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【教师版】2013高考数学(理)真题(含部分模拟新题)分类汇编—D单元 数列


D 单元

数列

D1 数列的概念与简单表示法 4.D1[2013· 辽宁卷] 下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
?an? p3:数列? n ?是递增数列; ? ?

p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真

命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4 4.D [解析] 因为数列{an}中 d>0,所以{an}是递增数列,则 p1 为真命题.而数列{an+3nd}也 是递增数列,所以 p4 为真命题,故选 D. 17.D1、D2[2013· 全国卷] 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2 2,且 S1,S2,S4 成等比数列, 求{an}的通项公式. 17.解:设{an}的公差为 d. 2 由 S3=a2 2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2 2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0, 此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(1 2+2d), 解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.

D2 等差数列及等有效期数列前 n 项和 12.D2[2013· 广东卷] 在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 12. 20 [解析] 方法一: a3+a8=2a1+9d=10, 而 3a5+a7=3(a1+4d)+a1+6d=2(2a1+9d)=20. 方法二:3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)=2(a3+a8)=20.

17.D1、D2[2013· 全国卷] 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2 2,且 S1,S2,S4 成等比数列, 求{an}的通项公式. 17.解:设{an}的公差为 d. 2 由 S3=a2 2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2 2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0, 此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),
[来源:学。科。网]

1

解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1. 20.D2、D4[2013· 山东卷] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的 2 前 n 项和 Rn. 20.解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1
? ?4a1+6d=8a1+4d, 得? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1, ?

解得 a1=1,d=2,因此 an=2n-1,n∈N*. n-1 n-2 n n (2)由题意知 Tn=λ- n-1,所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2 2 故 cn=b2n=
n-1 2n-2 ?1? ,n∈N*. 2n-1 =(n-1) ?4? 2

1 2 3 n-1 1?0 ?1? +2×?1? +3×?1? +…+(n-1)×?1? , 所以 Rn=0×? + 1 × ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 2 3 n-1 n 1?1 1 ?1? +2×?1? +…+(n-2)×?1? +(n-1)×?1? , 则 Rn=0×? + 1 × ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 4

两式相减得
n-1 n 1?1 ?1?2 ?1?3 3 ?1? -(n-1)×?1? Rn=? + + +…+ ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 4

1 ?1?n - 4 ?4? 1?n = -(n-1)×? ?4? 1 1- 4 1 1+3n?1?n = - , 3 3 ?4? 3n+1 1 整理得 Rn= 4- n-1 . 9 4 1 3n+1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= 4- n-1 . 9 4 16.D2,D3[2013· 四川卷] 在等差数列{an}中,a1+a3=8,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数 列{an}的首项、公差及前 n 项和. 16.解:设该数列公差为 d,前 n 项和为 Sn,由已知可得 2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+ 8d), 所以 a1+d=4,d(d-3a1)=0. 解得 a1=4,d=0 或 a1=1,d=3.即数列{an}的首项为 4,公差为 0,或首项为 1,公差为 3.
[来源:学科网 ZXXK]

3n2-n 所以,数列的前 n 项和 Sn=4n 或 Sn= . 2 16.D2,D5,B12[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15= 25,则 nSn 的最小值为________.
2

16.-49

n3-10n2 10 2 [解析] 由已知,a1+a10=0,a1+a15= ? d= ,a1=-3,∴nSn= ,易 3 3 3

得 n=6 或 n=7 时,nSn 出现最小值.当 n=6 时,nSn=-48;n=7 时,nSn=-49.故 nSn 的最小值 为-49. 12.D2,D3[2013· 重庆卷] 已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1, a2,a5 成等比数列,则 S8=________. 12.64 [解析] 设数列{an}的公差为 d,由 a1,a2,a5 成等比数列,得(1+d)2=1· (1+4d),解得 8(8-1) d=2 或 d=0(舍去),所以 S8=8×1+ ×2=64. 2

D3 等比数列及等比数列前 n 项和

2 1 14.D3[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an= 3 3 ________. 14.(-2)n
-1

2 1 2 1 2 2 [解析] 因为 Sn= an+ ①,所以 Sn-1= an-1+ ②,①-②得 an= an- an-1, 3 3 3 3 3 3

2 1 即 an=-2an-1,又因为 S1=a1= a1+ ? a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数 3 3 列,所以 an=(-2)n 1. 10.D3[2013· 北京卷] 若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. + 10.2 2n 1-2 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4), ∴40=20q,q=2, 又∵a2+a4=a1q+a1q3=20, + ∴a1=2,∴an=2n,∴Sn=2n 1-2. 3.D3[2013· 江西卷] 等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 3.A [解析] (3x+3)2=x(6x+6)得 x=-1 或 x=-3.当 x=-1 时,x,3x+3,6x+6 分别为 -1,0,0,则不能构成等比数列,所以舍去;当 x=-3 时,x,3x+3,6x+6 分别为-3,-6, -12,且构成等比数列,则可求出第四个数为-24.


1 15.D3,D4[2013·湖南卷] 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1)nan- n,n∈N*,则 2 (1)a3=________; 15.(1)- 1 a3=- . 16 1 1 1 ? [解析] (1)因 Sn=(-1)nan- 1n,则 S3=-a3-1,S4=a4- 1 ,解得 100-1 (2) ? ? 16 3?2 2 8 16

3

14.D3[2013· 辽宁卷] 已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x -5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 14.63 [解析] 由题意可知 a1+a3=5,a1·a3=4.又因为{an}为递增的等比数列,所以 a1=1, a3=4,
2

1×(1-26) 则公比 q=2,所以 S6= =63. 1-2 4 6.D3[2013· 全国卷] 已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( 3 A.-6(1-3 C.3(1-3
-10

)

1 ) B. (1-310) 9
-10

-10

) D.3(1+3

) an+1 1 1 =- ,所以数列{an}是公比为- 的 an 3 3

6.C [解析] 由 3an+1+an=0,得 an≠0(否则 a2=0)且

1 10 4×?1-?-3? ? ? ? ? ? 1 10 - 等比数列,代入 a2 可得 a1=4,故 S10= =3×?1-?3? ?=3(1-3 10). 1 ? ? ? ? 1+ 3 17.D3[2013· 陕西卷] 设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; 17.解:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a2+…+an=na1; - 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1(1-qn) ∴Sn= ,∴Sn=?a1(1-qn) 1-q ,q≠1. ? ? 1-q 16.D2,D3[2013· 四川卷] 在等差数列{an}中,a1+a3=8,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数 列{an}的首项、公差及前 n 项和. 16.解:设该数列公差为 d,前 n 项和为 Sn,由已知可得 2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+ 8d), 所以 a1+d=4,d(d-3a1)=0. 解得 a1=4,d=0 或 a1=1,d=3.即数列{an}的 首项为 4,公差为 0,或首项为 1,公差为 3. 所以,数列的前 n 项和 Sn=4n 或 Sn= 3n2-n . 2

3.D3[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 =( ) 1 A. 3 1 1 1 B.- C. D.- 3 9 9

3.C [解析] S3=a2+10a1 ? a1+a2+a3=a2+10a1 ? a3=9a1 ? q2=9,a5=9 ? a3q2=9 ? a3 a3 1 =1 ? a1= 2= ,故选 C. q 9 12.D2,D3[2013· 重庆卷] 已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1, a2,a5 成等比数列,则 S8=________.
4

12.64 [解析] 设数列{an}的公差为 d,由 a1,a2,a5 成等比数列,得(1+d)2=1· (1+4d),解得 8(8-1) d=2 或 d=0(舍去),所以 S8=8×1+ ×2=64. 2

D4 数列求和

2 2 17.D4[2013· 江西卷] 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an;

(2)令 bn=

n+1 5 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n ∈N*,都有 Tn< . 64 (n+2)2a2 n

2 2 解:(1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,得 [Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项为 an=2n.
[来源:Z+xx+k.Com]

n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= , (n+2)2a2 n 则 bn= Tn= 1 n+1 1 ?1 ? 2- 2 . 2= 4n (n+2) 16?n (n+2) ?
2

1 1 1 1 1 1 1? 1- 2+ 2- 2+ 2- 2+…+ - (n-1)2 16? 3 2 4 3 5

1 1 1 ? 2+ 2- n (n+1) (n+2)2? 1 1 1 1 1 1 5 1+ 2?= . = ?1+22-(n+1)2-(n+2)2?< ? 2 ? ? 16? 16 64 ? 20.D2、D4[2013· 山东卷] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的 2 前 n 项和 Rn. 20.解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1
?4a1+6d=8a1+4d, ? 得? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1, ?

解得 a1=1,d=2,因此 an=2n-1,n∈N*. n-1 n-2 n n (2)由题意知 Tn=λ- n-1,所以 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=- n-1+ n-2 = n-1 . 2 2 2 2 故 cn=b2n= 2n-2 1?n-1 * ? = (n - 1) - ?4? ,n∈N . 22n 1

1 2 3 n-1 1?0 ?1? +2×?1? +3×?1? +…+(n-1)×?1? , 所以 Rn=0×? + 1 × ?4? ?4? ?4? ?4? ?4?

5

2 3 n-1 n 1?1 1 ?1? +2×?1? +…+(n-2)×?1? +(n-1)×?1? , 则 Rn=0×? + 1 × ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 4

两式相减得
n-1 n 1?1 ?1?2 ?1?3 3 ?1? -(n-1)×?1? Rn=? + + +…+ ?4? ?4? ?4? ?4? ?4? 4

1 ?1?n - 4 ?4? 1?n = -(n-1)×? ?4? 1 1- 4 1 1+3n?1?n = - , 3 3 ?4? 3n+1 1 整理得 Rn= 4- n-1 . 9 4 1 3n+1 所以数列{cn}的前 n 项和 Rn= 4- n-1 . 9 4

D5 单元综合 18.D5[2013· 湖北卷] 已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式;
3 ? ?a3 ?a1=3, ? 1q =125, 18 . 解: (1) 设等比数列 {an} 的公比为 q ,则由已知可得 ? 解得 ? 或 2 ? ?|a1q-a1q |=10, ?

5

?q=3,

?a1=-5, ? ? ?q=-1. ?

5 - - 故 an= ·3n 1 或 an=-5· (-1)n 1. 3 3 19.D5[2013· 天津卷] 已知首项为 的等比数列{an}不 是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 . 2 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 19.解:(1)设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所以 S5+a5 a5 1 3 1 -S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2= = .又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- , a3 4 2 2 3 1- 3 - 故等比数列{an}的通项公式为 an= ×- n 1=(-1)n 1· n. 2 2 2

6

16.D2,D5,B12[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15= 25,则 nSn 的最小值为________. 16.-49 n3-10n2 10 2 [解析] 由已知,a1+a10=0,a1+a15= ? d= ,a1=-3,∴nSn= ,易 3 3 3

得 n=6 或 n=7 时,nSn 出现最小值.当 n=6 时,nSn=-48;n=7 时,nSn=-49.故 nSn 的最小值 为-49. 18.D5[2013· 浙江卷] 在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比 数列. (1)求 d,an; 18.解:(1))由题意得 a1·5a3=(2a2+2)2, 即 d2-3d-4=0. 所以 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. 3.[2013· 北大附中河南分校月考(四)] 已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2,则 2a7+a11 的最小值为( ) A.16 B.8 C.2 2 D.4 3.B [解析] 由题意 a4a14=(2 2)2=8,由等比数列的性质 a4a14=a2 9=8,又各项为正,所以 2a9 2a9 2a9 a9=2 2,则 2a7+a11= 2 +a9q2≥2 ×a9q2=2 2×a9=8,当且仅当 2 =a9q2,即 q4=2 时 q q2 q 取等号,选 B. 4.[2013· 昆明调研] 公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且-3a1,-a2,a3 成等差数 列,若 a1=1,则 S4=( ) A.-20 B.0 C.7 D.40 4.A [解析] 设数列的公比为 q(q≠1),因为-3a1,-a2,a3 成等差数列,所以-3a1+a3=- 2a2

7


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