: 解: (1)设⊙P 切 OA 于 M,连 PM,⊙Q 切 OA 于 N,连 QN, 记⊙P、⊙Q 的半径分别为 rP、rQ. ∵⊙P 与⊙O 内切,∴|OP|=80﹣rP, ∴ +rP=80,∴rP= (0<θ< ﹣ (0<θ< ) . =rP+rQ, ) .

(2)∵|PQ|=rP+rQ∴|OP|﹣|OQ|= ∴rQ= 令 t=1+sinθ∈(1,2) ,∴rQ=80?
2

=80(﹣1﹣

+ ) ,

令 m= ∈( ,1) ,rQ=80(﹣2m +3m﹣1) ,∴m= 时,有最大值 10.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,三角恒等变换,正弦函数的定义域和值域,求 三角函数的最值,属于基础题. 19. (16 分)已知 a 为实数,函数 f (x)=a?lnx+x ﹣4x. (1)是否存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值?证明你的结论; (2)若函数 f (x)在[2,3]上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; (3)设 g(x)=2alnx+x ﹣5x﹣ 数 a 的取值范围.
2 2

,若存在 x0∈[1,e],使得 f (x0)<g(x0)成立,求实

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)假设存在实数 a,使 f (x)在 x=1 处取极值,则 f′(1)=0,解出 a 的值,根 据 x=1 的左右均为增函数,则 x=1 不是极值点. (2)先对 f(x)进行求导,在[2,3]上单调增,则 f'(x)≥0 在[2,3]上恒成立.求得 a 的取 值范围. (3)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,即在[1,e]上存在一点 x0,使得 h (x0)<0,即函数 h(x)=x+ h(x)的最小值即可. 解答: 解: (1)函数 f (x)定义域为(0,+∞) ,f′(x)= +2x﹣4= 假设存在实数 a,使 f (x)在 x=1 处取极值,则 f′(1)=0,∴a=2,…2 分 此时,f′(x)= , 在[1,e]上的最小值小于零.对 h(x)求导.求出

∴当 0<x<1 时,f′(x)>0,f (x)递增;当 x>1 时,f′(x)>0,f (x)递增. ∴x=1 不是 f (x)的极值点. 故不存在实数 a,使得 f (x)在 x=1 处取极值. …4 分 (2)f′(x)= , …6 分

①当 a≥2 时,∴f′(x)≥0,∴f (x)在(0,+∞)上递增,成立; ②当 a<2 时,令 f′(x)>0,则 x>1+ ∴f (x)在(1+ ,+∞)上递增, <3,解得:﹣6<a<2 或 x<1﹣ ,

∵f (x)在[2,3]上存在单调递增区间,∴1+

综上,a>﹣6. …10 分 (3)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,即在[1,e]上存在一点 x0,使得 h (x0)<0,即函数 h(x)=x+ 在[1,e]上的最小值小于零.

﹣ ①当 a+1≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, 所以 h(x)的最小值为 q,由 h(e)=e+ 可得 a> ,

因为

,所以 a>



…12 分

②当 a+1≤1,即 a≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, 所以 h(x)最小值为 h(1) ,由 h(1)=1+1+a<0 可得 a<﹣2; …14 分 ③当 1<1+a<e,即 0<a<e﹣1 时,可得 h(x)最小值为 h(1+a)=2+a﹣aln(1+a) , 因为 0<ln(1+a)<1,所以,0<aln(1+a)<a 故 h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)>2 此时不存 在 x0 使 h(x0)<0 成立. 综上可得所求 a 的范围是: 或 a<﹣2. …16 分

解法二:由题意得,存在 x∈[1,e],使得 a(lnx﹣ )>x+ 成立. 令 m(x)=lnx﹣ ,∵m(x)在[1,e]上单调递增,且 m(1)=﹣1<0,m(e)=1﹣ >0 故存在 x1∈(1,e) ,使得 x∈[1,x1)时,m(x)<0;x∈(x1,e]时,m(x)>0 故存在 x∈[1,x1)时,使得 a< 或存在 x∈(x1,e]时,使得 a> 记函数 F(x)=
2

成立,…(☆) 成立,…(☆☆) …12 分

,F′(x)=
2 2

当 1<x≤e 时, (x ﹣1)lnx﹣(x+1) =(x ﹣1)? ∵G(x)=lnx﹣
2

=lnx﹣

﹣1 递增,且 G(e)=﹣
2

<0

∴当 1<x≤e 时, (x ﹣1)lnx﹣(x+1) <0,即 F′(x)<0 ∴F(x)在[1,x1)上单调递减,在(x1,e]上也是单调递减,…14 分 ∴由条件(☆)得:a<F(x)max=F(1)=﹣2 由条件(☆☆)得:a>F(x)min=F(e)= 综上可得,a> 或 a<﹣2. …16 分.

点评: 本题主要考查利用导数解决函数极值问题和利用导数解决函数单调性和参数取值范 围,2015 届高考常考题型,难度较大. 20. (16 分)已知两个无穷数列{an},{bn}分别满足|an+1﹣an|=2,b =4b ,且 a1=1,b1=

﹣1. (1)若数列{an},{bn}都为递增数列,求数列{an},{bn}的通项公式; * (2)若数列{cn}满足:存在唯一的正整数 r(r∈N ) ,使得 cr+1<cr,称数列{cn}为“梦 r 数列”; 设数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn, ①若数列{an}为“梦 5 数列”,求 Sn; ②若{an}为“梦 r1 数列”,{bn}为“梦 r2 数列”,是否存在正整数 m,使得 Sm+1=Tm,若存在,求 m 的最大值;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的应用;数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)an+1﹣an=2, ,判断得出调查网,等比数

列即可求解通项公式. (2)①根据题目条件判断:数列{an}必为 1,3,5,7,9,7,9,11,…,即前 5 项为首项 为 1,公差为 2 的等差数列,从第 6 项开始为首项 7,公差为 2 的等差数列, 求解 Sn 即可. ②运用数列{bn}为“梦数列”且 b1=﹣1,综合判断数列{bn}中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m,使得 Sm+1=Tm,显然 m≠1,且 Tm 为奇数,而{an}中各项均为奇数,即可 得出;m 必为偶数. 再运用不等式证明 m≤6,求出数列即可. 解答: 解: (1)数列{an},{bn}都为递增数列, ∴an+1﹣an=2, ,

∴an=2n﹣1,



(2)①∵数列{an}满足:存在唯一的正整数 r=5,使得 ar+1<ar,且|an+1﹣an|=2, ∴数列{an}必为 1,3,5,7,9,7,9,11,…,即前 5 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 从第 6 项开始为首项 7,公差为 2 的等差数列, 故 ;

②∵ ∴

即 bn+1=±2bn, ,

而数列{bn}为“梦数列”且 b1=﹣1, ∴数列{bn}中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m,使得 Sm+1=Tm,显然 m≠1,且 Tm 为奇数,而{an}中各项均为奇数, ∴m 必为偶数. 首先证明:m≤6. 若 m>7,数列{an}中 而数列{bn}中,bm 必然为正,否则 ,显然矛盾; (※) ∴ 设 易得 而 , , , (m>7) , , ,

∴{dm}(m>7)为增数列,且 d7>0 进而{cm}(m>7)为增数列,而 c8>0, ∴(Tm)min>(Sm)max, 即 m≤6. 当 m=6 时,构造:{an}为 1,3,1,3,5,7,9,…,{bn}为﹣1,2,4,8,﹣16,32,64,… 此时 r1=2,r2=4 所以 mmax=6,对应的 r1=2,r2=4. 点评: 本题综合考查了学生运用新定义,求解数列的问题,结合不等式,函数的思想求解, 考查了分析问题,解决问题的能力,属于难题. 【选做题】请考生在四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分. 【选修 4-1 几何证明选讲】 21. (10 分)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明:AD?DE=2PB .
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 利用切割线定理证明 DC=2PB,BD=PB,结合相交弦定理可得 AD?DE=2PB . 2 解答: 证明:由切割线定理得 PA =PB?PC. 因为 PC=2PA,D 为 PC 的中点,所以 DC=2PB,BD=PB.…5 分 由相交弦定理得 AD?DE=BD?DC, 2 所以 AD?DE=2PB .…10 分. 点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题. 【选修 4-2 矩阵与变换】 22. (10 分)已知矩阵 A= (1)求 A ; ﹣1 (2)满足 AX=A 二阶矩阵 X. 考点: 矩阵乘法的性质;二阶行列式与逆矩阵. 专题: 矩阵和变换. 分析: (1)通过变换计算即可; (2)通过 AX=A
﹣1 ﹣1

2

可得 X=A A ,计算即可. ,

﹣1

﹣1

解答: 解: (1)∵A=





∴A =

﹣1



(2)∵AX=A ,∴X=A A =

﹣1

﹣1

﹣1

=







点评: 本题考查矩阵乘法,注意解题方法的积累,属于基础题. 【选修 4-4 坐标系与参数方程选讲】 23. 已知圆 C 的参数方程为 , 若 P 是圆 C 与 x 轴正半轴的交

点,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 l,求直 线 l 的极坐标方程. 考点: 圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先求圆 C 的圆心坐标及点 P 的坐标,利用以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,设过点 P 的圆 C 的切线为 l,借助于正弦定理可求切线的极坐标方程 解答: 解:由题设知,圆心 2分 ∠CPO=60°,故过 P 点的切线的倾斜角为 30° 4 分 设 M(ρ,θ) 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点,则在△ PMO 中,∠MOP=θ,∠OMP=30° ﹣θ,∠OPM=150° 由正弦定理得 ,∴ 8分

∴ρcos(θ+60°)=1(或 ρsin(30°﹣θ)=1) ,即为所求切线的极坐标方程.10 分 点评: 本题以圆的参数方程为载体,考查直线的极坐标方程,关键是利用正弦定理求解. 【不等式选讲】 2 2 2 24.已知实数 x,y,z 满足 3x+2y+z=1,求 x +2y +3z 的最小值. 考点: 柯西不等式在函数极值中的应用. 专题: 选作题;不等式.

分析: 用条件 3x+2y+z=1,构造柯西不等式

进行解题即可 解答: 解:由柯西不等式,

,…(4 分) 所以 当且仅当 , ,即 时,等号成立,

所以 x +2y +3z 的最小值为

2

2

2



…(10 分)

点评: 本题主要考查了函数的最值,以及柯西不等式的应用,解题的关键是利用

进行解决. 【必做题】第 25 题,第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 25. (10 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=3, AA1=AC=4, AA1⊥平面 ABC; AB⊥AC, (1)求二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (2)在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,求 的值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立空间直角坐标系,求出平面 A1BC1 的法向量、平面 BB1C1 的法向量,利用 向量的夹角公式,即可求二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值;

(2) 设D (x, y, z) 是直线 BC1 上一点, 且 利用 AD⊥A1B,即可求 的值.

, 可得



解答: 解: (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 则 B(0,3,0) ,A1(0,0,4) ,B1(0,3,4) ,C1(4,0,4) , 设平面 A1BC1 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,即 ,

令 z=3,则 x=0,y=4,所以 =(0,4,3) . 同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 =(3,4,0) , 所以 cos< , >= .

由题知二面角 A1﹣BC1﹣B1 为锐角, 所以二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为 .…5 分 .

(2)设 D(x,y,z)是直线 BC1 上一点,且

所以(x,y﹣3,z)=λ(4,﹣3,4) .解得 x=4λ,y=3﹣3λ,z=4λ. 所以 由 因为 此时, . ,即 9﹣25λ=0.解得 .

,所以在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B. .…10 分.

点评: 本题考查二面角的平面角,考查利用空间向量解决数学问题,考查学生分析解决问 题的能力,属于中档题.

26. (10 分) (1)证明:①C

+C

=C

;②C

=2C

(其中 n,r∈N ,0≤r≤n

*

﹣1) ; (2)某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行,比赛共设 2n+1 局,每局比赛甲获胜的 概率均为 p(p> ) ,首先赢满 n+1 局者获胜(n∈N ) . ①若 n=2,求甲获胜的概率; ②证明:总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大) . 考点: 古典概型及其概率计算公式;排列、组合的实际应用. 专题: 概率与统计;排列组合;二项式定理. 分析: (1)①根据排列数公式证明即可,②由①得 C2n+2 (2)①甲获胜的概率 P=p (6p ﹣15p+10) , ②设乙每一局获胜的概率为 q,则 p+q=1,0<q< .记在甲最终获胜的概率为 Pn,根据超几 何分布得到 Pn,利用(1)的结论计算 Pn﹣Pn+1<0,问题得以证明. 解答: 解: (1) ①Cn +Cn
r r+1 3 2 n+1 *

=C2n+1 +C2n+1

n

n+1

=2C



=

+ =Cn+1
r+1

= ; ;
2 2 2 2 2 3 2

=

②由①得 C2n+2

n+1

=C2n+1 +C2n+1

n

n+1

=2C
3

(2)①若 n=2,甲获胜的概率 P=p +pC3 p (1﹣p)+pC4 p (1﹣p) =p (6p ﹣15p+10) , ②证明:设乙每一局获胜的概率为 q,则 p+q=1,0<q< . 记在甲最终获胜的概率为 Pn,则 Pn=p +pCn+1 p q+pCn+2 p p +…+pC2n p q =p n n 2 n n (1+Cn+1 q+Cn+2 q +…+C2n q ) , n+1 n n 2 n n n+2 n+1 n+1 2 n+1 n+1 ∴Pn﹣Pn+1=p (1+Cn+1 q+Cn+2 q +…+C2n q ) ﹣p (1+Cn+2 q+Cn+3 q +…+C2n+2 q ) , n+1 n n 2 n n n+1 n+1 2 n+1 n+1 =p [(1+Cn+1 q+Cn+2 q +…+C2n q )﹣(1﹣q) (1+Cn+2 q+Cn+3 q +…+C2n+2 q )], n+1 n n 2 n n n+1 n+1 2 n+1 n+1 =p [(1+Cn+1 q+Cn+2 q +…+C2n q )﹣(1+Cn+2 q+Cn+3 q +…+C2n+2 q )+q n+1 n+1 2 n+1 n+1 (1+Cn+2 q+Cn+3 q +…+C2n+2 q )], n+1 n n+1 2 n n+1 n n n+1 n+1 =p [(1﹣1)+q(Cn+1 ﹣Cn+2 +1)+q (Cn+2 ﹣Cn+3 +1)+…+q (C2n ﹣C2n+1 +C2n ) n+1 n+1 n+1 n+2 n+1 ﹣q ) (C2n+2 ﹣C2n+1 +q C2n+2 ], n+1 n+1 n+1 n+1 n+2 n+1 =p [﹣q ) (C2n+2 ﹣C2n+1 +q C2n+2 ], n+1 n+1 n+1 n+1 =p q (qC2n+2 ﹣C2n+1 )], n+1 n+1 n n =p q (2qC2n+1 ﹣C2n+1 )], n+1 n+1 n =p q C2n+1 (2q﹣1)<0, 所以 Pn<Pn+1, 即总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大) . 点评: 本题考查了排列数公式的应用,本题的运算量很大,需要耐心和认真,属于难题.
n+1 n n n n 2 n n n n+1


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