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高三数学考前复习资料---三角函数


三角函数

(一)常用公式和结论: 角是旋转量,终边是关键;角的加法可以解释为角的连续旋转。 1 扇形相关公式:弧长: l ?| ? | r 、面积: S ? lr 2 三角函数的定义: (代数比值定义、三角函数线) 1 ○设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则 ???? ? ???? ??? ? y y x 2 ○ 正弦线 MP 、 余弦线 O M 、正切线 AT sin ? ? ; cos ? ? ; tan ? ? ;
r
r

x

csc ? ?

r y

; sec ?

?

r x



cot ? ?

x y

.

注意: P、 M 、 O、 A、 T 的位置

注意结论: 1 ○三角函数的符号: 2 ○? 与

?
2

的关系

3 ○ sin ? 与 cos ? 关系

4 ○ | sin ? | 与 | cos ? | 关系

同角三角函数的基本关系式: (1)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 (2)商数关系: tan ? ?
2

sin ? ? csc ? ? 1
cos ? sin ?
2

cos ? ? sec ? ? 1 ;

sin ? cos ?
2

, cot ? ?


2

(3)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1

sec ? ? 1 ? tan ?

csc ? ? 1 ? cot ? .
2 2

诱导公式:奇变偶不变,符号看象限,注意:基础是把角分解成 k ? 1 ○奇偶是指的是

?
2

??

的倍数; 2 2 ○符号由整体角所在的象限对应三角函数的正负确定, ? 在参与变化是总是看作锐角对待 3 ○诱导公式的主要作用:化角(主要) 、负角 ? 正角 ?(0,2?)的角 ? 化函数名称:如: sin(
?
2 ? ? ) ? cos ? (0,

?

?
2

)

的角



主要方法及注意事项: 1、利用平方关系时,要注意开方后符号的选取;注意:进行三角代换 2、 诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为 ? 0, ?
?

??
2? ?

内角的三角函数值, 其解题思路是化负角为正角,

化复杂角为简单角,运用时应充分注意符号; 3、利用商数关系、倒数关系能够完成切割化弦; 2 2 4、涉及 sin ? , cos ? 的二次齐次式(如 a sin ? ? b sin ? cos ? ? c cos ? )的问题常采用“1”代换法求解; 5、涉及 sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 的问题常采用平方法求解; 6、涉及 sin ? , cos ? 的齐次分式(如
a sin ? ? b cos ? c sin ? ? d cos ?

)的问题常采用分式的基本性质进行变形.

两角和与差的三角函数、二倍角公式:公式的相互关系的记忆、比较 1 ○两角和与差的三角函数【注意公式的正用(求值)与逆用(化简) 】
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 、 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 、 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

三角函数
2 ○二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ? 、 cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? 、 tan 2? ?
2 2 2 2

2 tan ? 2 1? tan ?

3 ○重要变形公式:

1 ? sin 2? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) ,推广: 1 ? sin ? ? (sin
2

?
2

? cos

?
2

)

2

1 ? cos 2? ? 2 cos ? 、 1 ? cos 2? ? 2 sin ? (升幂) cos 2 ? ? ,
2 2

1? cos 2? 2

、 sin 2 ? ?

1? cos 2? 2

(降幂)

推广: 1 ? cos ? ? 2 cos

2

?
2

、 1 ? cos ? ? 2 sin

2

?
2

、 tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? tan ? ? tan ?

4 ○角的相互关系的确认: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )、 ? ? 2 ? ? ? ? (? ? ? )、 ? ? (? ? ? ) ? ?

5 ○辅助角公式: a sin ? ? b cos ? ?

a ? b sin(? ? ? ), (tan ? ?
2 2

b a

)

6 ○三角函数的化简方法: △观察角的存在情况,尽量减少角的种类(二倍角、和差组合角、诱导公式) ; △观察三角函数的种数(同角三角函数、诱导公式、常见:切割化弦) △次数尽量低(二倍角降次公式) △分母尽量不含三角函数 △根式的被开方数尽量不含三角函数(二倍角升次公式) △能求出值的要求出值 7 三角函数的求值 ○ 基本思路:先化简,在求值。 类型 1: 【给角求值类型】注意给定角的的相互关系之间的转化、注意非特殊角和特殊角之间的转化 类型 2: 【给值求值类型】关键是变角,使其角相同或具有某种关系 类型 3: 【给值求角类型】关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示出来,根据所的函数值结合角的 范围求角
1 2 3 4 5 6

三角函数的图像和性质

注意:五点作图法; y ? tan x 的图像类似确定

三角函数

三角形中的问题 a b c ? ? ? 2R ; 1、正弦定理 sin A sin B sin C
2 2 2 2

变式: a ? 2 R sin A 、 b ? 2 R sin B 、 c ? 2 R sin C
2 2 2 2 2

2、余弦定理: a ? b ? c ? 2 bc cos A 、 b ? a ? c ? 2 ac cos B 、 c ? b ? a ? 2 ab cos C
c os A
? 2 2 2 b ?c ?a 2 bc

、 cos B ?

2 2 2 a ? c ?b 2 ac

、 cos C ?

2 2 2 a ?b ?c 2 ab

3、三角形的面积:

S ? ABC ?

4、三角形中的常见结论:

bc sin A 2 2 2 1 2 ○A? B?C ?? ○在三角形中大边对大角,反之亦然 3 ○任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边

1

ab sin C ?

1

ac sin B ?

1

(二)常见主要出题考试方向: 1、先化简,求值、求取相应三角函数的性质 1 ○三角函数给予方式:直接给予、结合向量给予、介绍图像性质的方式给予
2 ○问题给予方式: 先进行常规化简, 注意特殊角三角函数值。 求三角函数的常规性质: 最小正周期 T ? (

2?

?

) 、

对称轴、对称中心{整体角转化成 y ? sin ? 、 、 y ? cos ? 利用他们的图像和性质完成分析}、 单调区间(注意复合函数的判断与应用) 、值域和最值(一般是以 x 的范围为基础配出整个三 角函数的取值范围) 、函数图像的变换(注意变换的设计科每种变换的特点与应用) ,等 T 注重函数性质的应用,如相邻两条对称轴之间的距离--- 等 2 2、在三角形环境中考察 1 2 ○出题方式:提供三角形中边角关系或者面积关系; ○问题方向:求某个角、某条边、求面积或其最值 处理方法:常根据题目给定的条件,确定以角或边的路线发展,利用正余弦几面积公式进行转移, 注意,从角走---三角函数的化简,注意 A ? B ? C ? ? 的应用; 、从边走常需要进行代数式的化简运算,注 意因式分解的作用;注意均值不等式的应用 (三)典型题目: 1、若 cos ? ? 0 , 且 sin 2? ? 0 , 则角 ? 的终边所在象限是 2、设 0 ? x ? 2? 且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x 则 x 的取值范围是 3、tan(? ? ? ) ?
2 5 , tan( ? ?

【三角函数基础考察】 【化简基础考察】 【角化简时,展与不展的处理】 【化简求相应函数特征】 【整体角转化和复合函数单调性】

?
4

)?
?
6

1 4

,则 tan(

?
4

?? ? )

4、函数 y = 2sin(

?
3

? x ) ? cos(

? x ) 的最小值为

5、函数 y ? sin( ? 2 x ? 6、若函数 7、设函数

?
3

) 的递减区间是

f ( x )? 2cos( ? x ?? )
f ( x ) ? 2 sin(

对任意实数 x 都有

f (

?
3

? x )? f (

?
3

?x)

,那么

f (

?
3

)?

【性质应用】 【性质应用】 【边角定位】 )

?
2

x?

?
5

)

,若对任意 x? R 都有

f ( x1 ) ? f ( x ) ? f ( x 2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最小值为

8、在 ?ABC 中,已知三边 a 、 b 、 c 满足 a cos A ? b cos B ? c cos C ,则三角形的形状是 9、函数 y ? sin 2 x 的图象经过适当变换可以得到 y ? cos 2 x 的图象,则这种变换可以是( A.右平移
?
4

B.沿左平移

?
4

C.左平移

?
2

D.右平移

?
2

【图像变换】

三角函数

10、 已知函数 f ( x ) ? 3 sin ? x ? cos ? x (? ? 0) ,y ? f ( x ) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? , 则 f ( x ) 的单调递增区间是( A. [ k ? ? ? , k ? ? 5? ], k ? Z
12 12

) 【性质应用】
[k? ?

B. [ k ? ? 5? , k ? ? 11? ], k ? Z C. [ k ? ? ? , k ? ? ? ], k ? Z D
12 12
3 6

?
6

, k? ?

2? 3

], k ? Z

11、函数 y ? sin( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 ,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则( A. ? ?

) 【给图求解析式】

?
2

,? ?

?
4

B. ? ?

?
3

,? ?
2

?
6

C. ? ?

?
4

,? ?

?
4

D. ? ?

?
4

,? ?

5? 4

12、已知函数 f ( x ) ? 2 3 cos x ? 2 sin x cos x ? 3 ,【常规】 (1) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) 若将 f ( x ) 的图象按向量 ( ?
?
3 ,0 )

平移后,再将所有点的横坐标缩小到原来的 倍,得到函数 g ( x ) 的
2

1

图象,试写出 g ( x ) 的解析式. (3) 求函数 g ( x ) 在区间 [ ? 13、设函数
f ( x ) ? sin(

? ?

, ] 上的值域 8 8

?x ?
4 ? 6

) ? 2 cos

2? x ?1 . 8

1 ○求 f ( x ) 的最小正周期. 【常规】

4 2 ○若函数 y ? g ( x ) 与 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x ) 的最大值. 3 ? 2 1 14、设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin x. ○求函数 f(x)的最大值和最小正周期.【常规+三角形】 3 1 c 1 2 ○设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4 2 ? ? cos x sin ? ? sin x ( 0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值. 【常规+三角形】 15、设函数 f(x)=2 sin x cos 2
1 ○求 ? .的值; 2 ○在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2 , f ( A) ?

3 2

,求角 C..

16、已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0,? ? 0,0 ?? ? )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点
2

?

之间的距离为

?
2

, 且图象上一个最低点为 M (

2? 3

,?2 )

1 .○求

f ( x)

的解析式; 2 当 x?[ ○

, ] , f ( x) 求 12 2

? ?

的值域.

? ? ? ? 17、已知 a ? ( 2 cos x ,1), b ? (cos x , 3 sin 2 x ? m ) , f(x)= a ? b 。 【向量和三角】
] 时,f(x)的最大值为 4,求实数 m 的值。 6 ? 2 5 ? ? ? sin sin | 18、已知向量 a ? (cos α, α ), b = (cos β, β ), a ? b | ? .【向量和三角】 5 π π 5 1 2 ? ○求 cos( α ? β ) 的值; ○若 0 ? α ? , ? β ? 0, 且 sin β ? ? , 求 sin α 的值. 2 2 13 7 2 A ? B ? cos 2 C ? . 19、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c= 7 ,且 4 sin 2 2 1 2 ○求角 C 的大小; ○求△ABC 的面积. 【三角形问题】
1 ○求函数在[0,?]上的单调增区间; 2 ○当 x ? [ 0 ,

?


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