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极坐标系与参数方程


一、基础知识回顾 1.极坐标系
(1)建系:如图所示,在平面上取一个定点 O,由 O 点出发的一条射线 Ox,一个长度 单位及计算角度的 正方向 (通常取逆时针方向) 合称为一个极坐标系。 O 点称为极点, Ox 称为极轴。

平面上任意点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 度 来刻画,这两个数组 成的有序数对 下,我们用弧度制度 量 。 称为点 M 的极坐标。



≥0)和从 Ox 到 OM 的角

称为极径, 称为极角。多数情况

注意:平面上的点与其极坐标之间不具有一一对应关系,因为若点 M 的一组极坐 标为 ,则 (k∈Z)也是点 M 的极坐标。若限定 外,点其极坐标一 一对应。 (2)极坐标系与直角坐标系的互化 ,则除原点

在平面上取定了一个极坐标系, 以极轴作为直角坐标系的 x 轴的正半轴, 以 的射线作 y 轴的 正半轴,以极点为坐标原点,长度单位不变,建立一个直角坐标系。 设 M 为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y) ,极坐标为 。画图可知:

,或 (3)曲线的极坐标方程的概念



在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程 极坐标 满足 方程的所有点组成的,则称此二元方程

。如果曲线 C 是由

为曲线 C 的极坐标方程。

也就是说:①以方程的解为坐标的点在曲线 C 上; ②曲线 C 上的点的至少一组坐标是方程的解。 (4)直线的极坐标方程 ①经过极点: 或 。 。 。

②垂直于极轴且与极点距离为 a(>0) : ③平行于极轴且与极点距离为 a(>0) : (5)圆的极坐标方程 ①圆心为极点,半径为 r: ②圆心为(r,0) ,半径为 r: ③圆心为 ,半径为 r: 。 。 。

④圆心为

,半径为 r:



⑤圆心为

,半径为 r:



2.参数方程

(1)定义:平面直角坐标系上点的坐标 x,y 表示为第三个变量 t 的函数 ,参数 t 是 联系 x,y 的桥梁,消去 t 即得到方程 F(x,y)=0。 注意:①对 t 的每一取值,方程组确定的点(x,y)在曲线上; ②线上任一点(x,y)都可由 t 的某一取值通过方程组可得到。 (2)已知直线经过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 线上任意一点 ,则方向向量



,直

P(x,y)满足

,则

(t 为参数) 。

注意:参数 t 的意义: ①t 的符号:相对于 P0(x0,y0)的位置。②t 的绝对值:|P0P|=|t|。

若已知一般的方向向量 时参数 t 就不具

类似于上述过程

(t 为参数) , 但此

有上述参数方程的意义。

(3)圆

的参数方程:

, 为参数。

椭圆的参数方程:

, 为参数。

二、典型例题
1.设点 极点的对称点的极坐标。 解:关于极轴: 关于直线 : 关于极点: 。 ,直线 过极点且垂直于极轴,分别求点 M 关于极轴,直线 ,



说明:点的极坐标不唯一,写出一组即可。

2.把下列点的极坐标化为直角坐标:

,B(1,2) 。

解: (1)

, ∴A 点直角坐标

, 。 , 。





(2)







∴B 点直角坐标

3.把下列点的直角坐标化为极坐标:A(1,-1) ,B(1,π ) 解: (1) , , , ,又 A 在第四象限,



∴A 点极坐标

(2) 限, ∴







,又 B 在第一象

∴B 点极坐标

4.将下列极坐标方程化为直角坐标方程。 (1) 解: (1) (2)∵ (3) ∴(x +y )(x-1)=0 (4) ∴ 曲线经过极点 ∴(x2+y2)2=2a2xy
2 2

; (2)

; (3) ,∴直角坐标方程为 x2+y2=1 曲线经过极点,∴ ∴

; (4)



,∴x2+y2=y

5.求直线

的倾斜角。

解:法一:直线的方向向量

,∴倾斜角为

法二:消去 t,将直线方程化为普通方程为





,∴斜率

,倾斜角为



6.设直线 经过点 M(1,1) ,倾斜角为 (1)写出直线 的参数方程; (2)求直线 与直线



的交点 P 的坐标及|PM|。

解: (1) 的参数方程为

(2)由(1)知

,解方程,得

∴P 点坐标为 即 ,且



7.直线 经过点 A(1,3)且与 距离。

共线,求点 P(―2,―1)到直线 的

解: 的参数方程 设 P 到 点的距离为 d, ∴

设 ∴P 到 的距离为 。

∴当



8.求椭圆 解:设椭圆上点坐标 ∴

上的点到 M(2,0)的距离的最小值。 ,M 到椭圆上点的距离为 d



时 。

∴椭圆上点到 M(2,0)的距离最小值为

三、课后练习
1.极坐标方程 A.直线 B.圆 C.椭圆 表示的曲线是( ) D.抛物线

2.已知动圆方程 A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线

,那么圆心的轨迹是( ) D.抛物线的一部分

3.圆

的圆心的极坐标是________。

4.曲线



的交点的极坐标是________。

5.圆心在(2,1) ,半径为 4 的圆在直线

上所截的弦长为________。

参考答案:

1.B 2.D 3.

4.



5.8



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