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2011高考全国卷2数学理科试题及答案


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷二)
理科数学(必修+选修 II)
一、 选择题
(1) (2) 复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ?1 ? A.-2i B.-i C.i 函数 y ? 2 x ( x ? 0) 的反函数为 A. y ? (3) (4)
x2 ( x ? R) 4

/>
D.2i

B. y ?

x2 ( x ? 0) 4

C. y ? 4 x 2 ( x ? R)

D. y ? 4 x 2 ? x ? 0 ?

下面四个条件中,使得 a ? b 成立的充分不必要条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a2 ? b2

D. a3 ? b3

设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sk ? 2 – Sk ? 24 ,则 k ? A.8 B.7 C.6

D.5 ? (5) 设函数 f ? x ? ? cos ? x(? ? 0) ,将 y ? f ? x ? 的图像向右平移 个单位长度后,所得到的图像与 3 原图像重合,则 ? 的最小值等于 1 A. B.3 C.6 D.9 3 (6)

l 已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ?? ,AC ? ,C 为垂足,点 B ? ? , BD ? l ,D 为垂足。若 AB ? 2 ,

AC ? BD ? 1 ,则 D 到平面 ABC 的距离为
A. (7)
2 3

B.

3 3

C.

6 3

D. 1

某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法有 A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 曲线 y ? e?2 x ? 1,在点 (0, 2) 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为 A.
1 3

(8)

B.

1 2

C.

2 3

D. 1

(9)

? 5? 设 f ? x ? 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? ,则 f ? ? ? ? ? 2?

A. ?

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

(10) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交与 A,B 两点,则 cos ?AFB ? A.
4 5

B.

3 5

C. ?

3 5
1

D. ?

4 5

(11) 已知平面 ? 截球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60? 二面角的平面 ? 截该球面的半径为 4,圆 M 面积为 4? ,则圆 N 的面积为 A. 7? B. 9? C. 11? D. 13? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? (12) 设向量 a , b , c 满足 a ? b ? 1, a ? ? ? , a ? c , b ? c ? 60? ,则 | c | 的最大值为 b 2

?

?

A.2

B. 3

C. 2

D.1

二、 填空题
(13) 1 ? x

?

?

20

的二项展开式中,x 的系数与 x 9 的系数之差为__________。

5 ?? ? (14)已知 ? ? ? , ? ? , sin ? ? ,则 tan 2? =__________。 5 ?2 ?
x2 y 2 (15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C : ? ? 1 的左右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为(2,0), AM 为 9 27

? F1 AF2 的平分线,则 AF2 ? _________。
(16)已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 上,且 B1E ? 2 EB, CF ? 2 FC1 ,则面 AEF 与 ABC 所成的二面角的正切值等于__________。

三、解答题
(17) ? ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A ? C ? 90?, a ? c ? 2b ,求 C。

(18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (I) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。 (II)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。

2

(19) 如图, 四棱锥 S ? ABCD 中,AB ∥ CD, BC ? CD , 侧面 SAB 为等边 ? ,AB ? BC ? 2 , ? SD ? 1 . CD (I) 证明: SD ? 平面SAB ; (II)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小。 S

D

C

A

B

(20)设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? an ?1 1 ? an

(I) 求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?
1 ? an ?1 n

,记 Sn ? ?bk ,证明: Sn ? 1 .
k ?1

n

3

(21)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x 2 ?

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的直 2
y A F O x B

??? ??? ??? ? ? ? 线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0 .
(I) 证明:点 P 在 C 上; (II)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明 A、P、B、Q 四点在同一圆

上。

l

(22)设函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

2x 。 x?2

(I) 证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (II)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,
1 ? 9? 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p。证明: p ? ? ? ? 2 。 e ? 10 ?
19

4

参考答案
一、 选择题
1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 D 12 A

二、填空题
13、0. 14、 ?
4 3
2 3

15、6 16、

三、解答题
(17)(10 分) 由 a ? c ? 2b 及正弦定理可得(3 分)

sin A ? sin C ? 2 sin B
又由于 A ? C ? 90? , B ? 180? ? ? A ? C ? 所以
cos C ? sin C ? 2 sin( A ? C ) ? 2 sin(90? ? 2C ) ? 2 sin 2C

??7 分
2 2 cos C ? sin C ? cos 2C 2 2 cos(45? ? C ) ? cos 2C.

? 0? ? C ? 90?, 2C ? 45? ? C, C ? 15? ??10 分
(18)(12 分) 解:记 A“有一位车主购买甲种保险”,B“车主买乙种保险但不购买甲种保险”,C“至少购买一 种保险”,D“两种保险都不购买” (I)
P ? A? ? 0.5, P ? B ? ? 0.3, P ? C ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? 0.8 ??6 分

5

(II)

D ? C 所以 P ? D ? ? 0.2 ??10 分

因为 X ~ B(100,0.2) 所以 EX ? 100 ? 0.2 ? 20 ??12 分 (19)(12 分) 解法一: (I) AB 中点 E,连结 SE,则 SE ? AB, SE ? 3 . 又 DE ? 1 ,故 DE 2 ? SE 2 ? SD2 , 所以 ? DSE 是直角 ??3 分 由 AB ? 平面SDE ,所以 AB ? SD SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直 所以 SD ? 平面SAB ??6 分 由 AB ? 平面SDE 知,平面 ABCD ? 平面SDE 作 SF ? DE ,垂足为 F,则 S H D F A B G C

(II)

SF ? 平面ABCD , SF ?

SD ? SE 3 . ? DE 2

作 FH ? SG ,G 为垂足,则 FG ? DC ? 1 . 连结 SG 则 SG ? BC . 又 BC ? FG, SG ? FG ? G ,故 BC ? 平面ABCD, SBC ? SFG ??9 分 作 FH ? SG ,H 为垂足,则 FH ? SBC 又 FH ?
SF ? FG 3 21 ? ,F 到平面 SBC 的距离为 . SG 7 7

由于 ED ? BC 所以 ED ? SBC ,E 到平面 SBC 的距离 d 为

21 。 7

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?

d 21 21 ? , ? ? arcsin ??12 分 EB 7 7

解法二: (I) 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz。 设 D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设 S ( x, y, z ) ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 .
??? ? ??? ? ??? ? 易得 AS ? ? x ? 2, y ? 2, z ? , BS ? ? x, y ? 2, z ? , DS ? ( x ? 1, y, z )

??? ??? ? ? 由 AS ?| BS | 得

? x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

? z 2 ? x2 ? ? y ? 2? ? z 2 ,
2

故 x ? 1.
6

??? ? 由 DS ? 1得 y 2 ? z 2 ? 1.
??? ? 2 又 BS ? 2 得 x 2 ? ? y ? 2 ? ? z 2 ? 4

1 3 即 y 2 ? z 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ,所以 y ? , z ? . 2 2

??3 分

? ? ? ? 1 3 ? ??? ? 3 3 ? ??? ? 3 3 ? ??? ? 1 3 ? ? 所以 S ? 1,? , ? , AS ? ? -1, , ? , BS ? ?1, ? , ? , DS ? ? 0, , ? ? ? ? 2 2 ?. ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 则 DS ? AS ? 0, DS ? BS ? 0 .

所以 DS ? AS , DS ? BS ,又 AS ? BS ? S , 所以 SD ? 平面SAB 。 ??6 分 ? 设平面 SBC 的法向量为 n ? ? m, n, p ? ,
? ? ? ??? ? ??? 则 n ? BS ? 0, n ? CB ? 0

z S

(II)

? 3 3 p?0 ?m ? n ? 故 ? ??9 分 2 2 ? 2n ? 0 ?
??? ? ? 取 p ? 2 得 n ? ? 3, 0, 2 ,又 AB ? ? ?2, 0, 0 ? ,

x A

D y B

C

?

?

??? ? ? ??? ? ? AB ? n 21 得 cos AB, n ? ? ? AB ? n 7

AB 与平面 SBC 所成的角大小为 arcsin

21 ??12 分 7

(20)(12 分) 解: (I) 由题设
1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an

? 1 ? 即? ? 是公差为 1 的等差数列。 ?1 ? an ?



1 1 ? 1故 ?n 1 ? a1 1 ? an

得 an ? 1 ?

1 . n

??5 分
7

(II)

由(I)中结论
bn ? ? 1 ? an ?1 n

n ?1 ? n n ? 1· n 1 1 ? ? , n n ?1
n n 1 ? 1 ? 1 S n ? ?bk ? ? ? ? ?1 ? ? 1? k k ?1 ? n ?1 k ?1 k ?1 ? ??12 分

??8 分

(21)(12 分) 解: (I) F (0,1) ,l 的方程为 y ? ? 2 x ? 1 ,代入 x 2 ?
y2 ? 1 并化简得 ??2 分 2

4 x2 ? 2 2 ?1 ? 0
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P( x3 , y3 ) , 则 x1 ?
2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4 2 , y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 1 2 2 , y3 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ?1 2

得 x1 ? x2 ?

得 x3 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ?

? ? 2 , ?1 ? ,验证得 P 在椭圆上。??6 分 所以点 P 的坐标为 ? ? ? 2 ? ? ?

(II)

? 2 ? ? ? 2 , ?1 ? ,知 Q ? 由 P?? ? 2 ,1? , PQ 的垂直平分线 l1 的方程为 ? ? 2 ? ? ? ? ?

y??

2 x. 2

? 2 1? 设 AB 的中点为 M,则 M ? ? 4 , 2 ? ,AB 的垂直平分线 l 2 的方程为 ? ? ?

8

y?

2 1 x ? ??9分 2 4

? 2 1? ?l 联立 ? 1 ,得 N ? ? 8 , 8 ? , ??9 分 ? ? l2 ? ?
2 ? 2 2? ? 1? 3 11 | NP |? ? ? ? 2 ? 8 ? ? ? ?1 ? 8 ? ? 8 , ? ? ? ? ? 2

| AB |? 1 ? ( ? 2) 2 ·x2 ? x1 |? | | AM |? 3 2 , 4
2

3 2 , 2

2 ? 2 2 ? ?1 1? 3 3 | MN |? ? ? 4 ? 8 ? ?? 2 ? 8? ? 8 ? ? ? ? ?

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ? 故 | NP |?| NA |, 又 | NP |?| NQ |,| NA |?| NB |, 所以 | NA |?| NP |?| NB |?| NQ |,

3 11 , 8

由此可知A、P、B、Q四点在以N 为圆心,NA为半径的圆上 ??12 分

(22) 解: (I)
f ?? x? ? x2

? x ? 1?? x ? 2 ?

2

.

??2 分

当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以当 x ?R ? , f ? x ? ? f ? 0 ? ? 0 (II)
p? 100 ? 99 ? 98 ??? 81 . 10020

??5 分

又 99 ? 81 ? 902 ,98 ? 82 ? 902 ,?,91? 89 ? 902 ,
? 9 ? 所以 p ? ? ? ? 10 ?
19

??9 分
2x , x?2

由(I)知:当 x ? 0 , ln ?1 ? x ? ?
? 2? 所以 ?1 ? ? ln ?1 ? x ? ? 2 . ? x?

令x?

1 10 则 19 ln ? 2 , 9 9
9

? 10 ? 所以 ? ? ? e 2 ? 9 ? 1 ? 9? 综上: p ? ? ? ? 2 e ? 10 ?
19

19

??12 分

10


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