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江西省南昌三中2016届高三数学第三次(11月)月考试题 理


南昌三中 2015—2016 学年度上学期第三次月考 高三数学(理)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?U

N) 2.设 a, b ? R ,则“ (a ? b)a2 ? 0 ”是“ a ? b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.为等差数列 B.必要不充分条件 D.非不充分不必要条件 )

?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1,公差 d ? 2 , Sn?2 ? Sn ? 36 ,则 n ? (

) .

A. 5 B. 6 C.7 D. 8 4.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),若 a⊥(2a-b),则 k 等于( ) A.6 B.-6 C.12 D.-12 5.设函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是-7,那么 acosx+bsinx 的最大 值是 ( ) A.1 B.4 C.5 D.7 6. 如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则

sin C 的值为(
A.

) C.

3 3

B.

3 6

6 3

D.

6 6


7 . 已 知 ( )

8. ??? C 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足 ?? ? 2a , ?C ? 2a ? b ,则 下列结论正确的是( ) C a ?b ?1

?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

? A b ?1

? ? B a ?b

? ?

D

? ? b ? ? ?C ? 4a

?

??? ?

9.函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,则 y ? f ( x) 的反 函数是( ) B. y ? g ( ? x ) C. y ? ? g ( x ) D. y ? ? g ( ? x )

A. y ? g ( x )

1

10. 设 已 知 函 数 y ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的 两 个 极 值 点 分 别 是 x1 , x2 且 3 2

x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) ,记分别以 m, n 为横,纵坐标的点 P(m, n) 所表示的平面区域为 D ,
若函数 y ? loga ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是 ( A. (1,3] 11. 已知函数 B. (1,3) C. (3, ??) D. [3, ??) )

f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则实数 a 的
) B. (-∞,-1) C. (1,+∞) D. (2,+∞) )

取值范围是( A. (-∞,-2)

n ? a 12. 已知数列 ? n ? 满足 an ? n ? k (n ? N ,0 ? k ? 1) 下面说法正确的是(

①当 k ?

1 时,数列 ?an ? 为递减数列; 2

1 ②当 ? k ? 1 时,数列 ?an ? 不一定有最大项; 2

③当 0 ? k ? ④当

1 时,数列 ?an ? 为递减数列; 2

k 为正整数时,数列 ?an ? 必有两项相等的最大项. 1? k A. ①② B.②④ C.③④ D.②③ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上)
-3+i 13. 复数 z= 的共轭复数是 2+i __ .

14. 已知|a|=2,|b|=6, a 与 b 的夹角为

?
3

,则 a ? b 在 a 上的投影为



15.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若

f7 ( x) ? 128x ? 381,则 a ? b ?
16. 已知函数 f ( x) ?

. 。

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值 为 4 4 x

:三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x(ω >0), 且 y=f(x) 2 π 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ?

2

, 2, 3, ? ),且 18.(本小题满分 10 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1

a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.(1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式;

19. (本小题满分 12 分) 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经 验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下 表所示:

1 2 3 4 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.

X Y

20.(本小题满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示(转下页) ,其正视图 为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, (1)求证:BN ? 平面C1B1 N ; (2)设 ? 为直线 C1 N 与平面 CNB1 所成的角,求 sin ? 的值; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上求一点 P,使 MP//平面 CNB1 ,求

BP 的值 . PC

3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= a x-2 4-a x- 1 (a>0 且 a≠1).(1)求 函数 f(x) 的定义域、值域;(2)求实数 a 的取值范围,使得函数 f(x)满足:当定义域为[1,+ ?) 时, f(x)≥0 恒成立.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1n( x ? 1) ? ax ? x ( a ?R).
2

(Ⅰ)当 a ?

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; 4 1 ,] b 时, (Ⅱ) 若对任意实数 b ? (1, 2) , 当 x ? (? 函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) , 求实数 a
的取值范围.

南昌三中 2015—2016 学年度上学期第三次月考 高三数学(理)答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合{5,6}等于( D ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2.设 a, b ? R ,则“ (a ? b)a ? 0 ”是“ a ? b ”的( A
2

)

A.充分不必要条件 C.充要条件 3.为等差数列 A. 5

B.必要不充分条件 D.非不充分不必要条件

?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1,公差 d ? 2 , Sn?2 ? Sn ? 36 ,则 n ? (D) .
B. 6 C.7 D. 8

4

4.已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),若 a⊥(2a-b),则 k 等于( C ) A.6 B.-6 C.12 D.-12

5.设函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值是 1,最小值是-7,那么 acosx+bsinx 的最大 值是 ( C )A.1 B.4 C.5 D.7 6. 如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则

sin C 的值为( D
7. 已知

)A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6


(

C )

8. ??? C 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足 ?? ? 2a , ?C ? 2a ? b ,则 下列结论正确的是( D ) A b ?1

?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

?

B a ?b

?

?

C a ?b ?1

? ?

D

? ? b ? ? ?C ? 4a

?

??? ?

9.函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,则 y ? f ( x) 的反 函数是(D A. y ? g ( x ) ) B. y ? g ( ? x ) C. y ? ? g ( x ) D. y ? ? g ( ? x )

10 . 设 已 知 函 数 y ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的 两 个 极 值 点 分 别 是 x1 , x2 且 3 2

x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) ,记分别以 m, n 为横,纵坐标的点 P(m, n) 所表示的平面区域为 D ,
若 函 数 y ? log 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是 x ? 4)a ( ? 1) a ( ( B ) A. (1,3] 11. 已知函数 取值范围是( 12. 已知数列 ①当 k ? B. (1,3) C. (3, ??) D. [3, ??)

f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则实数 a 的
A )A. (-∞,-2) B. (-∞,-1) C. (1,+∞) D. (2,+∞)

?an ? 满足 an ? n ? k n (n ? N? ,0 ? k ? 1) 下面说法正确的是(C)

1 时,数列 ?an ? 为递减数列; 2

5

1 ②当 ? k ? 1 时,数列 ?an ? 不一定有最大项; 2

③当 0 ? k ? ④当

1 时,数列 ?an ? 为递减数列; 2

k 为正整数时,数列 ?an ? 必有两项相等的最大项. 1? k
B.②④ C.③④ D.②③

A. ①②

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) -3+i 13. 复数 z= 的共轭复数是 2+i __-1-i . 5 。

14. 已知|a|=2,|b|=6, a 与 b 的夹角为

?
3

,则 a ? b 在 a 上的投影为

15.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若

f7 ( x) ? 128x ? 381,则 a ? b ?

5

.

16. 已知函数 f ( x) ?

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 4 5 ( ? x? ), 则 f(x)的最小值 为__ ____。 4 4 5 x
3 2 - 3sin ω x-sin ω xcos ω x(ω >0), 且 y=f(x) 2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=

π 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ? 解: (1)f(x)= = 3 3 1-cos2ω x 1 2 - 3sin ω x- sin ω xcos ω x= - 3 · - sin2ω x 2 2 2 2

π? 3 1 ? cos2ω x- sin2ω x=-sin?2ω x- ?.(2 分) 3? 2 2 ?

π 2π π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,又 ω >0,所以 =4× . 4 2ω 4 因此 ω =1.(4 分) π? 3π 5π π 8π ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?.当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 3? 2 3 3 3 ? 所以- π? 3 3 ? ≤sin?2x- ?≤1.(6 分) 因此-1≤f(x)≤ .(8 分) 3? 2 2 ?

3π ? 3 ? 故 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 ,-1.(10 分) 2 ? 2 ?

6

, 2, 3, ? ),且 18.(本小题满分 10 分)数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1

a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.(1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式;
解:(1) a1 ? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c , ∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 3 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c , 得 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c 2

又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ?

3 3 n(n ? 1) ? (n 2 ? n ? 2)(n ? 2, 3, ?) 2 2 3 2 (n ? n ? 2)(n ? N ? ) 2

当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ?

19. (本小题满分 12 分) 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验, 一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 解 (1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15, 其中三角形地块内部的作物株数为 3,

边界上的作物株数为 12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果
7

有 C3C12=36(种),选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8(种).故从 三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 它们恰好“相近”的概率为 (2)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), 8 2 = . 36 9

1 1

P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),
所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),

nk 2 4 则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ,P(X=2)= , N 15 15 P(X=3)= = ,P(X=4)= = .
故所求的分布列为 6 2 15 5 3 15 1 5

Y P

51 2 15

48 4 15

45 2 5

42 1 5

2 4 2 1 所求的数学期望为 E(Y)=51× +48× +45× +42× =46. 15 15 5 5 20.(本小题满分 12 分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示(转下页) ,其正 视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, (1)求证:BN ? 平面C1B1 N ; (2)设 ? 为直线 C1 N 与平面 CNB1 所成的角,求 sin ? 的值; (3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上求一点 P,使 MP//平面 CNB1 ,求

BP 的值 . PC

C
C

C1
C

4

B
8 正视图 4 4 俯视图 侧视图

M

B1
C

A

M

N

解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
8

∴BA,BC,BB1 两两垂直。

?????2 分

以 BA, BC, BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 则N (4,4,0) , B1 (0, 8,0) , C1 (0,8,4) ,

C(0,0,4)
∵ BN ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0

??? ? ???? ?

BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4)=0
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; (2)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, -----------------4 分

?? ? ???? ? ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ?n2 ? CN ? 0 ?? 则 ? ?? ? ???? ? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

-----------------8 分

(3)∵M(2,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= a x-2 4-a x- 1 (a>0 且 a≠1).(1)求 函数 f(x)的定义域、值域;(2) 求实数 a 的取值范围,使得 函数 f(x)满足:当定义域为[1,+ ?) 时, f(x)≥0 恒成立. 解:(1)由 4- a ≥0,即 a ≤4,当 0<a<1 时,x≥ loga 4 ,当 a>1 时, x≤ loga 4 ,故函数 f(x) 的定义域为:当 a>1 时 ,x ? (-?,loga 4] , 当 0<a<1 时 , x ? [ loga 4 ,+ ?) . 令
9
x x

?

BP 1 ? PC 3

-----------------12 分

t= 4-a x ,刚 t ? ? 0, 2 ? , ∴y=4- t - 2t - 1=4 - (t ? 1) .
2

2

当 t ? ? 0, 2 ? 时 , y=4 - (t ? 1) 是减函数 , 值域为
2

?-5, 3? .
(2),由(1)知, 当 a>1 时, f(x)是增函数, x ? [1,+ ?) 时, f(x)≥f(1)=a-2 4-a -1, 由于 f(x)≥0 恒成立, ∴a-2 4-a -1≥0,解得 3≤a≤4. 当 0<a<1 时, f(x)在[1,+ ?) 上是减函数,存在

f ( x)max =a-1-2 4-a <0,即 f(x)≥0 不成立 .综上知 ,当 3≤a≤4 时,在 [1,+ ?) 上,
f(x)≥0 恒成立.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1n( x ? 1) ? ax ? x ( a ?R).
2

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; 4 ] 时,函数 f ( x) 的最大值为 f (b) ,求实数 a 的 (Ⅱ)若对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b
(Ⅰ)当 a ? 取值范围. 解 : ( Ⅰ ) 当

a?

1 1 x( x ? 1) ? x ?1 ? ( x ? ?1) , 令 f ?( x ) ? 0, 得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ; 令 x ?1 2 2( x ? 1) f ?( x )? 0,得 0 ? x ? 1 , ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1, 0) 和 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) .极大值 0,极小值 3 ln 2 ? (5 分) 4 x[2ax ? (1 ? 2a)] ( x ? ?1) , (Ⅱ)由题意 f ?( x) ? ( x ? 1) (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, ??) 上单调递减,此时,不存在 实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) .?7 分 1 ? 1, (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,有 x1 ? 0 , x2 ? 2a 1 ①当 a ? 时,函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上单调递增,显然符合题意.?8 分 2 1 1 1 ? 1 ? 0 即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, 0) 和 ( ? 1, ??) 上单调递增, ②当 2a 2 2a 1 ? 1) 上单调递减, f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,且 f (0) ? 0 , 在 (0, 2a 要使对任意实数 b ? (1, 2) ,当 x ? (?1, b] 时,函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) , f ?( x) ?

1 4





f(

? x)

1 l ? xn 2(? 4

1 x , ?) 则x

10

只 需 f (1)? 0 , 解 得 a ? 1? l n 2 ,又 0?a?

1 ,所以此时实数 a 的取值范围是 2

1 ? ln 2 ? a ?
③当

1 . 2

1 1 1 ? 1 ? 0 即 a ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ? 1) 和 (0, ??) 上单调递增, 2a 2 2a 1 ? 1, 0) 上单调递减,要存在实数 b ? (1, 2) ,使得当 x ? (?1, b] 时, 在( 2a 1 1 ? 1) ? f (1) ,代入化简得 ln 2a ? ? ln 2 ? 1 ? 0 , 函数 f ( x ) 的最大值为 f (b) ,需 f ( 2a 4a


1 1 1 1 ? ln 2 ? 1 ( a ? ) ,因为 g ?(a ) ? (1 ? ) ? 0 恒成立, 4a 2 a 4a 1 1 1 故恒有 g (a ) ? g ( ) ? ln 2 ? ? 0 ,所以 a ? 时,①式恒成立, 实数 a 的取值范围是 2 2 2 [1 ? ln 2, ??) . (14 分)
令 g (a ) ? ln 2a ?

11


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江西省南昌市第三中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 理

江西省南昌市第三中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 _数学_高中教育_教育专区。南昌三中 2015-2016 学年度上学期第四次月考 高三数学(理)试卷一、选择...

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