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河南省郑州市盛同学校2015届高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析)


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河南省郑州市盛同学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. (5 分)在复平面内,复数 Z= A. 第四象限 B. 第三象限 +i 对应的点位于() C. 第二象限
2 3

D. 第一象限

2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg A. {x|10<x<1} B. {x|x>1}

},N={y|y=x +2x+3},则(?RM)∩N=() C. {x|x≥2} D. {x|1<x<2}
﹣x

3. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x﹣e (e 为自然数的底数) , 则 f(ln6)的值为() A. ln6+6 B. ln6﹣6 C. ﹣ln6+6 D. ﹣ln6﹣6 4. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 S10=0,S15=25,则 Sn 取得最小值时 n 的值 是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原点,若|AF|=3, 则△AOF 的面积为() A. B. C. D. 2
2

6. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件①可以为()

A. n≤5

B. n≤6

C. n≤7

D. n≤8

7. (5 分)已知 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ < 图象上的五个点,如图所示,

一个周期内的

,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, 为() 在 x 轴上的投影为 ,则 ω ,φ 的值

A. ω =2,φ =

B. ω =2,φ =

C. ω = ,φ =

D. ω = ,φ =

8. (5 分)一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1, 2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为() A. 3 B. C. 2 D.

9. (5 分)函数 f(x)=sinx?ln|x|的部分图象为()

A.

B.

C.

D. 10. (5 分)三棱锥 S﹣ABC 中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形, 则以下结论中: ①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90°. ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; ④点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 其中正确的个数是()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

11. (5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为()
-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. 4π C. D.

12. (5 分)设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则 实数 a 的取值范围是() A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D.

【选修 4—5】不等式选讲. 23.设函数 f(x)= + 的最大值为 M.

(Ⅰ)求实数 M 的值; (Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M 的解集.

河南省郑州市盛同学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. (5 分)在复平面内,复数 Z= A. 第四象限 B. 第三象限 +i 对应的点位于() C. 第二象限 D. 第一象限
3

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解: 复数 Z= +i =
3

=

=

对应的点位于第四

象限, 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.
2

2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg A. {x|10<x<1} B. {x|x>1}

},N={y|y=x +2x+3},则(?RM)∩N=() C. {x|x≥2} D. {x|1<x<2}

考点: 其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算;函数的值域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用函数的定义域求出 M,函数的值域求出 N,即可求解(?RM)∩N. 解答: 解:集合 M={x|y=lg M={x|0<x<1}, ∴?RM={x|x≤0 或 x≥1} }, ,解得:0<x<1,

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com N={y|y=x +2x+3}={y|y≥2}, (?RM)∩N= 分析: 利用抛物线的定义,求出 A 的坐标,再计算△AOF 的面积. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1. ∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴1+xA=3 ∴xA=2, ∴yA=±2 , ∴△AOF 的面积为 = .
2

故选:B. 点评: 本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键. 6. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件①可以为()

A. n≤5

B. n≤6

C. n≤7

D. n≤8

考点: 程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 n 用是累加 2 的值到 S 并输出 S. 解答: 解:循环前,S=1,n=1 第一次循环:S=1+2=3,n=1+1=2,继续循环; 2 第二次循环:S=3+2 =7,n=2+1=3,继续循环; 3 第三次循环:S=7+2 =15,n=3+1=4,继续循环; 4 第四次循环:S=15+2 =31,n=4+1=5,继续循环; 5 第五次循环:S=31+2 =63,n=5+1=6,继续循环; 6 第六次循环:S=63+2 =127,n=6+1=7,停止循环,输出 S=127. 故选 B. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度重 视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量 的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流 程图的含义而导致错误.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7. (5 分)已知 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ω x+φ ) (ω >0,0<φ < 图象上的五个点,如图所示, 一个周期内的

,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为 在 x 轴上的投影为 ,则 ω ,φ 的值

该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, 为()

A. ω =2,φ =

B. ω =2,φ =

C. ω = ,φ =

D. ω = ,φ =

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 通过函数的图象,结合已知条件求出函数的周期,推出 ω ,利用 A 的坐标求出 ? 的 值即可. 解答: 解:因为 A,B,C,D,E 是函数 y=sin(ω x+?) (ω >0,0<?< 图象上的五个点,如图所示, ,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心, B 与 D 关于点 E 对称, 在 x 轴上的投影为 所以 T=4×( 所以 0=sin(﹣ , , 一个周期内的

)=π ,所以 ω =2,因为 +?) ,0<?< ,?= .

故选 B. 点评: 本题考查三角函数的解析式的求法,正确利用函数的图象与性质是解题的关键,考 查计算能力. 8. (5 分)一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O﹣xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1, 2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为() A. 3 B. C. 2 D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离.

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 求出四个顶点在 yOz 平面上投影的坐标,分析正视图的形状,可得答案. 解答: 解: (0,0,0) , (1,2,0) , (0,2,2) , (3,0,1) , 在 yOz 平面上投影的坐标分别为: (0,0,0) , (0,2,0) , (0,2,2) , (0,0,1) , 如下图所示:

即四面体的正视图为上下底长度分别为 1,2,高为 2 的梯形, 其面积 S= =3,

故选:A 点评: 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,其中画出几何体的正视图是解答的关 键. 9. (5 分)函数 f(x)=sinx?ln|x|的部分图象为()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性和 x∈(0,1)时,函数 f(x)的图象 的位置,利用排除法可得答案. 解答: 解:∵f(﹣x)=sin(﹣x)?ln|﹣x|=﹣sinx?ln|x|=﹣f(x) , 故函数 f(x)为奇函数,即函数 f(x)的图象关于原点对称, 故排除 CD, 当 x∈(0,1)时,sinx>0,ln|x|<0,此时函数 f(x)的图象位于第四象限, 故排除 B, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,其中分析出函数图象的形状和位置是解答的关键.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10. (5 分)三棱锥 S﹣ABC 中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形, 则以下结论中: ①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90°. ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; ④点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 其中正确的个数是()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

考点: 平面与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由条件根据异面直线所成的角,直线和平面垂直的判定定理、性质定理,平面和平 面垂直的判定定理,判断各个选项是否正确,从而得出结论. 解答: 解:由题意知 AC⊥平面 SBC,故 AC⊥SB,故①正确; 再根据 SB⊥AC、SB⊥AB,可得 SB⊥平面 ABC,平面 SBC⊥平面 SAC,故②③正确; 取 AB 的中点 E,连接 CE,可证得 CE⊥平面 SAB,故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离 a, ④正确, 故选:D. 点评: 本题主要考查异面直线所成的角,直线和平面垂直的判定定理、性质定理,平面和 平面垂直的判定定理的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 11. (5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为() A. B. 4π C. D.

考点: 直线与平面垂直的性质;球的体积和表面积. 专题: 球. 分析: 设球的半径为 R,根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是 π ,我们易求出截面圆的半径为 1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足 勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,∵AH:HB=1:2,∴平面 α 与球心的距离为 R, ∵α 截球 O 所得截面的面积为 π ,

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴d= R 时,r=1, 故由 R =r +d 得 R =1 +( R) ,∴R = ∴球的表面积 S=4π R =
2 2 2 2 2 2 2 2



故选:C. 点评: 本题考查的知识点是球的表面积公式,若球的截面圆半径为 r,球心距为 d,球半径 为 R,则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理. 12. (5 分)设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则 实数 a 的取值范围是() A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D. 上有三个零点,进行判

断. 解答: 解:函数 f(x)=|lnx|的图象如图示:

当 a≤0 时,显然,不合乎题意, 当 a>0 时,如图示, 当 x∈(0,1]时,存在一个零点, 当 x>1 时,f(x)=lnx, 可得 g(x)=lnx﹣ax, (x∈(1,3]) g′(x)= = ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数,

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数, 此时 f(x)必须在上有两个零点,



解得,



在区间(0,3]上有三个零点时, , 故选 D. 点评: 本题重点考查函数的零点,属于中档题,难度中等. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13. (5 分)已知在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角的正切值是 .

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 首先利用转化法,求出线面所夹的角,进一步利用解三角形知识求出结果. 解答: 解:已知在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点, 连接 AC 交 BD 于 O,做 AB 的中点 F,连接 B1F,取 BO 的中点 G,连接 FG,GB1 所以:B1F∥AE,FG⊥BD, 所以:AE 与平面 BDD1B1 所成角为:∠FB1G 设正方体的棱长为 1, 进一步求得:FG= 则:tan∠FB1G= 故答案为: , =

-9-

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点评: 本题考查的知识要点:线面的夹角问题,解三角形知识的应用,属于基础题型.

14. (5 分)己知 x>0,y>0,且 x+y+ + =5,则 x+y 的最大值是 4.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式转化为一元二次不等式,解出即可. 解答: 解:∵x>0,y>0,且 x+y+ + =5, ∴
2

=(x+y)+



令 x+y=t>0,上述不等式可化为 t ﹣5t+4≤0, 解得 1≤t≤4,当且仅当 x=y=2 时取等号. 因此 t 即 x+y 的最大值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法,属于中档题. 15. (5 分)三棱锥 D﹣ABC 中,DA⊥底面 ABC,底面 ABC 为等边三角形,DA=4,AB=3,则三棱 锥 D﹣ABC 的外接球体积为 .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征,可得此三棱锥外接球,即为以△ABC 为底 面以 PA 为高的正三棱柱的外接球,分别求出棱锥底面半径 r,和球心距 d,代入 R= 可得球的半径 R,然后求解体积. 解答: 解:根据已知中底面△ABC 是边长为 3 的正三角形,DA⊥底面 ABC, 可得此三棱锥外接球,即为以△ABC 为底面以 DA 为高的正三棱柱的外接球 ∵△ABC 是边长为 3 的正三角形, ∴△ABC 的外接圆半径 r= ,DA=4, 球心到△ABC 的外接圆圆心的距离 d=2 故球的半径 R= = = ,

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故三棱锥 P﹣ABC 外接球的体积 V= π r = 故答案为: π. ,是解答
3

π,

点评: 本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径 R 公式 R= 的关键.

16. (5 分)函数 f(x)=

的最大值与最小值之积等于﹣



考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 f(x)为奇函数,对函数求导可,x>0 时,f′(x) = x>0 时, 结合导数可判断函数 f (x) 在 (0, )上单调递减, f(x)max=f( = ﹣1], ( 结合奇函数的性质,只要先考虑 , +∞) 上单调递增, 在 ( ,

)= ,f(x)min=﹣f(x)max=﹣ 根据奇函数的对称性可得 f(x)min=

﹣f(x)max,代入可求 解答: 解:∵f(x)=

∴f(﹣x)= ∴f(x)为奇函数 当 x>0 时,f′(x)=

=﹣f(x)

=
2

令 f′(x)>0 可得 x ﹣6x +1>0,即 0 ,或 x 4 2 f′(x)<0 可得 x ﹣6x +1<0,即 1 ∴f(x)在(0, ﹣1], ( ,+∞)上单调递增,在(

4



)上单调递减,

又∵

=

=0,f(0)=0

∵f(

)>0,f(

)<0,

∴f(x)max=f(

)= ,f(x)min=﹣f(x)max=﹣

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 则最大值与最小值的积为 ×(﹣ )=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了利用函数的导数求解函数的最值,其中奇函数的对称性的利用及函 数最大值的位置判断是解答本题的关键 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)设函数 .

(Ⅰ)求 f(x)的最大值,并写出使 f(x)取最大值是 x 的集合; (Ⅱ)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 最小值. 考点: 余弦定理;三角函数的化简求值;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值 化简,第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,合并整理后,再利用两角和与差的余弦函数 公式化为一个角的余弦函数, 由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为 1, 可得出函数 f (x) 的最大值,并根据余弦函数的图象与性质得出此时 x 的范围,即可确定出使 f(x)取最大值 是 x 的集合; (Ⅱ)由 f(B+C)= ,将 B+C 代入第一问化简后的式子中,利用诱导公式化简后得到 cos(2A ﹣ )的值,由 A 为三角形的内角,得出 2A﹣ 的范围,利用特殊角的三角函数值求出 A 的
2 2 2

.求 a 的

度数,进而确定出 cosA 的值,再利用余弦定理表示出 a =b +c ﹣2bccosC,利用完全平方公式 化简后,将 b+c 及 cosC 的值代入,并利用基本不等式求出 bc 的最大值,可得出 a 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=cos(2x﹣ =(cos2xcos = cos2x﹣ +sin2xsin )+2cos x
2

)+(1+cos2x) )+1, (3 分) )最大值为 1,

sin2x+1=cos(2x+

∵﹣1≤cos(2x+

)≤1,即 cos(2x+

∴f(x)的最大值为 2, (4 分) 要使 f(x)取最大值,cos(2x+ 解得:x=kπ ﹣ (k∈Z) , (k∈Z)}; (6 分) )=1,即 2x+ =2kπ (k∈Z) ,

则 x 的集合为{x|x=kπ ﹣

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)由题意,f(B+C)=cos+1= ,即 cos(2π ﹣2A+ 化简得:cos(2A﹣ )= , (8 分) ∈(﹣ , ) , )= ,

∵A∈(0,π ) ,∴2A﹣ 则有 2A﹣ = ,即 A=

, (10 分)

在△ABC 中,b+c=2,cosA= , 由余弦定理,a =b +c ﹣2bccos 由 b+c=2 知:bc≤
2 2 2 2

=(b+c) ﹣3bc=4﹣3bc, (12 分)

2

=1,当且仅当 b=c=1 时取等号,

∴a ≥4﹣3=1, 则 a 取最小值 1. (14 分) 点评: 此题考查了余弦定理,三角函数的化简求值,余弦函数的图象与性质,基本不等式, 两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,特殊角的三角函数值,以及余弦函数的 定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= 求实数 k 的取值范围. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n=1 时,a1=S1,解得 a1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,再利用等比数列的通项公 式即可得出. (2) 利用对数的运算性质可得 bn, 利用 cn= 即可得出:数列{cn}的前 n 项和 Tn= ,化为 =
*

,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,若对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,

*

. 利用“裂项求和”

.由于对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,可得 = ,利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣2,解得 a1=2. 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1, 化为 an=2an﹣1, ∴数列{an}是以 2 为公比的等比数列, ∴ . =n,
- 13 -

(2)∵bn=log2an=

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴cn= = . +?+ = = .

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= ∵对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立, ∴ ,化为
*

=



∵n+ +5 ∴ ,

=9,当且仅当 n=2 时取等号.



. .

∴实数 k 的取值范围是

点评: 本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问 题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力, 属于难题. 19. (12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 利用向量法

能求出异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值. (2)分别求出平面 ABA1 的法向量和平面 ADC1 的法向量,利用向量法能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值. 解答: 解: (1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,

则由题意知 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A1(0,0,4) ,D(1,1,0) ,C1(0,2,4) , ∴ , =(1,﹣1,﹣4) ,

∴cos<

>=

=

=



∴异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 (2) 设平面 ADC1 的法向量为 ∵



是平面 ABA1 的一个法向量, , ,



,取 z=1,得 y=﹣2,x=2,

∴平面 ADC1 的法向量为 设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 θ , ∴cosθ =|cos< ∴sinθ = >|=| = . |= ,



∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为



点评: 本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法,考查平面与平面所成角的正弦值的 求法,解题时要注意向量法的合理运用.
2

20. (12 分)己知向量 =(

sin ,1) , =(cos ,cos ) ,记 f(x)=



- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)若 f(x)=1,求 cos( ﹣x)的值;

(Ⅱ)在锐角△ABC 申,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围. 考点: 正弦定理的应用;平面向量的综合题. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用向量的运算法则和向量的坐标化简整理出 f(x)的解析式,进而根据 f (x)=1 求得 sin( + )的值,最后利用二倍角的余弦函数公式求得答案.

(Ⅱ)利用正弦定理把已知条件中的边转化为角的正弦,进而化简求得 cosB 的值,继而求得 B,则 A 的范围可得,确定 + 质确定函数 f(A)的范围. 解答: 解: (Ⅰ) = 因为 f(x)=1, 所以 , . (Ⅱ)因为(2a﹣c)cosB=bcosC 由正弦定理得(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC, 所以 2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC, 所以 2sinAcosB=sin(B+C) , 因为 A+B+C=π ,所以 sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0 所以 所以 所以 又因为 f(x)= 所以 f(A)= 故函数 f(A)的取值范围是 点评: 本题主要考查了向量的运算法则的应用,三角函数恒等变换的应用,三角函数图象 与性质的应用.考查了学生综合分析和解决问题的能力. 21. (12 分)如图,设四棱锥 S﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=SC=2,SA=SB= (Ⅰ)求证:平面 SAB⊥平面 ABCD; . = , , , , , = 的范围,进而根据第一问中 f(x)的解析式和正弦函数的性

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)求平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连接 AC,取 AB 的中点 E,连接 SE、EC,证明 SE⊥AB,SE⊥EC,即可证明 SE⊥ 面 ABCD,从而可得平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ) 以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系, 通过求解平面 ADS 与平面 ABS 法向量所成角的余 弦值得到平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:连接 AC,取 AB 的中点 E,连接 SE、EC, ∵ , ∴SE⊥AB,AB=2,∴SE=1, 又四棱锥 S﹣ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形,AB=2, ∴ , 2 2 2 又 SC=2,∴SC =CE +SE , ∴SE⊥EC, ∵AB∩EC=E, ∴SE⊥面 ABCD, ∵SE? 平面 SAB, ∴平面 SAB⊥平面 ABCD; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,分别以 EC,EB,ES 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立建立空间直角 坐标系. 则面 ABS 的一个法向量 =(1,0,0) ,A(0,﹣1,0) ,S(0,0,1) , ∴ 设面 ADS 的法向量 =(x,y,z) , 则 令 = ,则 , =y+z=0, ,∴ = , . , ,

设平面 ADS 与平面 ABS 所夹角的大小为 θ ,则 cosθ =

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查了平面与平面垂直的判定,考查了利用空间向量求解二面角的大小,综合 考查了学生的空间想象能力和思维能力,是中档题. 四、选修题:请在下面的两个题中任选一题作答【选修 4-1】集合证明选讲 22. (10 分) 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,AE⊥CD 于点 E,DA 平分∠BDE. (1)证明:AE 是⊙O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 立体几何. 分析: (1)首先通过连接半径,进一步证明∠DAE+∠OAD=90°,得到结论. (2)利用第一步的结论,找到△ADE∽△BDA 的条件,进一步利用勾股定理求的结果

解答: (1)证明:连结 OA,在△ADE 中,AE⊥CD 于点 E, ∴∠DAE+∠ADE=90° ∵DA 平分∠BDC. ∴∠ADE=∠BDA ∵OA=OD ∴∠BDA=∠OAD ∴∠OAD=∠ADE ∴∠DAE+∠OAD=90° 即:AE 是⊙O 的切线 (2)在△ADE 和△BDA 中, ∵BD 是⊙O 的直径 ∴∠BAD=90° 由(1)得:∠DAE=∠ABD 又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 进一步求得:CD=2 故答案为: (1)略 (2)CD=2 点评: 本题考查的知识点:证明切线的方法:连半径,证垂直.三角形相似的判定,勾股 定理的应用. 【选修 4—5】不等式选讲. 23.设函数 f(x)= + 的最大值为 M.

(Ⅰ)求实数 M 的值; (Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M 的解集. 考点: 二维形式的柯西不等式;绝对值不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数 f(x) = + = ? + ≤ ? =3, 求得实数 M 的值.

(Ⅱ)关于 x 的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3,由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3,可得 |x﹣1|+|x+2|=3.根据绝对值的意义可得 x 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x) = 当且仅当 + = = ? + ≤ ? =3,

,即 x=4 时,取等号,故实数 M=3.

(Ⅱ)关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M,即|x﹣1|+|x+2|≤3. 由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴|x﹣1|+|x+2|=3. 根据绝对值的意义可得,当且仅当﹣2≤x≤1 时,|x﹣1|+|x+2|=3, 故不等式的解集为. 点评: 本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用,绝对值的意义,绝对值三角不等式, 属于基础题.

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