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2014届陕西西工大附中高三上学期第一次适应性训练文数学卷(带解析)


2014 届陕西西工大附中高三上学期第一次适应性训练文数学卷(带解析) 一、选择题 1. 1+ 3i A. ?8

?

?

3

?(
B. 8

) C. ?8i D. 8i

2 2 2.记集合 A ? ( x, y ) | x ? y ? 16 和集合 B ? ?( x, y ) | x ? y ? 4 ? 0, x ? 0, y ? 0 ? 表示的平面

?

?

区域分别为 ?1 , ?2 ,若在区域 ?1 内任取一点 M ( x, y ) ,则点 M 落在区域 ? 2 内的概率 为( A. ) B.

1 2?

1 ?

C.

1 4

D.

? ?2 4?
x

3.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e 的反函数图像 重合,则 f(x)=( A. ln x ? 1 ) B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1) )

4.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是(

A.

8 3

B. 4

C. 2

D.

4 3

5.已知抛物线 y ? 8 x 的焦点与双曲线
2

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点重合,则该双曲线的离 a2

心率为( A.

) B.

2 5 5

4 15 15

C.

2 3 3

D. 3

6.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取出两瓶,若 取出的两瓶中有一瓶是蓝色,求另一瓶也是蓝色的概率( ) A.

1 10

B.

1 7

C.

1 4

D.

1 5

7.已知等差数列 ? an ? 中, S n 为其前 n 项和,若 a1 ? ?3 , S5 ? S10 ,则当 S n 取到最小 值时 n 的值为( A.5 B.7 ) C.8 D.7 或 8

8. 定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值, 则 ? 2 cos 的值为( )
试卷第 1 页,总 4 页

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? 3 ? ? 4 ?

A.4

B.3

C.2

D.―1

9.下图是两组各 7 名同学体重(单位: kg )数据的茎叶图.设1 , 2 两组数据的平均 数依次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ? 数) )

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均 n

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

二、填空题 10. 已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

, 则满足 f

? f ? x ? ? ? 1 的 x 的取值范围是



11.将全体正整数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为

. . . .

π 12.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ? ,则 B ? 3
2 2

13. 若直线 l :y ? kx ? 1 被圆 C:x ? y ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦最短, 则 k= 14.极坐标系下曲线 ? ? 4 sin ? 表示圆,则点 A( 4,

?
6

) 到圆心的距离为

试卷第 2 页,总 4 页

15.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交 于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? .

x? 2 ?| 1 16 . 若 关 于 x 的 不 等 式 | x ? 1 |? | a 存在实数解,则实数 a 的取值范围
是 三、解答题 17.已知在等比数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N ) ,求 {bn } 的前 n 项和 S n .
*



18.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c (Ⅰ)叙述并证明正弦定理; (Ⅱ)设 a ? c ? 2b , A ? C ?

?
3

,求 sin B 的值.

19. 某校有教职工 130 人, 对他们进行年龄状况和受教育情况 (只有本科和研究生两类) 的调查,其结果如图:

(Ⅰ)随机抽取一人,是 35 岁以下的概率为

17 ,求 a, b 的值; 26

(Ⅱ)从 50 岁以上的 6 人中随机抽取两人,求恰好只有一位是研究生的概率. 20.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,SA ? 底面 ABCD,SA=AD,点 M 是 SD 的中点,AN ? SC 且交 SC 于点 N.

(Ⅰ)求证:SB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:平面 SAC ? 平面 AMN. 21.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,短轴长为 4,且有一个焦点与抛物线 y ? 4 5 x 的
2

焦点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x
试卷第 3 页,总 4 页

轴上是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ?若存在,求出 P 点坐标;若不 存在,请说明理由. 22.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ? 率;

1 处的切线相互平行,求 a 的值及切线斜 2

(Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设函数 f ( x) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,证明:C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不 可能平行.

?1 ? ?3 ?

试卷第 4 页,总 4 页

2014 届陕西西工大附中高三上学期第一次适应性训练文数学卷(带解析)参考答案 1.A 【解析】 试题分析: 1+ 3i

?

?

3

? 13 ? 3 ?12 ? 3i ? 3 ?1?

? 3i ? ? ? 3i ?
2

3

? 1 ? 3 3i ? 9 ? 3 3i ? ?8 .

考点:复数的基本运算 2.A 【解析】 试题分析:如图所示,集合 A 表示的平面区域 ?1 的面积为 16? ,集合 B 表示的平面区域(阴 影部分) ? 2 的面积为

1 8 1 . ? 4 ? 4 ? 8 ,所以点 M 落在区域 ? 2 内的概率为 ? 2 16? 2?

考点:几何概型 3.D 【解析】
x 试题分析:将函数 f ? x ? 的图像向右平移一个单位长度变为 f ? x ? 1? ,函数 y ? e 的反函数

是 y ? ln x ,则有 f ? x ? 1? ? ln x ,设 t ? x ? 1 ,则 x ? t ? 1 ,所以 f ? t ? ? ln ? t ? 1? ,即函 数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? . 考点:1.反函数;2.函数图像的平移变换 4.B 【解析】 试题分析:三视图所对应的三棱锥如所示,

答案第 1 页,总 11 页

由三视图可知,这个几何体的高是 2 ,底面 ? ABC 中, AB ? 4 , AB 边上的高是 CD ? 3 , 所以该三棱锥的体积是 V ?

1 1 ? ? 4 ? 3? 2 ? 4 . 3 2

考点:1.三视图;2.棱锥的体积 5.C 【解析】 试题分析:抛物线的焦点坐标为 ? 2, 0? ,也是双曲线的一个焦点,所以 a ? 1 ? 2 ,解得
2 2

a ? 3 ,所以该双曲线的离心率是: e ?

c 2 2 3 ? ? . a 3 3

考点:1.抛物线的图像与性质;2.双曲线的图像与性质 6.C 【解析】 试题分析:设 A ? 其中一瓶是蓝色 , B = 另一瓶也是蓝色 ,则 P B A ? 考点:条件概率 7.D 【解析】

?

?

?

?

?

?

1 . 4

a1 ? ?3 ? ? a1 ? ?3 3 24 ? ? 试题分析:由已知得, ? 5 ? a1 ? a5 ? 10 ? a1 ? a10 ? ,解得 ? , 3 ,所以 an ? n ? d? 7 7 ? ? ? 7 ? ? 2 2
3 2 ? n ? 15n ? , 14 15 对称轴是 n ? ,所以当 S n 取到最小值时, n 的值为 7 或 8 . 2 考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列的前 n 项和;3.二次函数的图像与性质 Sn ?
8.A 【解析】 试题分析:由程序框图可知,S ? ?

? 5? 5? ?a ? a ? b ? , a ? b = 2 ,1 ? 2 , ,2 cos ? 1 ,2 tan 3 4 ? ? b ? a ? 1? , a ? b
答案第 2 页,总 11 页

所以 ? 2 cos

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? ? 2 ?1 ? 1? ? 4 . 3 ? ? 4 ?

考点:1.程序框图;2.特殊角的三角函数值 9.C 【解析】 试 题 分 析 :

x1 ?

5 ? 3 ?

x2 ?
s1 ?


54 ? 56 ? 58 ? 60 ? 61 ? 72 ? 73 ? 62 7

? 5? 7

? 6

?

5 7 , ? 61


5

8

6

1? 2 2 2 2 2 2 2 ? 6.72 ? 53 ? 61? ? ? 56 ? 61? ? ? 57 ? 61? ? ? 58 ? 61? ? ? 61 ? 61? ? ? 70 ? 61? ? ? 72 ? 61? ? ? ? 7

s2 ?

1? 2 2 2 2 2 2 2 54 ? 62 ? ? ? 56 ? 62 ? ? ? 58 ? 62 ? ? ? 60 ? 62 ? ? ? 61 ? 62 ? ? ? 72 ? 62 ? ? ? 73 ? 62 ? ? ? 6.99 ? ? 7?

所以 x1 ? x2 , s1 ? s2 . 考点:1.茎叶图;2.平均数与标准差 10. ? 4, ?? ? ? ?1? 【解析】 试题分析: 函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

的图像如下:

则由 f

? f ? x ? ? ? 1 可知, f ? x ? ? 0 或 f ? x ? ? 2 ,解得 x ? 1 或 x ? 4 .

考点:1.对数函数的图像与性质;2.指数函数的图像与性质;3.数形结合

n2 ? n ? 6 11. 2
【解析】 试题分析:这个三角形数阵每一行的数的个数成首项为 1 ,公差为 1 的等差数列,前 n ? 1 行
答案第 3 页,总 11 页

一共有

n ? n ? 1? 2
?3?

个数,所以第 n 行的数是从

n ? n ? 1? 2

? 1 开始的,从左向右第 3 个数是

n ? n ? 1? 2

n2 ? n ? 6 . 2

考点:等差数列的前 n 项和 12.

? 4
2 3 2 BC AC ,即 ,解得 sin B ? ,因为 ? ? ? sin B 2 sin A sin B sin 3

【解析】 试题分析:由正弦定理可得,

A? B ?? ?C ?

2? 2? ? ,所以 0 ? B ? ,则 B ? . 3 3 4

考点:1.正弦定理;2.解三角形 13. 1 【解析】
2 试题分析:圆的标准方程为: ? x ? 1? ? y ? 4 ,圆心为 ?1, 0 ? ,半径为 2 ,圆心到直线的距 2

离为

k ?1 k 2 ?1
k ?1 k 2 ?1

,要使得直线被圆截得的弦最短,那么只要圆心到直线的距离

k ?1 k 2 ?1

最大即

可,

?

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ?1

? 1?

2k 2 2 1 ? 1? ? 1? ? 2 ,当且仅当 k ? 时等号成立,此时 2 1 k ?1 k 1 k? 2 k? k k

当 k ? ?1 时, 直线过圆心, 此时直线被圆截得的弦是直径, 不符合题意, 所以 k ? 1 . k ? ?1 , 考点:1.基本不等式;2.直线与圆的位置关系 14. 2 3 【解析】 试 题 分 析 : 点 A 对 应 的 直 角 坐 标 为 : x ? 4cos

?
6

? 2 3 , y ? 4sin

?
6

? 2 ,所以点

A 2 3, 2 .因为 ? ? 4 sin? ,所以 ? 2 ? 4 ? sin ? ,即 x 2 ? y 2 ? 4 y ,圆的标准方程为:
x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ,圆心 ? 0, 2 ? ,点到圆心的距离为:
2

?

?

?2

3 ? 0 ? ? 2 ? 2? ? 2 3 .
2

?

2

考点:极坐标与参数方程 15. 3
答案第 4 页,总 11 页

【解析】 试题分析:如图所示,有切割线定理可知, PA ? PB ? PC ,即 22 ? 1? 22 ? ? 2 R ? ,解
2

2

得R ?

3.

考点:切割线定理 16. ? ??, 0 ? ? ? , ?? ? 【解析】

?1 ?3

? ?

? ?3, x ? ?1 ? 试题分析:由已知得 y ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? 2 x ? 1, ?1 ? x ? 2 ,函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的最 ? 3, x ? 2 ?

1 大值是 3 ,所以要使得不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 a 存在实数解,则 ? 3 ,解得 a ? 0 或 a 1 a? . 3
考点:1.分段函数的图像与性质;2.解不等式 17.(Ⅰ) an ? 2 【解析】 试题分析:(Ⅰ)设公比是 q ,依据等比数列的通项公式表示出 a2 和 a3 ,再由已知条件“ a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项” ,结合等差中项的性质得到 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ,解出 q ? 2 ,代 入等比数列的通项公式; ( Ⅱ ) 先由 ( Ⅰ ) 中解得的 an ? 2
n ?1 n ?1

;(Ⅱ) Sn ? n ? 2 ? 1 .
2 n

,求出数列 {bn } 的通项公式:

bn ? 2n ? 1 ? 2n?1 , 观 察 可 知 它 可 以 分 为 一 个 等 差 数 列 cn ? 2n ? 1 和 一 个 等 比 数 列

an ? 2n ?1 ,结合等差数列和等比数列的前 n 项和公式求 {bn } 的前 n 项和 S n .
试题解析:(Ⅰ)设公比为 q , 则 a2 ? q , a3 ? q ,
2

∵ a2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项,
答案第 5 页,总 11 页

∴ 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) , 即 2q ? 1 ? (q ? 1)
2

解得 q ? 2 , ∴ an ? 2
n ?1

.
n ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 则 Sn ? [1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? (1 ? 2 ? ? ? 2



n ?1

)

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? 2 1? 2

? n 2 ? 2n ? 1 .
考点:1.等差数列的前 n 项和;2.等比数列的前 n 项和;3.等差中项;4.等比数列的通项公 式 18.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) sin B ? 【解析】

39 . 8

a b c ,利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设 ? ? sin A sin B sin C ?ABC 的外接圆的半径为 R ,连接 BO 并延长交圆 O 于点 C ? ,则 ?C? ? ?C ,直径所对的 c ? 圆周角 ?BAC? ? 90 ,在直角三角形 ? ABC? 中, BC? sin C? ? AB ,从而得到 ? 2R , sin C b a 同理可证 ? 2R , ? 2 R ,则正弦定理得证;(Ⅱ)先由正弦定理将 a ? c ? 2b 化 sin B sin A 为 sin A ? sin C ? 2sin B ①,再依据和差化积公式,同角三角函数间的关系,特殊角的三
试题分析:(Ⅰ)正弦定理: 角函数值将①式化简,得到 sin

B 3 B B 13 ? ,则 cos ? 1 ? sin 2 ,再由二倍角公式 ? 2 2 4 2 4

sin B ? 2sin

B B cos 求解. 2 2

a b c . ? ? sin A sin B sin C 证明:设 ?ABC 的外接圆的半径为 R ,连接 BO 并延长交圆 O 于点 C ? ,如图所示:
试题解析:(Ⅰ) 正弦定理:

答案第 6 页,总 11 页

则 ?C? ? ?C , ?BAC? ? 90 ,在 ? ABC? 中, BC? sin C? ? AB ,即 2R sin C ? c ,则有
?

c b a a b c ? 2 R ,同理可得 ? 2R , ? 2 R ,所以 ? ? ? 2R . sin C sin B sin A sin A sin B sin C (Ⅱ)∵ a ? c ? 2b ,由正弦定理得, sin A ? sin C ? 2sin B , A?C A?C ? 2sin cos ? 2sin B , 2 2

? ?? B ? ? 2sin ? ? ? cos ? 2sin B , 6 ?2 2?
? 3 cos
解得 sin

B B B B ? 4sin cos , cos ? 0 , 2 2 2 2

B 3 B B 13 ? , cos ? 1 ? sin 2 , ? 2 2 4 2 4
B B 3 13 39 . cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4 8

∴ sin B ? 2sin

考点:1.正弦定理;2.解三角形;3.同角三角函数间的关系;4.和差化积公式;5.二倍角公 式 19.(Ⅰ) a ? 50 , b ? 14 ;(Ⅱ) P ? 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 先根据已知条件“随机抽取一人,是 35 岁以下的概率为

8 . 15 17 ” ,得到 26

a ? 35 17 ,解出 a 的值,再由总人数减去已知的所有的人数即是未知的 b 的值;(Ⅱ) ? 130 26 将 50 岁以上的 6 人进行编号,列举出所有满足“从这 6 人中任取 2 人”和“其中恰好有一
位研究生”的基本事件的个数,然后求出“从 50 岁以上的 6 人中随机抽取两人,恰好只有 一位是研究生”的概率. 试题解析:(Ⅰ)由已知得:

a ? 35 17 ,解得 a ? 50 , ? 130 26

故 b ? 130 ? (50 ? 35 ? 25 ? 4 ? 2) ? 14 ,即 b ? 14 . (Ⅱ)将 50 岁以上的 6 人进行编号:四位本科生为: 1, 2,3, 4 ,两位研究生为 5,6 .
答案第 7 页,总 11 页

从这 6 人中任取 2 人共有 15 种等可能发生的基本事件,分别为:

12,13,14,15,16, 23, 24, 25, 26,34,35,36, 45, 46,56 ,
其中恰好有一位研究生的有 8 种,分别为: 15,16, 25, 26,35,36, 45, 46 , 故所求的概率为: P ?

8 . 15

考点:1.简单随机抽样;2.基本事件;3.随机事件的概率 20.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 连接 BD ,交 AC 于点 O ,连接 MO ,证明 MO / / SB ,依据直线与平面 平行的判定定理可知, SB / / 平面ACM ;(Ⅱ)先由已知条件得到 SA ? CD 和 CD ? AD , 依据直线与平面垂直的判定定理证得 CD ? 平面SAD ,再由 CD ? AM 和 AM ? SD ,依 据直线与平面垂直的判定定理证得 AM ? 平面SCD ,从而有 AM ? SC ,结合已知条件

SC ? AN ,依据直线与平面垂直的判定定理证得 SC ? 平面AMN ,再依据平面与平面垂
直的判定定得到 平面SAC ? 平面AMN . 试题解析:(Ⅰ)连接 BD ,交 AC 于点 O ,连接 MO ,

∵ ABCD 为矩形, ∴ O 为 BD 中点,又 M 为 SD 中点,∴ MO / / SB . ∵ MO ? 平面ACM , SB ? 平面AC ,∴ SB / / 平面ACM . (Ⅱ)∵ SA ? 平面ABCD ,∴ SA ? CD , ∵ ABCD 为矩形,∴ CD ? AD ,且 SA ? AD ? A , ∴ CD ? 平面SAD ,∴ CD ? AM , ∵ SA ? AD , M 为 SD 的中点,∴ AM ? SD ,且 CD ? SD ? D , ∴ AM ? 平面SCD , ∴ AM ? SC ,又∵ SC ? AN ,且 AN ? AM ? A , ∴ SC ? 平面AMN ,

答案第 8 页,总 11 页

∵ SC ? 平面SAC ,∴ 平面SAC ? 平面AMN . 考点:1.直线与平面平行的判定定理;2.直线与平面垂直的判定定理;3.直线与平面垂直的 性质定理;4.平面与平面垂直的判定定理 21.(Ⅰ) 【解析】

x2 y2 ?9 ? ? ? 1 ;(Ⅱ) ? , 0 ? . 9 4 ?2 ?

x2 y 2 试题分析: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为: 2 ? 2 ? 1 , 先由已知条件 “短轴长为 4 ” , 求得 b ? 2 , a b
2 再 由 已 知 条 件 “ 有 一 个 焦 点 与 抛 物 线 y ? 4 5x 的 焦 点 重 合 ” ,求得 c ? 5 ,则

a 2 ? b2 ? c 2 ?9 ,从而得到椭圆方程;(Ⅱ)设直线方程为: x ? my ? 2 ,与椭圆方程联立

16m ? y1 ? y2 ? ? ? ? 4m 2 ? 9 方程组求得 ? (※),假设存在定点 P(t ,0) 使得 PM 始终平分 ?APB , 20 ?y y ? ? ? 1 2 4m 2 ? 9 ?
则有 kPA ? kPB ? 0 ,将对应点的坐标代入,结合直线方程以及(※)化简求得 m(2t ? 9) ? 0 ,

9 就可保证式子成立,进而得出 P 点坐标. 2 试题解析:(Ⅰ)∵椭圆的短轴长为 4 , ∴ 2b ? 4 ,解得 b ? 2 ,
从而无论 m 如何取值,只要 t ? 又抛物线 y ? 4 5 x 的焦点为 ( 5, 0) ,
2

∴ c ? 5 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 9 ,

x2 y2 ? ? 1. ∴所求椭圆方程为: 9 4
(Ⅱ)设 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程整理得: (4m ? 9) y ? 16my ? 20 ? 0
2 2

16m ? y1 ? y2 ? ? ? ? 4m 2 ? 9 则? ,假设存在定点 P(t ,0) 使得 PM 始终平分 ?APB , 20 ?y y ? ? ? 1 2 4m 2 ? 9 ?
则 kPA ? kPB ? 0 ?

y1 y ? 2 ? 0 ? y1 (my2 ? 2 ? t ) ? y2 (my1 ? 2 ? t ) ? 0 x1 ? t x2 ? t

? 2my1 y2 ? (2 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ? m(2t ? 9) ? 0 ①,
答案第 9 页,总 11 页

要使得①对于 ?m ? R 恒成立,则 t ?

9 , 2
?9 ?2 ? ?

故存在定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ,它的坐标为 ? , 0 ? . 考点:1.椭圆的标准方程;2.抛物线的性质;3.根与系数的关系 22.(Ⅰ) a ? ?2 , k ? 5 ;(Ⅱ) a ? 15 ;(Ⅲ)见解析. 【解析】

1 处的切线相互平行”可 2 1 知,曲线在这两处的切线的斜率相等,求出曲线的导数,根据 h?(1) ? h?( ) 求出 a 的值及切 2
试题分析:(Ⅰ)由已知条件“曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ? 线斜率; (Ⅱ)有已知条件 “函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上单调递减” 可知,h?( x) ? 0

?1 ? ?3 ?

在区间 ( ,1) 上恒成立,得到

1 3

1 1 2 ? ax ? 2 ? 0 ,则有 a ? 2 ? ,依据二次函数在闭区间上 x x x

的值域,求得函数 y ?

1 1 2 ? 在区间 ( ,1) 的值域是 ? 3,15? ,从而得到 a ? 15 ;(Ⅲ)用反 2 3 x x

证法,先假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 有 f ??

? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? g?? ? , 分 别 代 入 函 数 f ( x) 与 函 数 g ( x) 的 导 函 数 , 求 得 ? 2 ? ? 2 ?

2 a ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ①,结合 P、Q 两点是函数 f ( x) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 的 x1 ? x2 2
交点, 则坐标满足曲线方程, 将①化简得到

2( x1 ? x2 ) x x ? ln 1 ,设 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? t ? 1 , x1 ? x2 x2 x2

进行等量代换得到,

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? ln t 存在大于 1 的实根,构造函数 ? (t ) ? ? ln t ,结 t ?1 t ?1

合导函数求得函数 ? (t ) 在区间 ?1, ?? ? 是单调递减的,从而 ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,得出矛盾. 试题解析:(Ⅰ) y ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ln x ? 则 h?( x) ?

1 2 ax ? 2 x , 2

1 ? ax ? 2 , x 1 ∵在 x ? 1 与 x ? 处的切线相互平行, 2 1 a ∴ h?(1) ? h?( ) ,即 ?a ? 3 ? ? ? 4 ,解得 a ? ?2 , 2 2
答案第 10 页,总 11 页

k ? h?(1) ? 5 .
(Ⅱ)∵ h( x ) 在区间 ( ,1) 上单调递减,

1 3

∴ h?( x) ? 0 在区间 ( ,1) 上恒成立,

1 3



1 1 2 ? ax ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 ? , x x x

∵ x ? ( ,1) ,∴ 3 ? ∴ a ? 15 . (Ⅲ) f ?( x) ?

1 3

1 2 ? ? 15 , x2 x

1 , g ?( x) ? ax ? 2 , x
? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? ? g?? ?, ? 2 ? ? 2 ?

假设有可能平行,则存在 a 使 f ? ?

?

2 a ? ( x1 ? x2 ) ? 2 , x1 ? x2 2
2( x1 ? x2 ) a 2 ? ( x1 ? x2 2 ) ? 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 2

?

1 1 ? ( ax12 ? 2 x1 ) ? ( ax2 2 ? 2 x2 ) 2 2

? y1 ? y2

? ln x1 ? ln x2 ? ln
则方程

x x1 不妨设 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? t ? 1 , x2 x2

2(t ? 1) 2(t ? 1) ? ln t 存在大于 1 的实根,设 ? (t ) ? ? ln t , t ?1 t ?1
?(t ? 1)2 ? 0 ,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,这与存在 t ? 1使 ? (t ) ? 0 矛盾. t (t ? 1)

则 ? ?(t ) ?

考点:1.二次函数的图像与性质;2.利用导数研究函数的单调性;3.反证法;4.利用导数研 究曲线切线的斜率;5.不等式恒成立问题

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