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必修一 第一章 集合与函数概念


《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲

第一章 集合与函数概念

第1讲 § 1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标:通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;能选择自然语言、图形语言、集合语 言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、 集合元素的三

个特征. ¤知识要点: 1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ { } ”括起来,基本形式为 ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法,即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式 {a1 , a2 , a3 ,??? , a n } 为 {x ? A | P( x)} ,既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P( x) ,适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母 A, B, C , ? ? ? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示,如自然数集 N,正整数集 N * 或 N ? ,整数 集 Z,有理数集 Q,实数集 R. 4. 元素与集合之间的关系是属于 (belong to) 与不属于 (not belong to) , 分别用符号 ? 、? 表示, 例如 3 ? N ,?2 ? N . ¤例题精讲: 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 7 的整数. 解: (1)用描述法表示为: {x ? R | x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0} ; 用列举法表示为 {0, ?1,3} . (2)用描述法表示为: {x ? Z | 2 ? x ? 7} ; 用列举法表示为 {3, 4,5,6} . 【例 2】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有: 17 A; -5 A; 17 B. 解:由 3k ? 2 ? 17 ,解得 k ? 5 ? Z ,所以 17 ? A ; 由 3k ? 2 ? ?5 ,解得 k ?

第1练 § 1.1.1 集合的含义与表示
※基础达标 1.以下元素的全体不能够构成集合的是( ). A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程 x 2 ? 1 ? 0 的实数解 D. 周长为 10cm 的三角形 2.方程组 A.

3 ?2xx??2 yy ? ? 11

的解集是( B. ?1 , 5?

). C.

, ?51 ?

, ?? ??51

D.

, ?? ??15
).

3.给出下列关系:①

1 ? R ; ② 2 ? Q ;③ 3 ? N * ;④ 0 ? Z . 其中正确的个数是( 2

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.有下列说法: (1)0 与{0}表示同一个集合; (2 )由 1,2,3 组成的集合可表示为 {1, 2,3} 或{3,2 ,1}; (3 )方程 (4)集合 {x 4 ? x ? 5} 是有限集. 其中正确的说法是( ( x ? 1)2 ( x ? 2) ? 0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}; A. 只有(1)和(4) B. 只有(2)和(3) C. 只有(2) D. 以上四种说法都不对 5.下列各组中的两个集合 M 和 N, 表示同一集合的是( ). A. M ? {? } , N ? {3.14159} B. M ? {2,3} , N ? {(2,3)} C. M ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? N } , N ? {1} D. M ? {1, 3, ? } , N ? {? ,1,| ? 3 |} 6.已知实数 a ? 2 ,集合 B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 a 与 B 的关系是 . 7.已知 x ? R ,则集合 {3, x, x2 ? 2 x} 中元素 x 所应满足的条件为 ※能力提高 8.试选择适当的方法表示下列集合: (1)二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 3 的函数值组成的集合; (2)函数 y ? . ).

由 6m ? 1 ? 17 ,解得 m ? 3 ? Z ,所以 17 ? B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合: (教材 P6 练习题 2, P13 (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合; (3)反比例函数 y ?

7 ? Z ,所以 ?5 ? A ; 3

3 的自变量的值组成的集合. x2 ? 2

A 组题 4)

2 的自变量的值组成的集合. x ?y ? x ? 3 } ? {(1, 4)} . 解: (1) {( x, y ) | ? ? y ? ?2 x ? 6 2 x

9.已知集合 A ? {x ? N |

4 ? Z} ,试用列举法表示集合 A. x ?3

(2) { y | y ? x2 ? 4} ? { y | y ? ?4} . (3) {x | y ? } ? {x | x ? 0} . 点评:以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为 {1, 4} ,也注意对比(2)与(3) 中的两个集合,自变量的范围和函数值的范围,有着本质上不同,分析时一定要细心. *【例 4】已知集合 A ? {a | 解:化方程

x?a ? 1 为: x2 ? x ? (a ? 2) ? 0 .应分以下三种情况: x2 ? 2 9 1 ⑴方程有等根且不是 ? 2 :由 △=0,得 a ? ? ,此时的解为 x ? ,合. 4 2 ⑵方程有一解为 2 ,而另一解不是 ? 2 :将 x ? 2 代入得 a ? ? 2 ,此时另一解 x ? 1 ? 2 ,合.
⑶方程有一解为 ? 2 ,而另一解不是 2 :将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ,此时另一解为 x ? 2 ? 1 ,合. 综上可知, A ? {? , ? 2, 2} . 点评:运用分类讨论思想方法,研究出根的情况,从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.
1

x?a ? 1有唯一实数解} ,试用列举法表示集合 A. x2 ? 2

※探究创新 10.给出下列集合:

? x ?1 x?2 ? 且 ①{(x,y)|x≠1,y≠1,x≠2,y≠-3}; ② ?( x, y ) y ?1 y ? ?3? ? ? ? x ?1 x?2 ? 或 ③ ?( x, y ) ④{(x,y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}. ? ; y ? 1 y ? ? 3 ? ? 其中不能表示 “在直角坐标系 xOy 平面内, 除去点 (1, 1) , (2, -3) 之外的所有点的集合” 的序号有

?

?

?

?

9 4

.

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日 :

~

:

自评



第2讲 § 1.1.2 集合间的基本关系
¤学习目标:理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义; 能利用 Venn 图表达集合间的关系. ¤知识要点: 1. 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则说两个集合有包含关系,其 中集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作 A ? B (或 B ? A ) ,读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,即集合 A 与集合 B 的元素是一样的, 因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 3. 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset) ,记作 A ? B(或 B? ? A ).

第2练 § 1.1.2 集合间的基本关系
※基础达标 1.已知集合 A ? ?x x ? 3k , k ? Z ?, B ? ?x x ? 6k , k ? Z ? , 则 A 与 B 之间最适合的关系是( A. A ? B B. A ? B C. A ? B D. A ? B 2.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? , N ? ? x | x ? k ? 0? ,若 M ? N ,则 k 的取值范围是( B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. k ? 2 2007 2007 ? b 的值为( 3.若 {a ,0, ?1} ? {a, b,0} ,则 a ). A. 0 B. 1 C. ?1 D. 2
2

).

?

?

).

A. k ? 2

?

4. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质: A ? A ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; 若 A B ? A ,则 A ? B ;若 A B ? A ,则 B ? A . ¤例题精讲: 【例 1】用适当的符号填空: (1){菱形} {平行四边形}; {等腰三角形} {等边三角形}. 2 ? (2) ? 0 {0}; {0}; N {0}. {x ? R | x ? 2 ? 0; } 解: (1) , ; (2)=, ∈, , .

k 1 k 1 + ,k∈Z}, N={x|x= + , k∈Z}. 若 x0∈M,则 x0 与 N 的关系是( 2 4 4 2 A. x0∈N B. x0 ? N C. x0∈N 或 x0 ? N D.不能确定 5.已知集合 P={x|x2=1},集合 Q={x|ax=1},若 Q ? P,那么 a 的值是( ).
4.已知集合 M={x|x= A. 1 B. -1 C. 1 或-1 6.已知集合 A ? ?a, b, c,? ,则集合 A 的真子集的个数是 7.当 {1, a, } ? {0, a 2 , a ? b} 时,a=_________,b=_________. D. 0,1 或-1 .

).

b a

※能力提高 8.已知 A={2,3},M={2,5, a 2 ? 3a ? 5 },N={1,3, a 2 ? 6a ? 10 },A ? M,且 A ? N,求实数 a 的值.

【例 2】设集合 A ? {x | x ?

A B

n 1 , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} ,则下列图形能表示 A 与 B 关系的是( 2 2 B A B A A B
B.

).

C. D. 3 1 1 3 3 1 1 3 解:简单列举两个集合的一些元素, A ? {???, ? ? 1, ? ,0, ,1, , ???} , B ? {???, ? , ? , , , ???} , 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 易知 B A,故答案选 A.

A.

2n ? 1 , n ? Z} ,易知 B ? A,故答案选 A. ? 2 【例 3】若集合 M ? x | x2 ? x ? 6 ? 0 , N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值.
另解:由 B ? {x | x ?

?

?

?

9.已知集合 A ? ?x ?2 ? x ? 5? , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? .若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.

解:由 x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? 2或 ? 3 ,因此, M ? ?2, ?3? . (i)若 a ? 0 时,得 N ? ? ,此时, N ? M ; (ii)若 a ? 0 时,得 N ? { } . 若 N ? M ,满足 故所求实数 a 的值为 0 或

1 a

1 1 1 1 ? 2或 ? ?3 ,解得 a ? 或a ? ? . a a 2 3

点评:在考察“ A ? B ”这一关系时,不要忘记“ ? ” ,因为 A ? ? 时存在 A ? B . 从而需要分情况讨论. 题中讨 论的主线是依据待定的元素进行. 【例 4】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}. 若 A=B,求实数 x 的值. 解:若 ?

1 1 或? . 2 3

?a ? b ? ax ?a ? 2b ? ax
2

? a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0,即 a=0 或 x=1.
※探究创新 10.集合 S={0,1,2,3,4,5},A 是 S 的一个子集,当 x∈A 时,若有 x-1 ? A 且 x+1 ? A,则称 x 为 A 的一个“孤 立元素” ,写出 S 中所有无“孤立元素”的 4 元子集.

当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. 若?

?a ? b ? ax 2 ?a ? 2b ? ax

? 2ax2-ax-a=0.
又 x≠1,所以只有 x ? ?

因为 a≠0,所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ?

1 . 2

1 . 2

点评:抓住集合相等的定义,分情况进行讨论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.
2

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第一章 集合与函数概念

第3讲 § 1.1.3 集合的基本运算(一)
¤学习目标:理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的 补集的含义,会求给定子集的补集;能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. ¤知识要点: 集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先理解概念,并掌握符号等,再结合解题的训练,而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集 交集 补集 由所有属于集合 A 或属于集 由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于 合 B 的元素所组成的集合, 的元素所组成的集合,称为 集合 A 的所有元素组成的集 概念 称 为 集 合 A 与 B 的 并 集 集 合 A 与 B 的 交 集 合,称为集合 A 相对于全集 U (union set) (intersection set) 的补集(complementary set) A B A B ) ? U A (读作“A 的补集” (读作“ A 并 B ” ) (读作“ A 交 B ” ) 记号 符号 图形 表示

※基础达标 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 ? U A ? ( A. ? A. {x | x ? 2} B.

). D. ?1,3,5,7? ). D. {x | 0 ? x ? 2}

?2, 4,6?

C. ?1,3,6,7?

2.若 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x |1 ? x ? 2} ,则 A

B ?(

{x | x ? 1} 3.右图中阴影部分表示的集合是( ). A. A ? U B B. ? U A B
B. C. ? U ? A A. ?1, 2?

C. {x |1 ? x ? 2}

B?

D. B.

4.若 A ? ?0,1, 2,3? , B ? ?x | x ? 3a, a ? A? ,则 A

?U ? A
C.

B?

A B ?(
D.

). ).

?0,1?

?0,3?

?3?
. .

A

B ? {x | x ? A, 或x ? B}

A

B ? {x | x ? A, 且x ? B}

? U A ? {x | x ?U , 且x ? A}

5.设集合 M ? {x | ?1 ? x ? 2} , N ? {x | x ? k ? 0} ,若 M N ? ? ,则 k 的取值范围是( A. k ? 2 B. k ? ?1 C. k ? ?1 D. ? 1 ? k ? 2 6.设全集 U ? {x ? N * | x ? 8} , A ? {1,3,5,7} , B ? {2, 4,5} ,则 CU ( A B) = 7.已知集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 2}, N ? {( x, y) | x ? y ? 4} ,那么集合 M N = ※能力提高 8.设全集 U ? {x | 0 ? x ? 10, x ? N *} ,若 A

U

A

¤例题精讲: 【例 1】设集合 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | 3 ? x ? 9}, 求A 解:在数轴上表示出集合 A、B,如右图所示: A B ? {x | 3 ? x ? 5} ,

B ? {3} , A ? U B ? {1,5,7} , 痧 UA

U

B ? {9} ,求集合 A、B.

B, ? U ( A

B) .

A -1 3

【例 2】设 A ? {x ? Z | | x |? 6} , B ? ?1,2,3? , C ? ?3,4,5,6? ,求: (1) A 解: (1)又 (2)又 得 CA ( B ∴ A

CU ( A

B) ? {x | x ? ?1, 或x ? 9} ,
(B C ) ; (2) A ?A ( B

A? B
5

B 9 x

C) .
9.设 U ? R , A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | 8 ? 2 x ? 3x ? 7} ,求 ? U ( A

A ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4,5,6? . B C ? ?3? ,∴ A ( B
C ) ? ?3? ;

B C ? ?1, 2,3, 4,5,6? , C) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .
C ) ? ??6, ?5, ?4, ?3, ?2, ?1,0? .
B ? A ,求实数 m 的取值范围.

B) 、 (痧 U A)

(

U

B) .

CA ( B

【例 3】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 4} , B ? {x | x ? m} ,且 A

解:由 A B ? A ,可得 A ? B . 在数轴上表示集合 A 与集合 B,如右图所示: B A 由图形可知, m ? 4 . 4 m x -2 4 m x 得到各端点之 点评:研究不等式所表示的集合问题,常常由集合之间的关系, 间的关系,特别要注意是否含端点的问题. B ? {1,3,5,8} , CU ( A B) , (CU A) (CU B) , 【例 4】 已知全集 U ? {x | x ? 10, 且x ? N *} ,A ? {2, 4,5,8} , 求 CU ( A B) ,

(CU A)

(CU B) ,并比较它们的关系.
B ? {1, 2,3, 4,5,8} ,则 CU ( A

解:由 A 由A

B) ? {6,7,9} .

B ? {5,8} ,则 CU ( A

B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9}

由 CU A ? {1,3,6,7,9} , CU B ? {2, 4,6,7,9} , 则 (CU A)

(CU B) ? {6,7,9} , (CU B) ? {1, 2,3, 4,6,7,9} . (CU B) ? CU ( A B) ,

※探究创新 10.设集合 A ? {x | ( x ? 4)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0} . (1)求 A B , A B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的值; (3)若 a ? 5 ,则 A B 的真子集共有 个, 集合 P 满足条件 ( A B ) ? P ? ( A

? ?

B ) ,写出所有可能的集合 P.

(CU A)

由计算结果可以知道, (CU A)

(CU A) (CU B) ? CU ( A B) . 另解:作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观察出来结果. 点评:可用 Venn 图研究 (CU A) (CU B) ? CU ( A B) 与 (CU A) (CU B) ? CU ( A 助于今后迅速解决一些集合问题.
3

B) ,在理解的基础记住此结论,有

第3练 § 1.1.3 集合的基本运算(一)

《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练



日 :

~

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自评



第4讲 § 1.1.3 集合的基本运算(二)
¤学习目标:掌握集合、交集、并集、补集的有关性质,运行性质解决一些简单的问题;掌握集合运算中的一些数 学思想方法. ¤知识要点: 1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域,分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过 Venn 图理解和掌握各区域的 集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形,我们还可以发现一些集合性质: CU ( A B) ? (CU A) (CU B) , CU ( A B) ? (CU A) (CU B) . 2. 集合元素个数公式: n( A B) ? n( A) ? n( B) ? n( A B) . 3. 在研究集合问题时,常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲: 【例 1】设集合 A ? ?4,2a ? 1, a2 , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,若 A 解:由于 A ? ?4,2a ? 1, a , B ? ?9, a ? 5,1 ? a? ,且 A
2

第4练 § 1.1.3 集合的基本运算(二)
※基础达标 1.已知集合 A = A. A=B

?1, 2, 4? , B = ?x
B. A? B

x 是8的正约数? , 则 A 与 B 的关系是(
C. A? ?B D. A∪B = ?

).

?

a b c abc ? ? ? 的值所组成的集合为 M, 则下列判断正确的是( | a | | b | | c | | abc | A. 0 ? M B. ?4 ? M C. 2?M D. 4?M 3. (08 年湖南卷.文 1)已知 U ? ?2,3,4,5,6,7? , M ? ?3,4,5,7? , N ? ?2, 4,5,6? ,则( ).
2.已知 a , b, c 为非零实数, 代数式 A. M

).

?

?

?

?

B ? ?9? ,求实数 a 的值.

N ? ?4,6?

B. M

N ?U

C. (Cu N )

M ?U

D. (Cu M )

N?N

B ? ?9? ,则有:

4.定义集合 A、B 的一种运算: A ? B ? {x x ? x1 ? x2 , 其中x1 ? A, x2 ? B} ,若 A ? {1,2,3} , B ? {1, 2} ,则 A ? B 中的 所有元素数字之和为( ). A.9 B. 14 C. 18 D. 21 的子集 (如

当 2a ? 1=9时,解得 a=5 ,此时 A={-4, 9, 25},B={9, 0, -4} ,不合题意,故舍去; 当 a 2=9 时,解得 a=3或-3 . a=3时, A={-4,5,9}, B={9,-2,-2}, 不合题意,故舍去;

5.设全集 U 是实数集 R, M ? x | x ? 4 与 N ? ?x | x ? 3或x ? 1? 都是 U
2

?

?

a=-3,A={-4, -7, 9},B={9, -8, 4} ,合题意.
所以, a=-3 . 【例 2】设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A 解: B ? {1, 4} . 当 a ? 3 时, A ? {3} ,则 A

右图所示) ,则阴影部分所表示的集合为( ). A. ?x | ?2 ? x ? 1? B. ?x | ?2 ? x ? 2? C.

?x |1 ? x ? 2?

D.

?x | x ? 2?
B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
.

B, A

B .(教材 P14 B 组题 2)

6.已知集合 A ? {x ?1 ? x ? 1} , B ? {x x ? a} ,且满足 A

B ? {1,3, 4} , A B ? ? ; 当 a ? 1 时, A ? {1,3} ,则 A B ? {1,3, 4} , A B ? {1} ; 当 a ? 4 时, A ? {3, 4} ,则 A B ? {1,3, 4} , A B ? {4} ; 当 a ? 3 且 a ? 1 且 a ? 4 时, A ? {3, a} ,则 A B ? {1,3, 4, a} , A B ? ? . 点评:集合 A 含有参数 a,需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时,需依据集合的性质和影响运算 结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原则. 【例 3】设集合 A ={ x | x 2 ? 4 x ? 0 }, B ={ x | x2 ? 2(a ? 1) x ? a2 ? 1 ? 0 , a ? R },若 A B=B,求实数 a 的值. 解:先化简集合 A= {?4,0} . 由 A B=B,则 B ? A,可知集合 B 可为 ? ,或为{0},或{-4},或 {?4,0} .
(i)若 B= ? ,则 ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ? 1) ? 0 ,解得 a < ?1 ; (ii)若 0 ? B,代入得 a 2 ?1 =0 ? a =1 或 a = ?1 , 当 a =1 时,B=A,符合题意; 当 a = ?1 时,B={0} ? A,也符合题意. (iii)若-4 ? B,代入得 a 2 ? 8a ? 7 ? 0 ? a =7 或 a =1, 当 a =1 时,已经讨论,符合题意; 当 a =7 时,B={-12,-4},不符合题意. 综上可得, a =1 或 a ≤ ?1 . 点评:此题考查分类讨论的思想,以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系, 可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法.解该题时,特别容易出现的错误 是遗漏了 A=B 和 B= ? 的情形,从而造成错误.这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【 例 4 】 对 集 合 A 与 B , 若 定 义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} , 当 集 合 A ? {x | x ? 8, x ? N *} , 集 合 B ? { x | x( ? x 2)( ? x 5) ? x ( ?时,有 6 ) 0A }?B= . (由教材 P12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补集为

7.经统计知,某村有电话的家庭有 35 家,有农用三轮车的家庭有 65 家,既有电话又有农用三轮车的家庭有 20 家, 则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 . ※能力提高 8.已知集合 A ? {x | x2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | x2 ? px ? 2q ? 0} ,且 A B ? {?1} ,求 A B .

9.已知集合 U= {2,3, a2 ? 2a ? 3} ,A={| a +1|,2}, CU A ={ a +3},求实数 a 的值.

CU A ? {x | x ? , 且x ? A} ”而拓展) 解:根据题意可知, A ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , B ? {0, 2,5,6}
由定义 A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B} ,则 A ? B ? {1,3, 4,7,8} . 点评:运用新定义解题是学习能力的发展,也是一种创新思维的训练,关键是理解定义的实质性内涵,这里新定义 的含义是从 A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集 U,则 A ? B 也相当于 A (CU B) .

※探究创新 10. (1)给定集合 A、B,定义 A※B={x|x=m-n,m∈A,n∈B}.若 A={4,5,6},B={1,2,3},则集合 A※B 中的 所有元素之和为 ( ) A.15 B.14 C.29 D.-14 (2)设全集为 U,集合 A、B 是 U 的子集,定义集合 A、B 的运算:A*B={x|x∈A,或 x∈B,且 x ? A∩B},则(A*B)*A 等于( ) A.A B.B C. (? D. A∪(? U A)∩ B U B) (3)已知集合 A={ x | x ? 2n 且 x ? 3n , n ? N, x ? N*, x ≤100},试求出集合 A 的元素之和.

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第一章 集合与函数概念

第5讲 § 1.2.1 函数的概念
¤学习目标:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合 与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域 和值域. ¤知识要点: 1. 设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一 确定的数 y 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) ,记作 y = f ( x) , x ? A .其中,x 叫自变量, x 的取值范围 A 叫作定义域 (domain) , 与 x 的值对应的 y 值叫函数值, 函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域 (range) . 2. 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则:{x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a≤x<b}= [a, b) , {x|a<x≤b}= (a, b] ,都叫半开半闭区间. {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间;

第5练 § 1.2.1 函数的概念
※基础达标 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). B. y ? x ? 1

x A. y ? 1, y ? x
C. y ? x, y ? 3 x3 2.函数 y ?

x ? 1, y ? x2 ? 1

D. y ?| x |, y ? ( x )2 ). C. (??, ? )

1? x 的定义域为( 2 x ? 3x ? 2
2

A. (??,1]

B. (??, 2]

符号: “∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “+∞”读“正无穷大”. 则 {x | x ? a} ? (a, ??) , {x | x ? a} ? [a, ??) , {x | x ? b} ? (??, b) , {x | x ? b} ? (??, b] , R ? (??, ??) . 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时,函数才是同一函 数. ¤例题精讲:

3.集合 M ? ?x ?2 ? x ? 2? , N ? ? y 0 ? y ? 2? ,给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定义域,N 为值域的函数 关系的是( ).

1 2

1 (? ,1] 2

D. (??, ? )

1 2

1 (? ,1] 2

y
1 【例 1】求下列函数的定义域: (1) y ? ; (2) y ? x ? 2 ?1
解: (1)由 x ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? ?3 , 所以原函数定义域为 (??, ?3)

y 2 x -2 0 B. 2 x -2 0 C.
).

y 2 2 x -2 0 D.

y 2 2 x

x?3
3

2
.

x ?1 ? 2

-2 0 A.

(?3, ?1)

(?1, ??) .

? ?x ? 3 ? 0 (2)由 ? ,解得 x ? 3 且 x ? 9 , 3 ? ? x ?1 ? 2 ? 0 所以原函数定义域为 [3,9) (9, ??) .

4.下列四个图象中,不是函数图象的是(

y

y

y

y

3x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? x ? 2 . 5 ? 4x 5 5 解: (1)要使函数有意义,则 5 ? 4 x ? 0 ,解得 x ? . 所以原函数的定义域是 {x | x ? } . 4 4 3x ? 2 1 12x ? 8 1 3(4 x ? 5) ? 23 3 23 3 3 3 y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? ,所以值域为 { y | y ? ? } . 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 5 ? 4x 4 4 1 9 9 (2) y ? ? x2 ? x ? 2 ? ?( x ? )2 ? . 所以原函数的定义域是 R,值域是 (??, ] . 2 4 4 1? x 【例 3】已知函数 f ( (1) f (2) 的值; (2) f ( x) 的表达式 ) ? x . 求: 1? x 1? x 1 1 解: (1)由 ? 2 ,解得 x ? ? ,所以 f (2) ? ? . 1? x 3 3 1? x 1? t 1? t 1? x (2)设 ,所以 f (t ) ? ,即 f ( x) ? . ? t ,解得 x ? 1? x 1? t 1? t 1? x
【例 2】求下列函数的定义域与值域: (1) y ? 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元 法、特值代入、方程思想等. 【例 4】已知函数 f ( x) ?

O
A.

x

O
B.
). C. [0, ?3) .

x
O
C.

x

O
D.

x
5. 已知函数 的 定 义 域 为

f ( x) [ ? 1 , ,则 2 ) f ( x ? 1) 的定义域为( A. [ ?1, 2) B. [0, ?2)

D. [ ?2,1)

6.已知 f ( x) = x2 +x+1,则 f ( 2) =______;f[ f (2) ]=______. 7.已知 f (2 x ? 1) ? x2 ? 2 x ,则 f (3) = ※能力提高 8.(1)求函数 y ?

2?x 的定义域; x ?1

(2)求函数 y ?

2x ? 1 的定义域与值域. 1 ? 3x

x2 ,x?R . 1 ? x2
1 2 1 3 1 4
9.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , f (0) ? 0 ,且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,试求 f ( x) 的表达式.

(1)求 f ( x) ? f ( ) 的值; (2)计算: f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) .

1 x

1 2 2 1 x2 x2 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 . 解: (1)由 f ( x) ? f ( ) ? ? x 1 ? x2 1 ? 1 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 x2 1 1 1 1 7 (2)原式 ? f (1) ? ( f (2) ? f ( )) ? ( f (3) ? f ( )) ? ( f (4) ? f ( )) ? ? 3 ? 2 3 4 2 2
点评:对规律的发现,能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键.
5

※探究创新 ) f (?1) ? ?1 , f (0) ? 0 , f (1) ? 1 , 求 10 . 已 知 函 数 f ( x) , g ( x) 同 时 满 足 : g ( x ? y) ? g( x) g( y)? f ( x) f ( y ; g ( 0),g (1), g ( 2) 的值.

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日 :

~

:

自评



第6讲 § 1.2.2 函数的表示法
¤学习目标:在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数;通过具体 实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;了解映射的概念. ¤知识要点: 1. 函数有三种表示方法:解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点:简明,给自变量可求函数值) ; 图象法(用图象表示两个变量的对应关系,优点:直观形象,反应变化趋势) ;列表法(列出表格表示两个变量之间的对 应关系,优点:不需计算就可看出函数值). 2. 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同). 3. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集 合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) .记作 “ f : A ? B ”. 判别一个对应是否映射的关键:A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. ¤例题精讲: 【例 1】如图,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为 x 的小正 然后折成一个无盖的盒子,写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____,这个函数的定义域 _______. 解:盒子的高为 x,长、宽为 a-2 x ,所以体积为 V= x(a-2 x)2 . 又由 a-2 x ? 0 ,解得 x ? ※基础达标 1.函数 f(x)= ?

第6练 § 1.2.2 函数的表示法
,x ? 0 ?2 x ,则 f ( ?2) =( ). ? x( x ? 1) , x ? 0 A. 1 B .2 C. 3 D. 4 2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t,离开家里的路程为 d, 下面图形中,能反映该同学的行程的是( ).
d d d d

O
方形, 为

t A.

O B.

t

O C.

t

O D.

t

3.已知函数 f ( x) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f (2) ? p , f (3) ? q ,那么 f (12) 等于( A. p ? q A. B. 2 p ? q C. p ? 2q B. f:x→y= D. p ? q
2

). ).

a . 2
2

4.设集合 A={x|0≤x≤6} ,B={y|0≤y≤2} ,从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( f:x→y=

a 所以,体积 V 以 x 为自变量的函数式是 V ? x(a-2 x) ,定义域为 {x | 0 ? x ? } . 2 3 3 ? , 1) ? x ? 2x ? 2 x ? ( ? ? 【例 2】已知 f(x)= ? ,求 f[f(0)]的值. 3 ?3 x ? ( 1 ,? ? ) ?x ? x ? 解:∵ 0 ? (??,1) , ∴ f(0)= 3 2 .
又 ∵
3

1 x 2

1 x 3

C.

f:x→y=

1 x 4

D.

f:x→y=

1 x 6

5. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的话费由 f (m) ? ? 如: ?3.74? ? 3 ,从甲地到乙地通话 5.2 分钟的话费是( A. 3.71 B. 4.24 C. 4.77

?3.71,(0 ? m ? 4) ? 给出, 其中 ? m ? 是不超过 m 的最大整数, ? ?1.06 (0.5? m? ? 2),(m ? 4)
). D. 7.95 . .

2 >1,

1 5 5 ∴ f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+ = ,即 f[f(0)]= . 2 2 2
【例 3】画出下列函数的图象: (1) y ?| x ? 2 | ; (教材 P26 练习题 3) (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | . 解: (1)由绝对值的概念,有 y ?| x ? 2 |? ? 所以,函数 y ?| x ? 2 | 的图象如右图所示.

m 6.已知函数 f ? x ? ? x ? , 且此函数图象过点(1,5),实数 m 的值为 x 2 ? x ? 4, 0 ? x ? 2 7.已知函数f ( x) ? ? ;若 f ( x0 ) ? 8, 则x0 ? , 则f (2) ? ? 2x , x ? 2
※能力提高 8.画出下列函数的图象: (1) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ; (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3 | .

? x ? 2, x ? 2 . ?2 ? x, x ? 2

?3x ? 3, x ? 1 ? (2) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 , ??3x ? 3, x ? ?2 ? 所以,函数 y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | 的图象如右图所示. 点评:含有绝对值的函数式,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据定义域的分 段情况,选择相应的解析式作出函数图象. 2 5 .,3 ] 【例 4】 函数 f ( x) ? [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数, 例如 [?3.5] ? ?4 ,[2.1] ? 2 , 当 x ? (? 时, 写出 f ( x) 的解析式,并作出函数的图象. ? ?3, ?2.5 ? x ? ?2 ? ?2, ?2 ? x ? ?1 ? ?1, ?1 ? x ? 0 ? 解: f ( x) ? ?0, 0 ? x ? 1 . 函数图象如右: ?1, 1 ? x ? 2 ? 2, 2 ? x ? 3 ? ?3, x ? 3
点评: 解题关键是理解符号 ? m ? 的概念, 抓住分段函数的对应函数式.

9.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10,图象过点(0,3),求 f ( x) 的解析式

※探究创新 10. (1)设集合 A ? {a, b, c} , B ? {0,1} . 试问:从 A 到 B 的映射共有几个? (2)集合 A 有元素 m 个,集合 B 有元素 n 个,试问:从 A 到 B 的映射共有几个?

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第一章 集合与函数概念

第7讲 § 1.3.1 函数的单调性
¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理解和研究 函数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别. ¤知识要点: 1. 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个 区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x) 在 区 间 D 上是增函数 (increasing function) . 仿照增函数的定义可定义减函数. 2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数, 就说 f(x)在这一 区 间 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间. 在单调区间上,增 函 数 的图象是从左向右是上升的(如右图 1) ,减函数的图象从左向右是下降 的(如 右图 2). 由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函 数 的 单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ;→计算 f(x 1 )-f(x 2 ) →判断符号→下结论. ¤例题精讲: 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ? ※基础达标 1.函数 y ? x2 ? 6 x 的减区间是( A . (??, 2] B. [2, ??)

第7练 § 1.3.1 函数的单调性
). C. [3, ??) ). C. y= x2-4x+5 D. y= D. (??,3]

2.在区间(0,2)上是增函数的是( A. y=-x+1 B. y= x

2 x

3.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是( ). A. (??,0],(??,1] B. (??,0],[1, ??) C. [0, ??), (??,1]

D. [0, ??),[1, ?? ) ).

4.已知 f ( x) 是 R 上的增函数,令 F ( x) ? f (1 ? x) ? 3 ,则 F ( x) 是 R 上的(

2x 在区间(0,1)上的单调性. x ?1 2 x1 2 x2 2( x2 ? x1 ) ? ? 解:任取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
由于 0 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

A.增函数 B.减函数 C.先减后增 D.先增后减 2 5.二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b 在区间( ? ∞,4)上是减函数,你能确定的是( ). A. a ? 2 B. b ? 2 C. a ? ?4 D. b ? ?4 6.函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ,且对其内任意实数 x1 , x2 均有: ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f ( x) 在 (a, b) 上 是 . (填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”) 7.已知函数 f (x)= x2-2x+2,那么 f (1),f (-1),f ( 3 )之间的大小关系为 ※能力提高 8.指出下列函数的单调区间及单调性: (1) f ( x) ? .

2x 所以,函数 f ( x) ? 在(0,1)上是减函数. x ?1 【例 2】求二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. 解:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 . 则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? a( x12 ? x22 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . b b 若 a ? 0 , 当 x1 ? x2 ? ? 时 , 有 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ? , 即 a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 , 从 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 2a a b b f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增. 同理可得 f ( x) 在 [? , ??) 上单调递减. 2a 2a
【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 . 数.

x?3 ; (2) y ?| ? x2 ? 2 x ? 3 | x ?1

9.若 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 . (1)求 b 与 c 的值;(2)试证明函数 f ( x) 在区间 (2, ??) 上是增函

?3x ? 3, x ? 1 ? 解: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 ,其图象如右. ??3x ? 3, x ? ?2 ? 由图可知,函数在 [ ?2, ?? ) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数.

?? x2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? (2) y ? ? x ? 2 | x | ?3 ? ? 2 ,其图象如右. ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 由图可知,函数在 ( ??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数,在 [ ?1, 0] 、 [1, ??) 上是减函数.
2

点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函 数的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折到左侧,得到 f (| x |) 的图象. 由图象研究单调性,关键在于 正确作出函数图象.

3x ? 1 【例 4】已知 f ( x) ? ,指出 f ( x) 的单调区间. x?2 3( x ? 2) ? 5 ?5 解:∵ f ( x) ? , ? 3? x?2 x?2 ?5 ∴ 把 g ( x) ? 的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 3 个单位, x f ( x) 的图象,如图所示. 由图象得 f ( x) 在 (??, ?2) 单调递增,在 (?2, ??) 上单调递增. 点评:变形后结合平移知识,由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f ( x ? a ) ? b 平移变换规律.
7

※探究创新 10.已知函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意实数 m 、n 均有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,且 f ( ) ?2 ,又当 x ? ? 有 f ( x) ? 0 . 得 到 (1)求 f (? ) 的值; (2)求证: f ( x) 是单调递增函数.

1 2

1 时, 2

1 2

《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练



日 :

~

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自评



第8讲 § 1.3.1 函数最大(小)值
¤学习目标:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的最大(小)值及其几何意义;学会运用函数图像理解 和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大(小)值. ¤知识要点: 1. 定义最大值:设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的 x∈I,都有 f ( x) ≤M;存在 x0 ∈I,使得 f ( x0 ) = M. 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定义,可以给出最小值 (Minimum Value)的定义. 2. 配方法: 研究二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最大 (小) 值, 先配方成 y ? a( x ? 函数取最小值为

点评: 二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系, 结合图象进行分析 . 含绝对值的函数, 常分零点讨论去绝对值,转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.

第8练 § 1.3.1 函数最大(小)值
※基础达标 1.函数 y ? A. 1

4 在区间 ?3,6? 上是减函数,则 y 的最小值是( x?2
B. 3 C. -2

). D. 5

b 2 4ac ? b 后, 当 a ? 0 时, ) ? 2a 4a
2

2.函数 y ?

4ac ? b2 4ac ? b2 ;当 a ? 0 时,函数取最大值 . 4a 4a

3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数 的最大值或最小值. 4. 图象法:先作出其函数图象后,然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲:

2 的最大值是( ). x2 ? x ? 1 4 8 A. 8 B. C. 4 D. 3 3 2 3.函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a 在区间 (??,1) 上有最小值,则 a 的取值范围是(
A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1

4.某部队练习发射炮弹,炮弹的高度 h 与时间 t 的函数关系式是 h ? t ? ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 则炮弹在发射几秒后最高 呢( ). A. 1.3 秒 B. 1.4 秒 C. 1.5 秒 D 1.6 秒

). D. a ? 1

6 【例 1】求函数 y ? 2 的最大值. x ? x ?1 6 6 1 3 3 ?8. 解:配方为 y ? ,由 ( x ? )2 ? ? ,得 0 ? 1 2 3 1 3 2 2 4 4 (x ? ) ? (x ? ) ? 2 4 2 4
所以函数的最大值为 8. 【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时,每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价,减 少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提价 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使 每天所赚得的利润最大?并求出最大利润. 解:设他将售出价定为 x 元,则提高了 ( x ? 10) 元,减少了 10 ( x ? 10) 件,所赚得的利润为 y ? ( x ? 8) [100 ? 10 ( x ? 10)] . 即 y ? ?10x2 ? 280x ? 1600 ? ?10( x ? 14)2 ? 360 . 当 x ? 14 时, ymax ? 360 . 所以,他将售出价定为 14 元时,才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元. 【例 3】求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值. 解:此函数的定义域为 ?1, ?? ? ,且函数在定义域上是增函数, 所以当 x ? 1 时, ymin ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ,函数的最小值为 2. 点评:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 的函数最大值或最小值,可以用单调性法研究,也可以用换元法研究. 【另解】令 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 , x ? t 2 ? 1 ,所以 y ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? )2 ?

3 5. 已知函数f ( x) ? x2 ? x ? 1, x ?[0, ] 的最大(小)值情况为( ). 2 3 3 A. 有最大值 ,但无最小值 B. 有最小值 ,有最大值 1 4 4 19 C. 有最小值 1,有最大值 D. 无最大值,也无最小值 4 6.函数 y ? 3x ? 2 ? x 的最大值是 . 3x 7.已知 f ( x) ? , x ? [4,6] . 则 f ( x) 的最大值与最小值分别为 x ?3
※能力提高 8.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x .

.

(1)证明 f ( x) 在 [1, ??) 上是减函数;(2)当 x ? ? 2,5? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值.

1 4

15 ,在 t ? 0 时是增函数,当 t ? 0 时, 8
房价(元) 住房率(%) 160 55 140 65 120 75 100 85

ymin ? 2 ,故函数的最小值为 2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值: 5 3 (1) y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] ; (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | . 2 2 b 解: (1)二次函数 y ? 3 ? 2x ? x2 的对称轴为 x ? ? ,即 x ? ?1 . 2a

9.一个星级旅馆有 100 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率 的数据如右: 欲使每天的的营业额最高,应如何定价?

3 9 时, ymin ? ? . 2 4 9 5 3 所以函数 y ? 3 ? 2 x ? x2 , x ?[? , ] 的最大值为 4,最小值为 ? . 4 2 2 ( x ? 2) ?3 ? (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? ?2 x ? 1 (?1 ? x ? 2) . ? ( x ? ?1) ??3
画出函数的图象,由图可知,当 x ? ?1 时, ymax ? 4 ; 当 x ? 作出函数的图象,由图可知, y ? [?3,3] . 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3.
8

※探究创新 10.已知函数 y ? ? x2 ? ax ?

a 1 ? 在区间[0,1]上的最大值为 2,求实数 a 的值. 4 2

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第一章 集合与函数概念

第9讲 § 1.3.2 函数的奇偶性
¤学习目标:结合具体函数,了解奇偶性的含义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的 几何意义,能熟练判别函数的奇偶性. ¤知识要点: 1. 定义: 一般地, 对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x, 都有 f (? x) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 叫偶函数 (even function) . 如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ) ,那么函数 f ( x) 叫奇函数(odd function). 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称,奇函数的图象关于原点中心对称,偶函数图象关于 y 轴轴对称. 3. 判别方法:先考察定义域是否关于原点对称,再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (? x) 与 f ( x) 的关系. ¤例题精讲: 【例 1】判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x3 ?

第9练 § 1.3.2 函数的奇偶性
※基础达标 1.函数 y ? x(| x | ?1) (|x|≤3)的奇偶性是( A.奇函数 B. 偶函数 2. (08 年全国卷Ⅱ.理 3 文 4)函数 f ( x) ? ). C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数

1 ). ? x 的图像关于( x A. y 轴对称 B.直线 y ? ?x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y ? x 对称 3.已知函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ;当 x ? 0 时, f ( x) 等于( ). A. ? x(1 ? x) B. x(1 ? x) C. x(1 ? x) D. ? x(1 ? x)
4.函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,那么 f ( x) 的奇偶性是( ). A.奇函数 B.既不是奇函数也不是偶函数 C.偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 5.若奇函数 f ( x) 在[3, 7]上是增函数,且最小值是 1,则它在 [?7, ?3] 上是(

1 ; (2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ; (3) f ( x) ? x2 ? x3 . x 解: (1)原函数定义域为 {x | x ? 0} ,对于定义域的每一个 x,都有 1 1 f (? x) ? (? x)3 ? ? ?( x3 ? ) ? ? f ( x) , 所以为奇函数. ?x x


).

(2)原函数定义域为 R,对于定义域的每一个 x,都有 f ( ? x) ? | ? x ? 1 | ? | ? x ? 1 |? x | ? 1 |? x | ? 1 f? | x ( ) ,所以为偶函数 . (3)由于 f (? x) ? x2 ? x3 ? ? f ( x) ,所以原函数为非奇非偶函数. 【例 2】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 解:∵ f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数, ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) , g ( ? x ) ? g ( x ) .

A. 增函数且最小值是-1 B. 增函数且最大值是-1 C. 减函数且最大值是-1 D. 减函数且最小值是-1 6.已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 , f (?2) ? 10 ,则 f (2) ? . ) 7 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 在 (0, ??) 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 f ( x ? 1 ? . ※能力提高 8.已知函数 f ( x) ? x(

0 的解集

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

1 1 ? ). x ?1 2
2

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 的奇偶性并证明你的结论.

1 1 ? ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? ? ? x ?1 x ?1 则? ,即 ? . 1 ? f (? x) ? g (? x) ? ?? f ( x) ? g ( x) ? 1 ? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? ? x 1 两式相减,解得 f ( x) ? 2 ;两式相加,解得 g ( x) ? 2 . x ?1 x ?1 【例 3】已知 f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,求 x ? 0 时 f ( x) 的解析式.
解:作出函数 y ? ?2x2 ? 4x ? ?2( x ? 1)2 ? 2, x ? 0 的图象,其顶点为 (1, 2) . ∵ f ( x) 是偶函数, ∴ 其图象关于 y 轴对称. 作出 x ? 0 时的图象,其顶点为 (?1, 2) ,且与右侧形状一致, ∴ x ? 0 时, f ( x) ? ?2( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 x2 ? 4 x . 点评:此题中的函数实质就是 y ? ?2x2 ? 4 | x | . 注意两抛物线形状一致,则二次项系数 a 的绝对值相同. 此类问题, 我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求,过程如下. 【另解】当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,又由于 f ( x) 是偶函数,则 f ( x) ? f (? x) , 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? ?2(? x)2 ? 4(? x) ? ?2 x2 ? 4 x . 【 例 4 】 设 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 (??,0) 上 是 减 函 数 , 实 数 a 满 足 不 等 式

9.若对于一切实数 x, y ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) : (1)求 f (0) ,并证明 f ( x) 为奇函数; (2)若 f (1) ? 3 ,求 f ( ?3) .

f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) ,求实数 a 的取值范围. 解:∵ f ( x) 在区间 (??,0) 上是减函数, ∴ f ( x) 的图象在 y 轴左侧递减. 又 ∵ f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称,则在 y 轴右侧同样递减. 又 f (?0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 , 所以 f ( x) 的图象在 R 上递减.
∵ f (3a2 ? a ? 3) ? f (3a2 ? 2a) , ∴ 3a 2 ? a ? 3 ? 3a 2 ? 2a ,解得 a ? 1 . 点评:定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到,奇函数在关于原点对称区间上单调性一 致,偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
9

※探究创新 10.已知 f ( x) ?

2x ( x ? R) ,讨论函数 f ( x) 的性质,并作出图象. 1 ? x2

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日 :

~

:

自评



第 10 讲 第一章 集合与函数概念 复习
¤复习目标:强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题, 注意运用文氏图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练 . 深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图 象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念,并掌握基本的判定方法和步骤,并会运用. ¤例题精讲: 【例 1】 (05 年江苏卷.17)已知 a,b 为常数,若 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ? 10 x ? 24 ,则 5a ? b ? . 解:由 f ( x) ? x ? 4x ? 3 ,则 f (ax ? b) ? (ax ? b) ? 4(ax ? b) ? 3 ? x ? 10 x ? 24 ,
2 2 2

第 10 练 第一章 集合与函数概念 复习
※基础达标 A. ?1, 2,3? A. {1,6} B. 1. (06 年陕西卷)已知集合 P ? ?x ? N |1 ? x ? 10? , Q ? x ? R | x2 ? x ? 6 ? 0 , 则 P

?2,3?

C. ?1, 2? C. {2,3, 4,5,7}

?

D.

?2?

?

Q 等于(

). ).

2. (06 年重庆卷.1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7} , A ? {2, 4,5, 7} , B ? {3, 4,5} ,则 (痧 U A) B. {4,5} D. {1, 2,3,6,7} ) 3. (06 年辽宁卷.文 3 理 2)设 f ( x) 是 R 上的任意函数,下列叙述正确的是( A. f ( x) f (? x) 是奇函数 C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 B. f ( x) f (? x) 是奇函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数

( U B) ? (

整理得 a x ? 2abx ? b ? 4ax ? 4b ? 3 ? x ? 10 x ? 24 ,
2 2 2 2

比较系数得: ?2ab ? 4a ? 10

?a ? 1 ?
2

2 ? ?b ? 4b ? 3 ? 24 解得: a ? ?1, b ? ?7 ;或 a ? 1, b ? 3 . 则 5a ? b ? 2 . 【例 2】 (02 京、皖春.18)已知 f ( x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数还是减



4. (06 年辽宁卷. 文 2 理 1)设集合 A ? ?1, 2? ,则满足 A

B ? ?1, 2, 3? 的集合 B 的个数是(

).

函数,并加以证明. 解:设 x1<x2<0,则-x1>-x2>0, 因为 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,则 f (? x1 ) ? f (? x2 ) . 因为 f ( x) 为偶函数,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 由此可得 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数. 【例 3】集合 A ? {x | ?1 ? x ? 7} , B ? {x | 2 ? m ? x ? 3m ? 1} ,若 A 解:由 A

A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 5. (06 年山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6.(06 年上海卷.理 1)已知集合 A ? {?1,3, 2m ? 1} ,集合 B ? {3, m2 } .若 B ? A,则实数 m =

.

7.(06 年上海春卷)已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0) 时, f ( x) ? x ? x4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ? . ※能力提高 8 . 已 知 全 集 U ? {x | x ? 9, x ? N *} , 两 个 集 合 A 与 B 同 时 满 足 :

A

B ? B ,求实数 m 的取值范围.

B ? {2, 4} , A (CU B) ? {1,3,5} , 且

B ? B ,得 B ? A .

CU ( A

B) ? {7, 8} . 求集合 A、B.

当 B ? ? 时,有: 2 ? m ? 3m ? 1 ,解得 m ? 当 B ? ? 时,如右图数轴所示,则 ?2 ? m ? 3m ? 1 1 ? ,解得 ? m ? 2 . ? 2 ? m ? ?1 4 ?3m ? 1 ? 7 ?

1 . 4

-1

A 2-m

3m+1 7 x

综上可知,实数 m 的取值范围为 m ? 2 . 点评:已知两个含参集合的关系或者运算结果时,可以结合数轴分析区间端点的位置情况,列出相关不等式后求解 参数范围. 注意当 B ? A 时,不能忽视 B ? ? 的情况. 【例 4】设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1 ,x∈R. (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)若 x≥a,求 f ( x) 的最小值. 解: (1)当 a=0 时,函数 f (? x) ? (? x)2 ? | ? x | ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x) 为偶函数. 当 a≠0 时, f (a) ? a2 ? 1 , f (?a) ? a2 ? 2 | a | ?1 , f (?a) ? f (a) . 此时函数 f(x)为非奇非偶函数.

B

9.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 8x ,求 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值 h (t ) .

3 . 4 1 1 3 若 a≤- ,则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (? ) ? ? a . 2 2 4 1 若 a>- ,则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上单调递增,从而,函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值为 f(a)=a2+1. 2 1 3 综上,当 a≤- 时,函数 f(x)的最小值是 -a. 2 4 1 当 a>- 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1. 2
(2)当 x≥a 时,函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? )2 ? a ? 点评: 函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题, 如果平时注意知识的积累, 对解此题会有较大帮助 .因为 x∈R, f(0)=|a|+1≠0,由此排除 f(x)是奇函数的可能性. 运用偶函数的定义分析可知,当 a=0 时,f(x)是偶函数,此题还 需运用分类讨论思想,研究二次函数在给定区间上的值域.
10

1 2

※探究创新 10.已知定义在实数集上的函数 y=f(x)满足条件:对于任意的 x、y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(0)=0; (2)求证 f(x)是奇函数,并举出两个这样的函数; (3)若当 x≥0 时,f(x)<0. (i)试判断函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明之; (ii)判断方程│f(x)│=a 所有可能 的解的个数,并求出对应的 a 的范围.


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