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第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质


2015 届特优生数学学案
专题一函数与导数 第 1 讲 函数的图象与性质
一考情解读 1.高考对函数的三要素,函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主,难度中等偏下.2. 函数图象和性质是历年高考的重要内容,也是热点内容,对图象的考查主要有两个方面:一 是识图,二是用图,即利用函数的图象,通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考查, 则主要是将单调性、奇偶

性、周期性等综合一起考查,既有具体函数也有抽象函数.常以选 择、填空题的形式出现,且常与新定义问题相结合,难度较大. 二主干知识 1.函数的三要素 :定义域、值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数,定义域和对应关系相同的 两个函数是同一函数.①求函数定义域的主要依据: ②求函数值域的方法:无论用什么方法求值域,都要优先考虑定义域,常用的方法有基 本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、导数法. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步 骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于 y 轴对称,在关于坐标 原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标 原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. (3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0),则其一个周期 T=|a|. 与周期函数有关的结论 (1)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则 f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=|a-b|. (2)若 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=2a. 1 1 (3)若 f(x+a)= 或 f(x+a)=- ,则 f(x)是周期函数,其中一个周期是 T=2a. f?x? f?x? 提醒:若 f(x+a)=f(-x+b)(a≠b),则函数 f(x)关于直线 x= (4.) 函数的对称性. ①满足条件 f ? x ? a ? ? f ? b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ?

a+b
2

对称.

[来源:中教网]

a?b 对称. 2

y ? f ?? x ? ; ③点 ( x, y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x, ? y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ? ? f ?x ? ; ④点 ( x, y ) 关于原点的对称点为 (? x, ? y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于原点的对称曲线方程为 y ? ? f ?? x ? ; ⑤点 ( x, y ) 关于直线 y ? x 的对称点为 ( y, x) ; 曲线 f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲 线的方程为 f ( y, x) ? 0 ;点 ( x, y ) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 (? y, ? x) ;曲线 f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? ? x 的对称曲线的方程为 f (? y, ? x) ? 0 ; ⑥曲线 f ( x, y ) ? 0 关于点 (a, b) 的对称曲线的方程为 f (2a ? x, 2b ? y ) ? 0 ; ⑦形如 y ? ax ? b (c ? 0, ad ? bc) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d cx ? d c (由分母为零确定)和直线 y ? a (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 (? d , a ) ; c c c ⑧ | f ( x) | 的图象先保留 f ( x) 原来在 x 轴上方的图象,作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的 对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x) 在 y 轴右方的图象, 擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到.
3.函数图象 (1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌 握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. (2)利用基本函数图象的变换作图 4. 对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行, 对于某些抽象函数来 说,一般通过恰当赋值,结合基本定义来研究. 三考点分析 考点一 函数及其表示 例 1 (1) (2014· 山东卷)函数 f(x)= 1? A.? ?0,2? B.(2,+∞) 1 的定义域为( (log2x)2-1 )

②点 ( x, y ) 关于 y 轴的对称点为 (? x, y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为

1 1 0, ?∪(2,+∞) D. ?0, ?∪[2,+∞) C. ? ? 2? ? 2? 2x ,x<0, ? ? ? ? π ?? (2)[2013· 福建卷] 已知函数 f(x)=? π 则 f ? f ? 4 ??=________. ?-tan x,0≤x< 2 , ? 例2 (1)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= f?2x? 的定义域是 ln x ( )
3

2

A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4]

B.[0,1) D.(0,1)

?f?x?,f?x?≤M, ? (2)设函数 y=f(x)在 R 上有定义, 对于给定的正数 M, 定义函数 fM(x)=? ?M,f?x?>M, ?

则称函数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”.若给定函数 f(x)=2-x2,M=1,则 fM(fM(0))的值 为 A.2 B.1 C. 2 D.- 2 ( )

(1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围, 只需构建并解不等式(组)即可,函数 f(g(x))的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出. ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. (2)求函数值时应注意 形如 f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值(解不等式) 问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 热点二 函数的性质及应用 试一试(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 例 3 (1)定义在 R 上的函数 f(x)=ex+e x+|x|,则满足 f(2x-1)<f(3)的 x 的取值范围是(


)

)

A.(-2,2) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(-1,2) (2)已知函数 f(x-1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立,则不等式 f(x+2)<0 的解集为( ) A.(1,+∞) B.(-∞,-3) C.(0,+∞) D.(-∞,1) 变式[2013· 江苏卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________. (2)[2013· 湖北卷] x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 方法指导 函数基本性质的应用 函数的奇偶性、函数图像的对称性、函数的周期性三者之间有密切的关系.如偶函数 y =f(x)的图像关于直线 x=a(a≠0)对称时,根据函数图像的对称性可得函数解析式满足 f(a+ x)=f(a-x),以 x+a 代替 x,得 f(2a+x)=f(-x)=f(x),这样就得到函数 y=f(x)的一个周期是
3

2a;奇函数 y=f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称时,可得 f(a+x)=-f(a-x),以 x+a 代替 x,得 f(2a+x)=-f(-x)=f(x),也推出 2a 是函数 y=f(x)的一个周期. 例 4 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________. 1? 2 (2)设奇函数 y=f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)=f(1-t),且 x∈? ?0,2?时,f(x)=-x , 3? 则 f(3)+f? ?-2?的值等于________. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性,在解 题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质,根据函 数的性质解决问题. 变式 (1)(2013· 重庆)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5, 则 f(lg(lg 2))等于( )

A.-5 B.-1 C.3 D.4 (2)已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围为 _________. 变式(1)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x+4)-f(x)=2f(2),若 y=f(x-1)的图像关于直 线 x=1 对称,且 f(1)=2,则 f(2013)=( ) A.2 B.3 C.4 D.0 3? (2)定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)+f? 且函数 y=f(x+1)的图像关于点(-1, ?x+2?=0, 2a-3 0)成中心对称,若 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范围是( ) a+1 2 A.-1<a≤ B.a<-1 3 2 2 C.a<-1 或 a≥ D.a≤ 3 3 考点三 函数的图象 π π - <x< ?的图象是( 例 5(1)函数 y=ln cos x,x∈? 2 2 ? ? )

(2) . (2013· 四川卷)函数 y=

x3 的图像大致是( 3x-1

)

图 1-5
4

(3)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2- 1 x1)<0 恒成立,设 a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( 2 A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )

思维升华 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和 对称变换.尤其注意 y=f(x)与 y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|及 y=af(x) +b 的相互关系. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析 式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式 的求解常与图象数形结合研究. 变式.(1)(2013· 北京)函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)等于 A.ex C.e
+1

B.ex D.e

-1

-x+1

-x-1

(2) (2014· 山东卷)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等 的实根,则实数 k 的取值范围是( 1? A. ? ?0,2? 归纳总结 1.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数单调性的判断 问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数奇偶性的应用 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是 简化问题的一种途径.尤其注意偶函数 f(x)的性质:f(|x|)=f(x). 3.函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x), 即 f(x)=f(2a-x), 则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. 提 醒:函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象对称轴为 x=0,并非直线 x=a. 1 ? B. ? ?2,1? )

C. (1,2) D. (2,+∞)

5

a+b (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 2 (3)若函数 y=f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关于点(a,b)成中心对称. 4. 函数的周期性. 类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期 为T ? 2 | a ? b | ; ②若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B (b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一 周期为 T ? 2 | a ? b | ; ③如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; 六练习检测 一、选择题 1. (2013· 江西卷)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 2.下列函数 f(x)中,满足“对任意的 x1,x2∈(0,+∞)时,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0”的 是( ) B.f(x)=x2-4x+4 D.f(x)=log1x
2

)

1 A.f(x)= 2 C.f(x)=2x

? 1 ?? 3.已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lg x,则 f? ?f?100??的值等于(
1 1 A. B.- C.lg 2 D.-lg 2 lg 2 lg 2 4 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)· f(x+2)=13,若 f(1)=2, 则 f(2 013)= A.0 B.2 ( ) C.4 D.13

)

5(2014· 湖南卷)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2 +1,则 f(1)+g(1)=( )

A.-3 B.-1 C.1 D.3
2 ? ?x +1,x>0, ? 6. (2014· 福建卷) 已知函数 f(x)= 则下列结论正确的是( ? ?cos x, x≤0,

)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数

6

C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

7 函数 y=2x-x2 的图像为(

)

8 列四个图象可能是函数 y=

10ln|x+1| 图象的是( x+1

)

?-x2+2x,x≤0, ? 9(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax, 则 a 的取值范围是( ? ?ln?x+1?,x>0.

)

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] - 10. 设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 11. (2013· 四川卷) 已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不 等式 f(x+2)<5 的解集是________. 12 . (2014· 安徽 ) 若函数 f(x)(x∈R) 是周期为 4 的奇函数,且在 [0,2] 上的解析式为 f(x) =
? ?x?1-x?,0≤x≤1, 29? ?41? ? 则 f? 4 ?+f? 6 ?=________. ? ?sin πx,1<x≤2, ?

7

ax+1,-1≤x<0, ? ? 13.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. 14.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x); ②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2); ③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称. 则判断 f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系为________. 15.给出下列四个函数: ①y=2x;②y=log2x;③y=x2;④y= x. 当 0<x1<x2<1 时,使 f? x1+x2? f?x1?+f?x2? 恒成立的函数的序号是________. 2 ? 2 ?>

16.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x) =log8(x+1),则 f(-2013)+f(2014)的值为________.

8


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