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解三角形及不等式练习题


不等式及解三角形练习题
一.选择题: 1.下列函数中,最小值为 2 的是( 1 A.y=x+ x 1 解析 x2+x2≥2 1 B.y=x2+x2 ) 1 1 D.y=sinx+sinx x +2
2

C.y= x2+2+

1 x2· 1 时,取等号.答案 x2=2,当 x=±

B )

2.(2012· 海南一模)当 x>1 时,关于函数 f(x)=x+ A.函数 f(x)有最小值 2 C.函数 f(x)有最小值 3 解析 ∵x>1,∴x-1>0.

1 ,下列叙述正确的是( x-1

B.函数 f(x)有最大值 2 D.函数 f(x)有最大值 3 1 1 =(x-1)+ +1≥2 x-1 x-1 C ) 1 ?x-1?· +1=3. x-1

当且仅当 x=2 时,取等号.答案

1 1 3.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则x +y 的最大值为( A.2 3 B.2 C.1 1 D.2

解析 ∵ax=by=3,∴x=loga3,y=logb3, a+b 1 1 1 1 ∴x+y=log 3+log 3=log3a+log3b=log3ab≤log3( 2 )2=log33=1.答案 a b C

4.(2012· 福建)若直线 y=2x

?x+y-3≤0, 上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ?x≥m,
3 C.2 D.2



实数 m 的最大值为( A.-1 解析

) B.1

作出可行域如答图 18-7 所示.

1

答图 18-7 由图可知,当直线 x=m 过直线 y=2x 与 x+y-3=0 的交点 A(1,2)时,m 取 得最大值,此时 m=1.答案 B )

5. (2011· 安徽)设变量 x, y 满足|x|+|y|≤1, 则 x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,-1 解析 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1

作出不等式|x|+|y|≤1 对应的平面区域如练答图 18-5.

练答图 18-5 由图易知当目标函数的图像经过点(0,1)时,取得最大值 2,经过点(0,-1) 时,取得最小值-2.答案 B ) D.等腰或直角三角形

6.在△ABC 中,a2tanB=b2tanA,则△ABC 是( A.等腰三角形 解析

B.等腰直角三角形 C.直角三角形

sin2AsinB sin2BsinA 由正弦定理得 cosB = cosA

2

π 得 sin2A=sin2B.∴2A=2B,或 2A+2B=π.即 A=B,或 A+B=2.答案 7. 11· 四川)在△ABC 中, sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC, 则 A 的取值范围是( π? ? A.?0,6? ? ? 解析 ?π ? B.?6,π? ? ? π? ? C.?0,3? ? ? ?π ? D.?3,π? ? ?

D

)

由正弦定理,得 a2≤b2 + c2 - bc. 由余弦定理可知 a2 = b2 + c2 -

1 2bccosA,于是 b2+c2-2bccosA≤b2+c2-bc,可得 cosA≥2.注意到在△ABC 中, π? ? 0<A<π,故 A∈?0,3?.答案 ? ? C

8.(2012· 荆州模拟)在△ABC 中,若 lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,则△ABC 的 形状是( ) B.等腰直角三角 C.等边三角形 D.等腰三角形

A.直角三角 解析

由已知得 lgsinA=lg2cosBsinC.∴sinA=2cosBsinC.

即 sin(B+C)=2cosBsinC.sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC, 即 sin(B-C)=0.∴B=C.答案 D

9.(2012· 唐山模拟)在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60° ,则此三角形的解 的情况是( A.有一解 ) B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定

3 40× 2 bsinC 解析 由正弦定理,得 sinB= c = 20 = 3>1,∴此三角形无解. 答案 C 10.在 ?ABC 中,若 (b ? c) : (c ? a) : (a ? b) ? 5 : 6 : 7 ,则 cos B 的值为( A.
11 16

) .

B.

11 14

C.

9 11

D.

7 8

二.解答题: 11.(13 分)如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与 岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿 正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α 的方向追赶渔 船乙,刚好用 2 小时追上.
3

(1)求渔船甲的速度. (2)求 sinα 的值. a 12.(1)已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b,b的取值范围; (2)已知-1<a+b<3,且 2<a-b<4,求 2a+3b 的取值范围. 解 (1)∵15<b<36,∴-36<-b<-15,

1 1 1 1 a 36<b<15.又 12<a<60,∴-24<a-b<45,3<b<4. (2)设 2a+3b=m(a+b)+n(a-b), ?m+n=2, 则? ?m-n=3, 5 m = ? ? 2, ∴? 1 ? ?n=-2.

又-1<a+b<3,且 2<a-b<4, 5 5 15 1 9 5 1 13 ∴-2<2(a+b)< 2 ,-2<-2(a-b)<-1.∴-2<2(a+b)-2(a-b)< 2 , 9 13 即-2<2a+3b< 2 . 13.(2011· 福建)设函数 f(θ)= 3sinθ+cosθ,其中角 θ 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y),且 0≤θ≤π. ?1 3? (1)若点 P 的坐标为? , ?,求 f(θ)的值; 2 2 ? ?

?x+y≥1, (2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω:?x≤1, ?y≤1
取值范围,并求函数 f(θ)的最小值和最大值. 解 (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得

上的一个动点,试确定角 θ 的

3 ? ?sinθ= 2 , ? 1 cos θ = ? ? 2.

3 1 于是 f(θ)= 3sinθ+cosθ= 3× 2 +2=2.

(2)作出平面区域 Ω(即三角形区域 ABC)如练答图 18-10 所示.

4

练答图 18-10 π 其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1),于是 0≤θ≤2. π π 2π ? π? 又 f(θ)= 3sinθ+cosθ=2sin?θ+6?,且 ≤θ+ ≤ , 6 6 3 ? ? π π π 故当 θ+6=2,即 θ=3时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; π π 当 θ+6=6,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值,且最小值等于 1. → → → → 14.(2012· 江苏)在△ABC 中,已知AB· AC=3BA· BC. (1)求证:tanB=3tanA; 5 (2)若 cosC= 5 ,求 A 的值. 解 → → → → (1)证明:∵AB· AC=3BA· BC,

→ → → → ∴|AB||AC|cosA=3|BA||BC|cosB, 即 cbcosA=3cacosB, 即 bcosA=3acosB. 由正弦定理,得 sinBcosA=3sinAcosB. 又 cosBcosA≠0,∴tanB=3tanA. 5 π (2)解:∵cosC= 5 ,∴0<C<2. 2 5 ∴sinC= 5 ,tanC=2.
5

∴tan[π-(A+B)]=2,∴tan(A+B)=-2. 即 tanA+tanB =-2. 1-tanAtanB 4tanA =-2. 1-3tan2A

由(1)知 tanB=3tanA,∴

1 解得 tanA=1,或 tanA=-3. π π ∵0<A<2,∴tanA=1,A=4.

6


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