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精编课件2.1.3函数单调性-1


学习目标 1. 理解函数单调性的定义,会用定义判断 和证明函数的单调性; ? 2.在自主探究活动中,体验数学概念的形 成过程; ? 3. 在直观感知基础上,感受图像在表示数 学内容时的直观和简洁。 ? 发现: y y=x2 当x在区间[0,+∞) 上取值时,随着x的 增大,相应的y值也 随着增大. x O y y ? f ( x) f(x2) f(x1) o x1 x2 x 增函数定义: 设函数f(x)的定义域 为I:如果对于属于定义 域I内某个区间上的任意 两个自变量的值x1,x2,当 x1< x2时,都有 f(x1)<f( x2),那么就说f(x) 在这个区间上是增函数; x不断增大,y也不断增大 y y=x2 发现: 当x在区间(-∞,0)上 取值时,随着x的增大, 相应的y值也随着减小, O x y f( x1) y=f( x) f(x2) O x1 x2 x 一般地,设函数f(x)的定 义域为I:如果对于属于 定义域I内某个区间上的 任意两个自变量的值 x1,x2,当x1< x2时, 都有 f(x1)>f( x2),那么就说f(x) 在这个区间上是减函数; x不断增大,y不断减小 y 0 a 如果函数y=f(x)在 y=f(x) 某个区间是增函数 或减函数,那么就 说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格 的)单调性,这一区 间叫做 y=f(x) 的 单 b x 调区间. 问题1、 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间, 以及在每一单调区间上, y=f(x)是增函数还是减 函数。 [-5,-2) y [1,3) f(x) [-2,1) -5 -2 -1 [3,5] 1 3 5 o x 解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)上是减函 数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数。 例题、 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 证明: (一)设值 设x1,x2是R上的任意两个实数,x1<x2 , (二)作差变形 则f ( x1) ? f ( x2) ? (3 x1 ? 2) ? (3 x2 ? 2) ? 3( x1 ? x2) (三)判断符号 于是 即 由 x1 ? x2 , 得 x1 ? x2 ? 0 f(x1)-f( x2)<0, f(x1)<f(x2) (四)结论 所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 1 练习:证明函数f(x)= 在(-∞,0)是 减 x 函数。 证明:设x1 , x2是(??,0)上的任意两个实数,且 x1 ? x2 , 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x2 ? x1 x1 x2 1 x1 ? x12 由x1 , x2 ? (??,0), 得x1 x2 ? 0, 又由x1 ? x2 , 得x2 ? x1 ? 0, 于是f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以,f ( x) ? 1 x 在( ??,0)上是减函数 存在问题 (一)我的疑惑: 1.为什么定义中是“任意”的 x1,x2 ? 2.为什么定义增(减)函数,不在定义域A中,而 是在“A的子区间M”中? (二)导学案中问题: 探究(一)3.若函数y=f(x)在其定义域内的两个区 间A,B上都是减函


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