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开封市2015届5月高三冲刺模拟考试理科数学试卷及答案


2015 届开封市高三数学(理)冲刺模拟考试

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(23)题为选考题,其 他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓

名、准考证 号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

1 V ? Sh 3
其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式[来源:Z。xx。k.Com]

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R 2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

-1-

1.若集合 M ? ? x y ? lg A

? ?

2? x? ? , N ? ? x x ? 1? ,则 M ? ?R N ? ( ) x ?
C ?1, 2 ?
3

? 0, 2 ?

B

? 0, 2 ?

D

? 0, ?? ?
)上 D 直线 y ? ?

2.已知复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i , A 直线 y ? ?

则复数 z 对应的点在( C 直线 x ? ?

1 x 2

B 直线 y ?

1 x 2


1 2

1 2

3.下列命题中为真命题的是( A. 若 x≠0,则 x+ ≥2

B. 命题:若 x =1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x ≠1 C. “a=1”是“直线 x﹣ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件 2 2 D. 若命题 p :?x∈R,x ﹣x+1<0,则¬ p :?x∈R,x ﹣x+1>0 4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量, 从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度 (棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其 频率分布直方图如图所示.从抽样的 100 根棉花纤维中任意抽取一根,则其棉 花纤维的长度小于 20mm 的概率是( A. B. ) D.

2

2

2 5

C.

3 8

3 5


5.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( A.12 B.24 C.30 D.48

5 2 4 正视图 3 左视图 俯视图
开始

6.已知 {an } 为正项等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a1 ? 16 ,且 a4 与 a7 的等差中项为 A.29 B.31

S=1 i=3

9 ,则 S5 的值 ( 8
C.33

) D.35 是 输出 i

S≧100?

否 S=S·i i=i+2 7.已知某程序框图如图所示,则输出的 i 的值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 结束

-2-

8.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? ? 的图像与函数 y ? cos ? x ? ? 的图像( ) 6? 3? ?
D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴 9. 从 6 本不同

A 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心

的书中选出 4 本,分别发给 4 个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有 A.180 B.220
x

C.240

D.260

10.已知函数 f(x)=e ﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的 切线,则实数 m 的取值范围是( ). A. ? ??, ?

? ?

1? e?

B. ( ,+∞)

C. ? , e ?

?1 ?e

? ?

D.

?e , ?? ?

11.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点.将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为 ( ) A.

6? 6? B. 8 6

C.

6? 4

D.

6? 2

12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? b ? N * ? 的两个焦点 F1 , F2 , 点 P 是双曲线上一点,OP ? 5, PF 1 , F 1F 2 , PF 2 4 b2

成等比数列,则双曲线的离心率为( ) A 2 B 3 C

5 3

D

5 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分, 第 (13) 题~第 (21) 题为必考题, 每个试题考生都必须做答, 第 (22) 题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x ? y ? 11 ? 0 ? 13. 设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
则 a 的取值范围是

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上存在区域 D 上的点,

x

14. 若 等 边 ?A B C 的 边 长 为 2 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ?

1 1 CB ? CA , 则 3 2

MA ? MB ?

.

15.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? ?? 2, 0? 时,

-3-

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 , 若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根, 2 则 a 的取值范围是 .
16.设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知 3cos B cosC ? 2 ? 3sin B sinC? 2cos A .
2

(n=4,5, ??),则 a2015 =

(I)求角 A 的大小; 5 (II)若 b=5,sin Bsin C= ,求△ABC 的面积 S 7 18. (本小题满分 12 分) 某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有 关.某厂家生产甲、乙两种品牌,保修期均为 2 年.现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取 50 件, 统计数据如下: 品牌 首次出现故障时 间 x(年) 数量(件) 每件利润(百元) 0<x≤1 2 1 甲 1<x≤2 3 2 乙

x>2
45 3

0<x≤2 5 1.8

x>2
45 2.9

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲、 乙品牌产品中随机各抽取一件, 求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的 概率; (II)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌的利润为 X1,生产一件乙品牌家电的利润为 X2, 分别求 X1,X2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电.若从经 济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC . (Ⅰ)求证: PC ? 平面ABC ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的的余弦值 . 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3
2

P

D A C

B

(I)求函数分 f(x)在 ?t , t ? 2? (t>0)上的最小值;

? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (II)对一切 x ? ? 0, ??? , 2 f ( x)
-4-

(III)证明:对一切 x ? ? 0, ??? 都有 ln x ? 21.(本小题满分 12 分)

1 2 ? 成立 e x ex

已知点 P 是圆 F1 : (x ? 1)2 ? y 2 ? 16 上任意一点( F1 是圆心), 点 F2 与点 F1 关于原点对称.线段 PF2 的中垂 线 m 分别与 PF1、PF2 交于 M 、N 两点. (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 经过 F2,与抛物线 y =4x 交于 A1,A2 两点,与 C 交于 B1,B2 两点.当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
2

如图,AB 是 O 的直径,弦 BD、CA 的延长线 相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证: (I) ?DEA ? ?DFA; (II)AB =BE?BD-AE?AC.
2

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线 C 1 : ?

? x ? 8cos ? , ? x ? ?4 ? cos t , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3sin ? , ? y ? 3 ? sin t ,

(I)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ( II ) 若 C
1

上的点 P 对应的参数为 t ? 距离的最小值.

? ,Q 为 C 2

2

上 的 动 点 , 求 PQ 中 点 M 到 直 线

C 3 : ? ? cos? ? 2sin? ? ? 7

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 。 (I)画出函数 y=f(x)的图像; (II)若不等式 a ? b ? a ? b ? a f ( x) , (a?0,a、b?R)恒成立,求实数 x 的范围.

-5-

一、 选择题:1.C 填空题:13. (1,3] 二、 解答题:

参考答案 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D 14. ?

8 9

15. ( 3 4 ,2)

16. 8057

17. 【解】 (I)由 3cos B cosC ? 2 ? 3sin B sinC? 2cos A ,得
2

2cos A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0.----2 分 1 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去).----4 分 2 π 因为 0<A<π ,所以 A= .-----6 分 3

2

b c bc 5 2 (II)由又由正弦定理,得 sin Bsin C= sin A· sin A= 2 ·sin A== .—8 分 a a a 7
2 2 2 由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,又 b=5,所以 c=4 或 c ?

25 . ----10 分 4

S= bcsin A= bc·

1 2

1 2

125 3 3 3 . ----12 分 = bc=5 3或 S ? 2 4 8

18. 【解】 (I)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件 A,则 P(A) =1 ?

45 45 19 ? ? .----4 分 50 50 100

(II)依题意得,X1 的分布列为
-6-

X1 P X2 的分布列为 X2 P

1 1 25

2 3 50

3 9 10

1.8 1 10

2.9 9 10 --------------8 分

1 3 9 143 (III)由(II)得 E(X1)=1× +2× +3× = =2.86(百元), 25 50 10 50

E(X2)=1.8× +2.9× =2.79(百元).-----------12 分
因为 E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌家电. 19. 证明: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP ,? PD ? AB . AC ? BC ,? CD ? AB . PD CD ? D ,

1 10

9 10

? AB ? 平面 PCD .----3 分

PC ? 平面 PCD ,

? PC ? AB ,又∵ PC ? AC ,∴ PC ? 平面ABC -----6 分
解: (Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .

0,, 0) A(0, 2,, 0) B(2, 0, 0) .设 P(0, 0,t ) .---8 分 则 C (0, 0, 2) .----9 分 PB ? AB ? 2 2 ,? t ? 2 , P(0,
取 AP 中点 E ,连结 BE,CE . E

z P y A C x B

AC ? PC , AB ? BP ,

? CE ? AP , BE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

E (0, 11) , , EC ? (0, ?1 , ?1) , EB ? (2, ?1, ?1) ,---10 分

? cos ?BEC ?

EC EB EC EB

?

2 3 3 .? 二面角 B ? AP ? C 的余弦值为 .--12 分 ? 3 3 2 6

20. 解:(I) f (x) = lnx+1 , x ? ? 0, ? , y ? 0, y ? .x ? ( , ??), y ? 0, y ? ---2 分

' '

? ?

1? e?

1 e

1 时不可能; e 1 1 1 当 0 ? t ? ? t ? 2, 即0 ? t ? , f min ( x) ? f (e) ? ? ; e e e 1 1 当 ? t ? t ? 2即t ? , f ( x) ?t , t ? 2? ?, f min ( x) ? f (t ) ? t ln t e e
当0 ? t ? t ? 2 ?
-7-

1 ? 1 ? ,0 ? t ? ? ? e e f ( x) ? ? ;----5 分 1 ?t ln t , t ? ? e ?
(II)可化为 a ? 2 ln x ? x ?

3 3 , 设h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) x x

( x ? 3)( x ? 1) ,当 0<x<1 时, h ' (x ) ? 0, h (x )递减,当x ? 1 ,h ' (x ) ? 0, h (x )递增, 2 x 所以 h(x)最小=h(1)=4,对一切 x>0, a ? 4 ------9 分 x 2 1 (III)问题等价于证明 x ln x ? x ? ? x ? 0 ? ,由(1)知 f (x) ? x ln x,( x ? 0) 的最小值是 ? ,当且仅 e e e 1 x 2 1 ? x 1 ' 当 x ? 时取到等号,设 m(x)= x ? ( x ? 0), m ( x) ? x ,易知 m(x)最小等于 m(1) ? ? ,当且仅当 e e e e e 1 2 x=1 时取到,从而对一切 x ? ? 0, ??? 都有 ln x ? x ? 成立----12 分 e ex h' ( x) ?
21. 解: (I)由题意得, F1 (?1,0), F2 (1,0), 圆 F1 的半径为 4 ,且 | MF2 |?| MP | 从而 | MF1 | ? | MF2 |?| MF1 | ? | MP |?| PF1 |? 4 ?| F1F2 | ∴ 点 M 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆, 其中长轴 2a ? 4 ,得到 a ? 2 ,焦距 2c ? 2 , 则短半轴 b ? 3 椭圆方程为: ???? 2 分

???? 4 分

x2 y2 ? ?1 4 3

???? 5 分

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时,B1(1,

3 3 ),B2(1,- ),又 F1(-1,0), 2 2

此时 B1F 1 ? B2 F 1 ? 0 ,所以以 B1B2 为直径的圆不经过 F1.不满足条件.?????(6 分) 当直线 l 不与 x 轴垂直时,设 L:y=k(x-1)

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 即? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点. 设 B1(x1,y1),B2(x2,y2),则

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1,所以 B1F 1 ? B2 F 1 ? 0 ,又 F1(-1,0) 所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k )x1x2+(1-k )(x1+x2)+1+k =0
2 所以解得 k ?
2 2 2

9 7

?????(8 分)

-8-

由?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

得 k x -(2k +4)x+k =0

2 2

2

2

因为直线 l 与抛物线有两个交点,所以 k ? 0 设 A1(x3,y3) ,A2(x4,y4),则 所以 A1 A2 ? x3 ? x4 ? p ? 2 ? 22. 解:(I)连结 A D 因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90° 则 A、D、E、F 四点共圆 ∴∠DEA=∠DFA---5 分 (II)由(I)知,BD?BE=BA?BF 又△ABC∽△AEF ∴
AB AC ? AE AF ---7 分
F A O B E D

x3 ? x4 ?

2k 2 ? 4 4 ? 2 ? 2 , x3 x4 ? 1 2 k k
????(12 分)

4 64 ?2? . 2 k 9

---4 分

即:AB?AF=AE?AC ∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB
2

C

--------------10 分

23. 解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1, 64 9

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.---4 分
(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) , 2 2 C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,-----7 分
4 3 8 5 5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | 从 而 当 cos ? ? ,sin ? ? ? 时 , d 取 得 最 小 值 5 5 5 5

M 到 C3 的 距 离 d ? ----10 分

24.解:(I)
y

? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? f ( x ) ? ?1 (1 ? x ? 2) ? 3 ? 2 x ( x ? 1) ?

----2 分

1

-----4 分
1 2 x -9-

(II)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)

f (x) ?

a+b + a-b a ?

恒成立

只需

f (x) ? [

a+b + a-b a

]max

a+b + a-b a

a+b+a-b a

=2

? f (x) ? 2 ------7 分

?2x-3 ? 2 ?3-2x ? 2 ?解不等式 x -1 + x -2 ? 2,即? ,或1<x<2或 ? ?x ? 2 ?x ? 1
5 1 1 5 ? 2 ? x ? 或1<x <2或 ? x ? 1...综合得: ? x ? ------10 分 2 2 2 2

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- 10 -


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