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江苏省梁丰高级中学2014届高三9月周日测试(1)数学试题


梁丰高级中学 2014 届高三周日检测(2013.9.15) 数学
i 的虚部是 2?i

姓名

学号____

一.填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.复数 .

2.已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 3 x ? 0, x ? Z

,如果 M ? N ? ? ,则 a ?
2

?

?



3.已知 ? ? (?

?
2

,0) , cos? ?

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4



4. 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 S n . a1 ? 1 ,a3 ? 4 ,S k ? 63 , k ? ___ ___. 若 则 5. ?ABC 中,“ A ?

?
6

”是“ sin A ?

1 ”的 2

条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,“充

要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空). 6.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号
是 .

m ①.若 m // n , ? ? , 则 n ? ? ;
③.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ;

m ②.若 m // n , // ? , 则 n // ? ;
④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? .

7.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若点 E 是 AB 边上



的动点,则 DE ? DC 的最大值为

.

9.已知 ? = {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上 随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 10.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? .

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位后,得到的图像解析式为____ ____.

? 个 6

11.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?

1 ,则 x ? y ? ___ ___. 3

12.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N*).若 S3,S9,S6 成等差数列,则

a8 的值是 a2+a5



13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线段 OA 的延 25 9


长线上,且 OA ? OP ? 72 ,则点 P 横坐标的最大值为

??? ??? ? ?

14.求“方程 ( ) x ? ( ) x ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,则 f ( x) 在 R 上单调递 减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程 x ? x ? ( x ? 2) ? x ? 2 的
6 2 3

3 5

4 5

3 5

4 5

解集为



二.解答题:(本大题共 6 小题,计 90 分) (1)求实数 m 的取值集合 M;

2 15.已知命题:“ ?x ? ? x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题,

(2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件, 求 a 的取值范围.

16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin(

?
2

? x) ? 2cos(? ? x) ? cos x ? 2 .

(1)求 f (x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若 f ( A) ? 4 , b ? 1 , ?ABC 的面 积为

3 ,求 a 的值. 2

P

17.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PC⊥平面 ABC,△ ABC 为正三角形, D,E,F 分别是 BC,PB,CA 的中点.
A F

E C D B

(1)证明平面 PBF⊥平面 PAC; (2)判断 AE 是否平行平面 PFD?并说明理由; (3)若 PC = AB = 2,求三棱锥 P ? DEF 的体积.

18.设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.过B1 作直线 l 交椭圆于 P、Q 两点. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程;

19.已知数列{an}满足,an+1+ an=4n-3(n∈N*) . (1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn;

20. 如图所示,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD, AB ? 10 3 m, CD ? 3 3 m,现用钢丝绳对这 两根钢管进行加固,有两种方法: (1)如图(1)设两根钢管相距 1m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处,形成一个直线型的加固(图中虚线所示).则 BE 多长时钢丝绳最短? (2)如图(2)设两根钢管相距 3 3 m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地 面的 F 处, 再将钢丝绳依次固定在 D 处、 处和 E 处, B 形成一个三角形型的加固 (图中虚线所示) 则 . BE 多长时钢丝绳最短?

A

A E

C

E

C

D B F 图1

F

D 图2

B

高三数学周日检测(2013.9.15)姓名

学号

一.填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.复数

i 的虚部是 2?i



2.已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 3 x ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 a ?
2

?

2 5

?

. 1

3.已知 ? ? (?

?
2

,0) , cos? ?

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4

.?

1 7

4. 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 S n . a1 ? 1 , 3 ? 4 , k ? 63 , k ? ___ ___. 若 则 6 a S 5. ?ABC 中,“ A ?

?
6

”是“ sin A ?

1 ”的 2

条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,“充

要”,“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空). 充分不必要 6.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列正确命题的序号
是 .①

m ①.若 m // n , ? ? , 则 n ? ? ;
③.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ;

m ②.若 m // n , // ? , 则 n // ? ;
④.若 n ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? .

7.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若点 E 是 AB 边上

.145

的动点,则 DE ? DC 的最大值为

.1

9.已知 ? = {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0} , A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向区域 ? 上 随机投掷一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率为 10.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? .

2 9

?
2

)的

部分图像如图所示,则将 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 个 6

单位后,得到的图像解析式为____ ____. y ? sin(2 x ?

?
6

)

11.已知 0 ? y ? x ? ? ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ?

1 ? ,则 x ? y ? ___ ___. 3 3
a8 的值是 a2+a5 .

12.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn (n∈N*).若 S3,S9,S6 成等差数列,则

1 2

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线段 OA 的延 25 9
.15

长线上,且 OA ? OP ? 72 ,则点 P 横坐标的最大值为

??? ??? ? ?

提示:设 OP ? ? OA(? ? 1) ,由 OA ? OP ? ? ? OA ? 72 ,得 ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

72 , OA2

xP ? ? ? x A ?

72 ? xA = 2 x ? yA
2 A

72 9? 9 2 2 ? xA ? xA 25

? xA =

72 72 ? xA = , 9 16 16 2 ? ? xA 9? ? xA x A 25 25

研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ? xA ? 5 ,

xP ?

72 15 ? 15 (当且仅当 x A ? 时取“=”). 12 4 2? 5

14.求“方程 ( ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) ? ( ) ,则 f ( x) 在 R 上单调递
x x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程 x ? x ? ( x ? 2) ? x ? 2 的
6 2 3

解集为

.{﹣1,2}

二.解答题:(本大题共 6 小题,计 90 分) (1)求实数 m 的取值集合 M;

2 15.已知命题:“ ?x ? ? x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题,

(2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件, 求 a 的取值范围. 答案:(1) M ? ?m ?

? ?

1 ? ? m ? 2? 4 ?

(2) a ?

9 1 或 a?? 4 4

16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin(

?
2

? x) ? 2cos(? ? x) ? cos x ? 2 .

(1)求 f (x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ? A、 ? B、 ? C 的对边,若 f ( A) ? 4 , b ? 1 , ?ABC 的面

积为

3 ,求 a 的值. 2

解:(1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ················ 4 分 6 2? ···························· 6 分 ?T ? ? ?. 2 ? ? 1 (2)由 f ( A) ? 4 ,? f ( A) ? 2 sin(2 A ? ) ? 3 ? 4 ,? sin(2 A ? ) ? . 6 6 2
又? A为?ABC 的内角,?

?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ?, 6

?2A ?

?

5 ? ? ? ,? A ? . ······················· 8 分 6 6 3
3 1 3 , b ? 1,? bc sin A ? ,?c ? 2 ············ 11 分 2 2 2

? S ?ABC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ? 3 ,?a ? 3. ········· 14 分 2

17.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PC⊥平面 ABC,△ ABC 为正三角形, D,E,F 分别是 BC,PB,CA 的中点. (1)证明平面 PBF⊥平面 PAC; (2)判断 AE 是否平行平面 PFD?并说明理由; (3)若 PC = AB = 2,求三棱锥 P ? DEF 的体积.
A

P

E C D

F

解:(1)∵PC⊥平面 ABC,BF ? 平面 ABC,∴PC⊥BF. B ∵△ ABC 为正三角形,F 是 CA 的中点 ∴BF⊥AC.又∵PC∩AC ? C. ∴BF⊥平面 PAC. ∵BF ? 平面 PBF,∴平面 PBF⊥平面 PAC. (2)AE 不平行平面 PFD. 反证法:假设 AE∥平面 PFD.∵AB∥FD,FD ? 平面 PFD,AB ? 平面 PFD ∴AB∥平面 PFD.∵AE、AB 是平面 ABE 内两条相交直线, ∴平面 ABE∥平面 PFD. 而∵P∈平面 ABE,P∈平面 PFD,矛盾. 则假设不成立.即 AE 不平行平面 PFD. (3)∵D,E,F 分别是 BC,PB,CA 的中点,PC⊥平面 ABC,∴VP ? DEF ? VB ? DEF .

则 VP ? DEF ?

1 1 1 1 1 1 VP ? BDF = × × S△ABC ×PC= × × 2 2 4 2 3 3

3 3 1 × . ? 4? 2 ? 12 4 4

18.设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形.过B1 作直线 l 交椭圆于 P、Q 两点. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程; 【解析】:(1)设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F2 (c,0) . a2 b2

因△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90?,得 c=2b 在 Rt△AB1B2 中, S ?AB1B2 ? b ? 4 ,从而 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 20
2

因此所求椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 20 4

(2)由(1)知 B1 (?2, 0), B(2, 0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为: x ? my ? 2 ,代
2 2 入椭圆方程得 m ? 5 y ? 4my ? 16 ? 0 ,

?

?

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 y1、y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ?

y1 ? y 2 ? ?

???? ? ???? ? 16 ,又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 m2 ? 5

4m , m2 ? 5

B2 P ? B2 Q ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y 2 ? ? ???? ???? ? ?

16m 2 ? 64 m2 ? 5

由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P ? B2Q =0,即 16m2 ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 ; 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0 和 x–2y+2=0

19.已知数列{an}满足,an+1+ an=4n-3(n∈N*) . (1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn; 解析:(1)若数列{an}是等差数列,则 an =a1+ (n-1)d,an+1 =a1 + nd.

由 an+1+ an=4n-3, 得(a1+nd) + [ a1+(n-1)d] =4n-3, 即 2d=4,2a1-d=4-3, 1 解得,d=2,a1=- . 2 (2)由 an+1+ an=4n-3,得 an+2 + an+1=4n + 1(n∈N*). 两式相减,得 an+2-an=4. 所以数列{a2n-1}是首项为 a1,公差为 4 的等差数列 , 数列{a2n}是首项为 a2,公差为 4 的等差数列, 由 a2 + a1=1,a1=2,得 a2=-1. ?2n, n为奇数, 所以 an=? ?2n-5, n为偶数. ①当 n 为奇数时,则 an=2n,an+1=2n-3. 所以 Sn=a1+a2+?+an=(a1+a2)+(a3+a4)+ ?+(an-2+an-1)+an 2n2-3n+5 =1+9+?+(4n-11)+2n= . 2
[

②当 n 为偶数时, Sn=a1+a2+?+an=(a1+a2)+(a3+a4)+ ?+(an-1+an) 2n2-3n =1+9+?+(4n-7)= . 2 ? 2n 2 ? 3n ? 5 ,n为奇数, ? 2 所以 Sn= ? 2 2n ? 3n , n为偶数. ? ? 2

20. 如图所示,直立在地面上的两根钢管 AB 和 CD, AB ? 10 3 m, CD ? 3 3 m,现用钢丝绳对这 两根钢管进行加固,有两种方法: (1)如图(1)设两根钢管相距 1m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处,形成一个直线型的加固(图中虚线所示).则 BE 多长时钢丝绳最短? (2)如图(2)设两根钢管相距 3 3 m,在 AB 上取一点 E,以 C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地 面的 F 处, 再将钢丝绳依次固定在 D 处、 处和 E 处, B 形成一个三角形型的加固 (图中虚线所示) 则 . BE 多长时钢丝绳最短?

A

A E

C

E

C

D B F 图1

F

D 图2

B

(1)设钢丝绳长为 ym, ?CFD ? ? ,则

3 3 ?1 tan ? y? ? 3 3 ? 1 (其中 0 ? ? ? ? 0 ? ? , tan ?0 ? 7 ), y? ? ?3 3 cos? ? sin ? 2 cos ? sin ? cos ? sin 2 ? cos2 ?

当 tan ? ? 3 时,即 BE ? 4 3 时, ymin ? 8 ?????????????6 分 (2)设钢丝绳长为 ym, ?CFD ? ? ,则 ? ? y ? ? 3 3 ? 3 3 ? ?1 ? cos ? ? sin ? ? (其中 0 ? ? ? ?0 , tan ?0 ? 12 3 ? 3 3 ? 3 )???9 分 sin ? cos ? ? 3 3 ?
? ? ? ? y? ? 3 3 ? ? cos ? ? sin2? ? ?1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? 3 3 ? 3 3 ? ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? π 时,即 BE ? 6 3 时 y 2 ? 2 ???12 分 令 y? ? 0 得 sin ? ? cos? ,当 ? ? min ? 6 3 4

?

?

答:按方法(1), BE ? 4 3 米时,钢丝绳最短;按方法(2), BE ? 6 3 米时,钢丝绳最短.? 14 分


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