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2103年浙江省高考数学(文科)详细解析版(PDF)


2013 年浙江文数试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、设集合 S={x|x>﹣2},T={x|﹣4≤x≤1},则 S∩T= A.[﹣4,+∞) 【答案】D 【解析】画出如右数轴即可的答案:S∩T=(﹣2,1]. 2、已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= A.5-5i

【答案】C 【解析】(2+i)(3+i)=6+5i+i2=6+5i-1=5+5i. 3、若 α∈R,则“α=0”是“sinα<cosα”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A π 【解析】α=0 时,sinα<cosα;α= 时,sinα<cosα.故选 A. 6 4、设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面, A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α 【答案】C 【解析】 若 m∥α, A. n∥α, m∥n 或 m⊥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面. 若 m∥α, 则 B. m∥β,则 α∥β 或 α 与 β 相交.D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 或 m ? β.故选 C. 5、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是 A.108cm3 C.92cm3 【答案】B 【解析】作出如下立体图.该图是由长方体截去一个三 俯视图 B.100 cm3 D.84cm3 正视图 3 4 2 侧视图 4 2 3 B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.7-5i C.5+5i D.7+5i
﹣4 ﹣2 第 1 题答图 1 x

B.(﹣2,+∞)

C.[﹣4,1]

D.(﹣2,1]

1 1 棱锥所得.体积为:6×6×3-(4×4× )×3× =100 cm3. 2 3
3 4 4 6

6 第 5 题答图

6、函数 f(x)=sin xcos x+ A.π,1 【答案】A 【解析】 f(x)=sin xcos x+

3 cos2x 的最小正周期和振幅分别是 2 C.2π,1 D.2π,2

B.π,2

3 1 3 π 2π cos2x= sin2 x+ cos2x=sin(2x+ ), T= =π, A=1. 2 2 2 3 |ω|

7、已知 a、b、c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则 A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 【答案】A 【解析】 f(0)=f(4),对称轴:x=﹣ 越大,故 a>0. 8、已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数 y=f′(x) 的图像如右图所示,则该函数的图像是 b =2,4a+b=0,f(4)>f(1),表明离对称轴越远值 2a B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】 观察其导函数 y=f′(x)的图像易得, 从﹣1 到 1, x 其导数值为正, 即斜率都大于 0, 函数 y=f(x)应为递增函数;x 从﹣1 到 0,其导数值增大,即函数 y=f(x)斜率增大;x 从 0 到 1,其导数值减小,即函数 y=f(x)斜率减小.对应答案易得选 B.

x2 9、如图 F1、F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公 4 共焦点 A、B 分别是 C1、C2 在第二、四象限的公共 点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 3 C. 2 6 2

A. 2 【答案】D

B. 3

D.

x2 y2 【解析】 2=3, 1(﹣ 3, F2( 3, 设 C2: 2- 2=1, c F 0), 0), A(m, n).a2+b2=3??①. 若 a b

? m2 ? n2 ? 1 ? 8 ? 4 四边形 AF1BF2 为矩形,则:AF1⊥AF2,即: ? ,解得: m 2 ? , 3 ? m ? 3 ? m ? 3 ? ?1 ? n n ?
1 x2 y2 8 1 n 2 ? .代入a2-b2=1,得:a2-b2=3??②.联立①②得:a2=2,b2=1,e= 3
= 6 . 2 b 1+( )2 a

10、设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下: a∧b= , ≤ ,> a∨b= , ≤ ,>

若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4,则 A.a∧b≥2,c∧d≤2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 【答案】C 【解析】 采取特例法是解决本题的最好方法. 如, a=1,b=4,a∧b=1, 令 排除 AB 选项; 令 c=0,d=1,c∨d=1,排除 C 选项;故选 C. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、已知函数 f(x)= x-1,若 f(a) =3,则实数 a=___________. 【答案】10 【解析】f(a) = a-1,a-1=9,a=10. 12、从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等),则 2 名都是女同学的 概率等于_________. B.a∧b≥2,c∨d≥2 D.a∨b≥2,c∨d≥2

1 【答案】 5 【解析】P= 3×2 1 = . 6×5 5

13、直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得的弦长等于_________. 【答案】4 5 |2×3-4+3| 【解析】圆(x-3)2+(y-4)2=25,圆心(3,4),r=5,d= = 5 . 22+12 弦长为: r2-d2 =4 5 . 14、某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等 于_________. 9 【答案】 5 3 5 7 【解析】S= ,k=2;S= ,k=3;S= ,k=4; 2 3 4 9 S= ,k=5,跳出程序. 5

?x ? 2 ? 15、设 z=kx+y,其中实数 x、y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
若 z 的最大值为 12,则实数 k=________. 【答案】2

?x ? 2 ? 1 ? 【解析】由题得: ? y ? x +2 ,作 2 ? ? y ? 2x ? 4 ?
出可行域如右所示: 目标函数:设 y=﹣kx+z,z 的最大 值肯定是过点 B(4,4)时的截距,代 入得:4=﹣4k+12,则 k=2. 16、设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2, 则 ab 等于______________. 【答案】-1

y

y=

1 x+2 2 y=2x-4

B(4,4) (2,3)C

A(2,0)

x

x=2

第 15 题答图

【解析】观察当 x=1 时,0≤1-1+a+b≤0,即 a+b=0, b=﹣a.??(※),代入得:0

≤x4-x3+ax﹣a≤(x2-1)2,即:0≤(x-1)(x3+a)≤(x2-1)2,下面研究 x≥1 时情况:当 x ≥1 时,x-1≥0,x3+a≥0,a≥﹣x3,由恒成立条件知:a≥﹣1.??①.(x-1)(x3+a) ≤(x2-1)2,即:x3+a≤x3+x2-x-1,即:a≤x2-x-1,由恒成立条件知:a≤﹣1.?? ②.综合①②知 a=﹣1,代回(※) 知 b=1.故:ab=﹣1. π |x| 17、设e1、e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x、y∈R.若e1、e2的夹角为 ,则 的最大 6 |b| 值等于_______. 【答案】2 |x| 5π 【解析】由余弦定理易得:|b|2=x2+y2-2xycos =x2+y2+ 3 xy,当 x=0 时, =0;当 6 |b|
2 2 ?y 3? 1 1 y |b|2 x ? y ? 3xy ? y ? |x| x≠0 时, 2= = ? ? ? 3 ?1= ? ? ? ? ≥4 ,故:|b|≤2,则 2 | x| ?x 2 ? 4 x x ?x? ? ?
2

2

|x| 的最大值等于 2. |b|

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解:(Ⅰ)由2a sin B ? 3b及正弦定理

a b ? ,得 sin A sin B

sin A ?
因为A是锐角,所以

3 . 2

π A? . 3
(Ⅱ)由余弦定理a ? b ? c ? 2bc cos A,得
2 2 2

b2 ? c2 ? bc ? 36. 又b ? c ? 8,所以

bc ?

28 . 3

1 由三角形面积公式S ? bc sin A, 2

得?ABC的面积为

7 3 . 3

19、在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. 解:(Ⅰ) 由题意得

5a3 ? a1 ? (2a2 ? 2)2,

d 2 ? 3d ? 4 ? 0.


d ? ?1或d ? 4.
所以

an ? ?n ? 11,n ? N?或an ? 4n ? 6,n ? N?.
(Ⅱ) 设数列 an }的前n项和为Sn.因为d ? 0,由(Ⅰ)得d ? ?1 an ? ?n ? 11 { , .则

当n ? 11时,

1 21 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? Sn ? ? n2 ? n. 2 2
当n ? 12时,

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? Sn ? 2S11 ?
综上所述,

1 2 21 n ? n ? 110. 2 2

? 1 2 21 n ? 11, ?? 2 n ? 2 n, ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n ? 12. ?2 ? 2

20、如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB= BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120° ,G 为 线段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 PAC 所成的角的正切 值; (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 PG 的值. GC

证:(Ⅰ) 设点O为AC,BD的交点.

由AB ? BC,AD ? CD,得BD是线段AC的中垂线.
所以O为AC的中点,BD ? AC.

又因为PA ? 平面ABCD,BD ? 平面ABCD, 所以
PA ? BD

所以 BD ? 平面APC.

( (Ⅱ) 连结OG.由Ⅰ)可知OD ? 平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,
所以?OCG是DG与平面APC所成的角. 由题意得

OG ?
在?ABC中,

1 3 PA ? . 2 2

O

第 20 题答图

AC ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ? 2 3.
所以

OC ?

1 AC ? 3. 2

在直角?OCD中,

OD ? CD2 ? OC 2 ? 2.
在直角?OCD中,

tan ?OGD ?

OD 4 3 ? . OG 3 4 3 . 3

所以DG与平面APC所成的角的正切值为

(Ⅲ) 连结OG.因为PC ? 平面BGD,OG ? 平面BGD,所以PC ? OG.

在直角?PAC中,得PC ? 15.
所以

GC ?
从而

AC ? OC 2 15 ? . PC 5

PG ?
所以

3 15 , 5

PG 3 ? . GC 2

21、已知 a∈R,函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 解:(Ⅰ) 当a ? 1时,f ?( x) ? 6 x ? 12 x ? 6,所以
2

f ?(2) ? 6.

又因为f (2) ? 4,所以切线方程为
y ? 6 x ? 8.

2 (Ⅱ) 记g (a)为f ( x)在闭区间[0, a ]上的最小值.
f ?( x) ? 6 x2 ? 6(a ? 1) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a).

令f ?( x) ? 0,得到
x1 ? 1,x2 ? a.
当a ? 1时,
x f′(x) 0 (0,1) ﹢ 1 0 极大值 f(x) 0 单调递增 3a-1 单调递减 a (3-a)
2

(1,a) ﹣

a 0 极小值

(a,2a) ﹢

2a

单调递增

4a3

比较f (0) ? 0和f (a) ? a 2 (3 ? a)的大小可得

1 ? a ? 3, ?0, g (a) ? ? 2 ?a (3 ? a), a ? 3.
当a ? ?1时,
x f′(x) 0 (0,1) ﹣ 1 0 极小值 f(x) 0 单调递减 3a-1 单调递增 ﹣28a3﹣24a2 (1,﹣2a) ﹢ ﹣2a

得 g (a) ? 3a ? 1 .

综上所述,f ( x)在闭区间[0, a ]上的最小值为 2
a ? ?1, ?3a ? 1, ? g (a) ? ?0, 1 ? a ? 3, ?a 2 (3 ? a), a ? 3. ?

22、已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点 F(0,1) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l:y=x-2 于 M、N 两点,求|MN|的最 小值. 解:(Ⅰ) 由题意可设抛物线C的方程为x ? 2 py( p ? 0),则
2

p ? 1, 2
所以抛物线C的方程为

x 2 ? 4 y.
(Ⅱ) 设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),直线AB的方程为

y ? kx ? 1 .

? y ? kx ? 1 由? 2 ,消去y,整理得 ?x ? 4 y
x2 ? 4kx ? 4 ? 0, 所以

x1 ? x2 ? 4k,x1 x2 ? 4.
从而

x1 ? x2 ? 4 k 2 ? 1 .

y1 ? ? y ? x, x1 ? ? y ? x ? 2, ?
解得点M的横坐标

xM ?

2 x1 ? x1 ? y1

2 x1 8 ? . 2 x1 4 ? x1 x1 ? 4

同理点N的横坐标

xN ?
所以

8 . 4 ? x2

MN ? 2 xM ? xN ? 2 8 8 ? 4 ? x1 4 ? x2 x1 ? x2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

?8 2 ?

8 2 k 2 ?1 . 4k ? 3
t ?3 . 4

令4k ? 3 ? t,t ? 0,则k ?
当t ? 0,

MN ? 2 2
当t ? 0,

25 6 ? ? 1 ? 2 2. t2 t

? 5 3 ? 16 8 MN ? 2 2 ? ? ? ? ? 2. ? t 5 ? 25 5
综上所述,t ? ? 25 4 8 ,即k ? ? , 的最小值是 MN 2. 3 3 5

2


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