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北师大版高一数学必修1教案-函数的单调性


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§3 函数的单调性 教学目的: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教

学过程:

阅读与思考
? 1、阅读教材 ? P36 的实例分析及思考交流止。
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 51 42 42 42 42 42 50 50 50 50 50 51 51 51 51 9

? 2、思考问题 (1) P36 图 2-15 (全国从 20120421-20120519 每日新增艾滋病例的变化统计图) 从 看出,形势从何日开始好转? (2)从 P36 图 2-16 你能否说出 y 随 x 如何变化? 德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据 时间间隔 刚刚记忆完毕 20 分钟之后 1 小时之后 8-9 小时之后 1 天后 2 天后 6 天后 一个月后 … 艾宾浩斯遗忘曲线 记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% …

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保持量(百分数) 100 80 60 40 20 0

1 5 6

2

3 天数

4

问:什么是增函数、减函数、函数的单调性? 问题 1、 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:
(1) y ? x ? 1 (2) y ? ? 2 x ? 2
(3) y ? ? x
2

(4) y ?

1 x

y

y

y ? x ?1

1

y ? ?2 x ? 2

2

1

-1

O

x
y ? ?x
2

O

x
y? 1 x

y

y

O

x

O

x

问题 2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗? 在某一区间内, 图象在该区间呈上升趋势 当 x 的值增大时,函数值 y 也增大 图象在该区间呈下降趋势 当 x 的值增大时,函数值 y 反而减小 如何用 x 与 f(x)来描述上升的图象?

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y

y ? f (x )
f (x 1 )
O

在给定区间上任取

x1 , x 2 ,

f (x 2 )
x2

x1 ? x 2

f(x 1 ) ? f(x 2 )

结论:

函数f (x)

x1

x

在给定区间上为递增的。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象?

y

y ? f (x )
f (x 1 )

在给定区间上任取
x1 ? x 2

x1 , x 2 ,

f(x 1 ) ? f(x 2 )

f (x 2 )

结论: 函数f (x) x 在给定区间上为递减的。

O

x1

x2

y y=f(x) f(x1) O x1 x2

f(x2) x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I
?

A. 如果对于区间I内的任意两个值 f(x1)<f(x2)

x1,x2,当 x 1<x2 时,都有

那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.

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y y=f(x) f(x1) O x1 x2

f(x2) x

一般地,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I
?

A. 如果对于区间I内的任意两个值 f(x1)<f(x2)

x1,x2,当 x 1<x2 时,都有

那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 I 是单调增函数或单调减函数,那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单 调性. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间.
[例1] 证明函数 f ( x ) ? 2 x ? 1在区间 ( ? ? , ? )上是增函数。 ?

证明:

设 x 1 , x 2 是区间 ( ?? , ?? )内任意

(条件)
两个实数,且 x 1 ? x 2 。 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ( 2 x 1 ? 1) ? ( 2 x 2 ? 1) ? 2(x 1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2 , ? x1 ? x 2 ? 0

? f (x 1 ) ? f (x 2 ) ? 0

即f (x 1 ) ? f (x 2 )

(论证结果)

则函数 f ( x ) ? 2 x ? 1在区间 ( ?? , ?? )

是增函数。

(结论)

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[ 例 2 ] 判断函数 f ( x ) ? x

2

? 2x 的

单调性,并加以证明。

y

f (x) ? x ? 2x
2

单调递减区间:

( ?? , 1 )
1 o 2 x 单调递增区间:

[1 , ?? )

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【练习】 : 1、判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是增函数还是减函数?并证明你的结论. 减函数 2、判断函数f(x)=1/x在(0,+∞)上 是增函数还是减函数?并证明你的结论. 减函数

【想一想】 :能否说函数f(x)=1/x在(-∞,+∞)
上是减函数? 答: 不能. 因为x=0不属于f(x)=1/x的定义域.

解题步骤 用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1<x2, 并且是某个区间上任意二个值; (2). (3). 作差 f(x1)-f(x2) ; 判断 f(x1)-f(x2) 的符号: ① 分解因式, 得出因式x1-x2 . ② 配成非负实数和. 作结论.

(4).
小结

1.

概念 定义法

2.

方法 图象法

§4.1 二次函数的图像 教学目的:理解二次函数的图像中 a,b,c,h,k 的作用;领会二次函数图像移动的方法 教学重点:二次函数的图像中 a,b,c,h,k 的作用 教学难点:领会二次函数图像移动的方法 教学方法:逐层推进 教学过程: 一.复习引入 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
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2 (1) y = (x+2) -1, 二.问题探索 探索问题 1:

2 (2) y = - (x-2) +2 ,

2 (3) y = a (x+h) +k

y ? x 和 y ? ax ( a ? 0) 的图像之间有什么关系?
2 2

实践探究 1:在同一坐标系中做出下列函数的图像; y ? x ;
2

y ? 2x ;
2

y?

1 2

x

2

观察发现 1: 2 2 1.二次函数 y=ax (a?0)的图像可由的 y=x 图像各点纵坐标变为原来的 a 倍得到. 2.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上,a<0 开口向下. 3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一: 下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1). 1 2 1 2 1 2 2 f ( x ) ? x ; f ( x ) ? x ; f ( x) ? ? x ; f ( x) ? ?3 x 4 2 3 探索问题 2:
y ? ax ( a ? 0) 和 y ? a ( x ? h ) ? k , ( a ? 0) 的图像之间有什么关系?
2 2

实践探究 2:在同一坐标系中做出下列函数的图像:
y ? 2x
2



y ? 2 (x ? 1 );
2

y ? 2 (x ? 1 )?
2

3

观察发现 2: 2 二次函数 y=a(x+h) +k (a?0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向; 而且“a 正开口向上,a 负开口向下”;|a|越大开口越小; h 决定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”; k 决定了二次函数图像的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”。 巩固性训练二: 2 1.将二次函数 y=3x 的图像平行移动,顶点移到(-3,2) ,则它的解析式为 2 Y=3(x+3) +2 。 2 2.二次函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数 g(x)=x +1, f(x)图像的顶点为(3,2),则 f(x)的表达式为 Y=(x-3) 探索问题 3:
y ? ax ( a ? 0) ,和 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 的图像之间有什么关系?
2 2

2

+2 。

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观察发现 3:一般的,二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) , 通过配方就可以得到它的恒等形
2

式: y ? a ( x ? h ) ? k , ( a ? 0) 。 从而知道,由 y ? ax ( a ? 0) 的图像经过平
2 2

移就可以得到 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0) 。
2

发展性训练 2 2 1. 由 y=3(x+2) +4 的图像经过怎样的平移变换,可以得到 y=3x 的图像. 右移 2 单位,下移 4 单位 2 2. 把函数 y=x -2x 的图像向右平移2个单位,再向下平移3个单位所得图像对应的函数 2 2 2 解析式为 : Y =(x-2) -2(x-2)-3 = x - 6x+5 = (x-3) -4 。 三.课堂小结: 2 1.a,h,k 对二次函数 y =a(x+h) +k 图像的影响。 2 2 2. y = x 与 y =a(x+h) +k 的图像变换规律。 四.课后作业:

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