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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第十三篇 推理证明、算法、复数第5讲 复 数)


第5讲 复 数

【2013年高考会这样考】 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是 高考的热点,并且一般在前三题的位置,主要考查对复数概念 的理解以及复数的加减乘除四则运算,难度较小. 【复习指导】 1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共 轭复数等,以及复数的几何意义. 2.要把复数的基本运算作为复习的重点,尤其是复数除法的 运算,如复数幂的运算与加法、除法的结合,复数的乘法与共 轭复数的性质相结合等.因考题较容易,所以重在练基础.

基础梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部 和 虚部 .若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数, 若 a=0且b≠0 ,则a+bi为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d (a,b,c,d∈R).

(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭?

a=c;b=-d(a,b,c,d∈R)
(4)复数的模



→ 向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+ bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2.

2.复数的四则运算 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·2=(a+bi)· z (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? (4)除法: = = z2 c+di ?c+di??c-di? ?ac+bd?+?bc-ad?i = (c+di≠0). c2+d2

一条规律 任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不能比较大 小. 两条性质 (1)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,in+in 1+in 2+in =0(各式中n∈N). 1+i 1-i (2)(1± =± i) 2i, =i, =-i. 1-i 1+i
2
+ + + + + +3

双基自测 -i 1.(人教A版教材习题改编)复数 (i 1+2i 1 A. 5 解析 1 B.- 5 1 C.- i 5 2 D.- 5

i?1-2i? -2-i i - =- = 5 1+2i ?1+2i??1-2i?

2 1 =- - i. 5 5 答案 D

1-3i 2.(2011· 天津)复数 =( 1-i A.2-i B.2+i C.-1-2i

). D.-1+2i

1-3i 1 1 解析 =2(1-3i)(1+i)=2(4-2i)=2-i. 1-i 答案 A

3.(2011· 湖南)若a,b∈R,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 解析 B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1

).

由(a+i)i=b+i,得:-1+ai=b+i,根据复数相等

得:a=1,b=-1. 答案 C

4.(2011· 广东)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z=( ). B.2+2i C.1-i D.1+i

A.2-2i 解析 答案

2?1-i? 2?1-i? 2 z= = = 2 =1-i. 1+i ?1+i??1-i? C

5.i2(1+i)的实部是________. 解析 i2(1+i)=-1-i. 答案 -1

考向一

复数的有关概念 ).

1+ai 【例1】?(2011· 安徽)复数 为纯虚数,则实数a为( 2-i 1 1 A.2 B.-2 C.- D. 2 2 [审题视点] 利用纯虚数的概念可求. 解析 1+ai ?1+ai??2+i? 2-a 2a+1 = = 5 + 5 i, 2-i ?2-i??2+i?

2-a 由纯虚数的概念知: 5 =0,∴a=2. 答案 A

复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与 虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实 部、虚部满足的方程即可.

z1 【训练1】 已知a∈R,复数z1=2+ai,z2=1-2i,若 为纯虚 z2 z1 数,则复数 的虚部为________. z2 解析 z1 2+ai ?2+ai??1+2i? 2-2a a+4 z2=1-2i=?1-2i??1+2i?= 5 + 5 i,

2-2a z1 z1 ∵ 为纯虚数,∴ =0,∴a=1.故 的虚部为1. z2 5 z2 答案 1

考向二

复数的几何意义

【例2】?在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为 A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ).

[审题视点] 利用中点坐标公式可求.

解析

复数6+5i对应的点为A(6,5),复数-2+3i对应的点为

B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4),故点C对 应的复数为2+4i. 答案 C

复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向 量、解析几何有机的结合在一起,能够更加灵活的解决问 题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位 置、加减法的几何意义、模的意义等.

1+i 2 【训练2】 (2011· 徐州一检)复数 +i 1-i 面内的第________象限. 解析 限. 答案 一 1+i 2 +i 1-i
012

012

对应的点位于复平

=i+1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象

考向三

复数的运算

【例3】?(2011· 上海)已知复数z1,满足(z1-2)(1+i)=1-i,复 数z2的虚部为2,且z1·2是实数,求z2. z [审题视点] 利用复数的乘除运算求z1,再设z2=a+2i(a∈R), 利用z1·2是实数,求a. z

1-i 解 由(z1-2)(1+i)=1-i,得z1-2= =-i, 1+i ∴z1=2-i. 设z2=a+2i(a∈R), ∴z1·2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. z ∵z1·2∈R. z ∴a=4. ∴z2=4+2i.

复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i的幂写成最 简形式.

【训练 3】 (2011· 湖北)i A.-i 解析 =-i. 答案 A B.-1 C.i

?1+i? ?2011 为虚数单位,则? =( ?1-i? ? ?

).

D.1

1+i ?1+i??1+i? 因为 = =i,所以原式=i2011=i4×502+3=i3 2 1-i

难点突破 27——复数的几何意义问题 复数的几何意义是复数中的难点,化解难点的关键是对复数的 几何意义的正确理解.对于复数的几何意义的理解可以从以下 两个方面着手: (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2,实际上就是指复 平面上的点 Z 到原点 O 的距离;|z1-z2|的几何意义是复平面上 的点 Z1、Z2 两点间的距离. → (2)复数 z、 复平面上的点 Z 及向量OZ 相互联系, z=a+bi(a, 即 → b∈R)?Z(a,b)?OZ.

2-i 【示例1】? (2011· 山东)复数z= (i为虚数单位)在复平面内 2+i 对应的点所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 ).

B.第二象限 D.第四象限

3+i 【示例2】? (2010· 新课标全国)已知复数z= 2, ?1- 3i? 则|z|=( 1 1 A.4 B.2 ). C.1 D.2

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