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第6讲 §1.2.1 平面的基本性质(二)


第6讲
干线面确定平面的个数有关的问题. ¤知识讲解: .

§1.2.1

平面的基本性质(二)

¤学习目标: (1)理解公理三,并能运用它证明点、线共面的问题; (2)通过直观感知、操作确认,讨论若

1.公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.符号语言: A、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面 ? ,使 A∈ ? ,B∈ ? ,C∈ ? .图
?

A

B
C

形语言如右图所示.注意:①关注“不在同一条直线上”这一条件;②经过一点、两点或在同一条直线的若干点 有无数个平面; ③过不在同一条直线上的四个或更多的点, 不一定有平面; ④ “有且只有一个” 要准确理解, “有” 是说图形的存在, “只有一个”是说图形唯一. 2.公理 3 的作用:一是确定平面;二是可用其证明点、线共面问题. 3. 公理 3 的三个推论: 推论 1: 经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面. 符号语言:A ? l ?

l ?? . a?b ? A ? 有且只有一个平面 ? , 使 A∈ ? , 推论 2: 经过两条相交直线, 有且只有一个平面. 符号语言:
有且只有一个平面 ? ,使 a ? ? ,b ? ? .推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.符号语言:a∥b ? 有且只有一个平面 ? ,使 a ? ? , b ? ? .推论 1~3 的图形语言如下图所示:
?
A B
C l a

?

b

?

a b

4.对于公理 3 的三个推论,需注意:①公理 3 的三个推论均是确定平面的依据;②关注“不在同一直线上” 这个条件与条件“直线与直线外一点” 、 “两相交直线” 、 “两平行直线”的联系! ¤例题精讲: 【例 1】经过同一条直线上的 3 个点的平面( A.有且只有 1 个 解:答案 C 【例 2】已知:A∈l,B∈l,C∈l,D ? l.求证:直线 AD,BD,CD 共面. 解:因为 D ? l,所以 D 与 l 可以确定平面 ? (推论 1) . 又因为 A∈l,所以 A∈ ? , 即直线 AD,BD,CD 共面. 【例 3】求证:两两平行的三直线如果都与另一条直线相交,那么这四条直线共面. 注意:这种纯文字题需要写已知、求证,然后方可去证明. 已知:a∥b∥c,a ? d = A,b ? d = B,c ? d = C.求证:a、b、c、d 共面. 证明:因为 a∥b,由推论 3 可知直线 a,b 可确定一个平面,设为 ? . 因为 a ? d = A,b ? d = B,所以 A∈a,B∈b.由公理 1 可知:d ? ? . 因为 b∥c,由推论 3 可知直线 b,c 可确定一个平面,设为 ? .同理可知:d ? ? . 因为平面 ? 和平面 ? 都包含直线 b 和 d,且 b ? d = B,所以由推论 2 可知:经过两条相交直线,有且只有一 个平面.所以平面 ? 和平面 ? 重合. 所以 a、b、c、d 共面. 【例 4】每两条都相交且不共点的四条直线,必在同一平面内. (例 3 拓展) 证明:设直线 a、b、c、d 两两相交且不共点. b a c A B C d
?
A
D C

) C.有无数个 D.只有 0 个

B.有且只有 3 个

B

l

又 D∈ ? ,所以 AD ? ? (公理 1) .同理,BD ? ? ,CD ? ? ,所以 AD,BD,CD 在同一平面 ? 内.

?

? a、d 相交,? a、d 共面. ? b、 d 相交,? b、 d 共面. ? a、 b 相交,? a、 b 共面. ? a、b、d 共面. 同理 b、c、d 共面, a、c、d 共面.? a、b、c、d 在同一平面内.
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