tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省郑州市智林学校2015届高三数学上学期12月月考试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

河南省郑州市智林学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. (5 分)在复平面内,复数 Z= A. 第四象限 B. 第三象限 +i 对应的点位于() C. 第二象限
2 3

D. 第一象限

2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg A. {x|10<x<1} B. {x|x>1}

},N={y|y=x +2x+3},则(?RM)∩N=() C. {x|x≥2} D. {x|1<x<2}
﹣x

3. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x﹣e (e 为自然数的底数) , 则 f(ln6)的值为() A. ln6+6 B. ln6﹣6 C. ﹣ln6+6 D. ﹣ln6﹣6 4. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 S10=0,S15=25,则 Sn 取得最小值时 n 的值 是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原点,若|AF|=3, 则△AOF 的面积为() A. B. C. D. 2
2

6. (5 分)如图,若程序框图输出的 S 是 127,则判断框①中应为()

A. n≤5?

B. n≤6?

C. n≤7?

D. n≤8?

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

7. (5 分)设变量 x,y 满足

,若直线 kx﹣y+2=0 经过该可行域,则 k 的最大

值为() A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

8. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是()

A. 2

B.

C.

D. 3

9. (5 分)设偶函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,0<φ <π )的部分图象如图所 示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f( )的值为()

A. ﹣

B. ﹣

C.

D.

10. (5 分) 如图已知△ABC 中, 点 M 在线段 AC 上, 点 P 在线段 BM 上且满足 | |=3,∠BAC=90°,则 的值为()

, 若|

|=2,

A.

B. 2

C. ﹣ 2

D.

11. (5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为() A. B. 4π C. D.

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

12. (5 分)设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则 实数 a 的取值范围是() A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) * 17. (10 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=1﹣an(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= 求实数 k 的取值范围. 19. (12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的平面角的正弦值. ,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,若对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,
*

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆的短半轴

长为半径的圆与直线 x﹣y+2 =0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A(﹣4,0) ,过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,连结 AP, AQ 分别交直线 x= 于 M,N 两点,试探究直线 MR、NR 的斜率之积是否为定值,若为定值,请

求出;若不为定值,请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,x>0,a∈R 是常数. (1)求函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围;
2

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (3)证明:? a∈R,存在 ξ ∈(1,e) ,使 f′(ξ )= .

22. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x ﹣x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 围; (3)证明:对任意的正整数 n,不等式 都成立. 在区间上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范

2

河南省郑州市智林学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. (5 分)在复平面内,复数 Z= A. 第四象限 B. 第三象限 +i 对应的点位于() C. 第二象限 D. 第一象限
3

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解: 复数 Z= +i =
3

=

=

对应的点位于第四

象限, 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题.
2

2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg A. {x|10<x<1} B. {x|x>1}

},N={y|y=x +2x+3},则(?RM)∩N=() C. {x|x≥2} D. {x|1<x<2}

考点: 其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算;函数的值域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用函数的定义域求出 M,函数的值域求出 N,即可求解(?RM)∩N. 解答: 解:集合 M={x|y=lg M={x|0<x<1}, ∴?RM={x|x≤0 或 x≥1} 2 N={y|y=x +2x+3}={y|y≥2}, (?RM)∩N= }, ,解得:0<x<1,

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由求和公式易得等差数列的首项和公差,可得通项公式,解不等式可得等差数列{an} 的前 5 项为负数,从第 6 项开始为正数,易得结论. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 S10=10a1+ d=0,S15=15a1+ d=25,

联立解得 a1=﹣3,d= , ∴an=﹣3+ (n﹣1)= 令 an= ≥0 可解得 n≥ , ,

∴等差数列{an}的前 5 项为负数,从第 6 项开始为正数, ∴Sn 取得最小值时 n 的值是 5 故选:B 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 5. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是原点,若|AF|=3, 则△AOF 的面积为() A. B. C. D. 2
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义,求出 A 的坐标,再计算△AOF 的面积. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1. ∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴1+xA=3 ∴xA=2, ∴yA=±2 , ∴△AOF 的面积为 = .

故选:B. 点评: 本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键. 6. (5 分)如图,若程序框图输出的 S 是 127,则判断框①中应为()

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

A. n≤5?

B. n≤6?

C. n≤7?

D. n≤8?

考点: 程序框图. 专题: 计算题;阅读型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图,可得该程序的作用是计算 2 n S=1+2+2 +?+2 的值,利用 S=127,求出满足条件的 n,并确定循环的条件,据此即可得到答 案. 解答: 解:第一次循环,S=1+2=3,n=2,满足条件, 2 第二次循环,S=3+2 =7,n=3,满足条件, 3 第三次循环,S=7+2 =15,n=4,满足条件, 4 第四次循环,S=15+2 =31,n=5,满足条件, 5 第五次循环,S=31+2 =63,n=6,此时满足条件, 6 第六次循环,S=63+2 =127,n=7,此时不满足条件输出 S,所以判断框的条件为 n≤6?. 故选 B. 点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新 2015 届高考中的一个热点,应高度重 视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量 的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流 程图的含义而导致错误.属于基础题.

7. (5 分)设变量 x,y 满足

,若直线 kx﹣y+2=0 经过该可行域,则 k 的最大

值为() A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用直线 kx﹣y+2=0 过定点(0,2) ,再利用 k 的几 何意义,只需求出直线 kx﹣y+2=0 过点 B(2,4)时,k 值即可. 解答: 解:直线 kx﹣y+2=0 过定点(0,2) , 作可行域如图所示,

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com



得 B(2,4) .

当定点(0,2)和 B 点连接时,斜率最大,此时 k= 则 k 的最大值为 1. 故选 A.

=1,

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 8. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是()

A. 2

B.

C.

D. 3

考点: 专题: 分析: 解答: V= 故选 D.

简单空间图形的三视图. 计算题;空间位置关系与距离. 根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高 x 即可. 解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是: =3? x=3.

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 9. (5 分)设偶函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,0<φ <π )的部分图象如图所 示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f( )的值为()

A. ﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的图象,利用 KL 以及∠KML=90°求出求出 A,然后函数的周期,确定 ω , 利用函数是偶函数求出 ?,即可求解 f( )的值. 解答: 解:因为 f(x)=Asin(ω x+?) (A>0,ω >0,0<?<π )的部分图象如图所示, △KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1, 所以 A= ,T=2,因为 T= ,所以 ω =π , , ) , .

函数是偶函数,0<?<π ,所以 ?=

∴函数的解析式为:f(x)= sin(π x+ 所以 f( )= sin( + )= cos =

故选:D. 点评: 本题考查函数的解析式的求法,函数奇偶性的应用,考查学生识图能力、计算能力.

10. (5 分) 如图已知△ABC 中, 点 M 在线段 AC 上, 点 P 在线段 BM 上且满足 | |=3,∠BAC=90°,则 的值为()

, 若|

|=2,

-8-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

A.

B. 2

C. ﹣ 2

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则和已知向量共线的条件即可得到 的运算法则和数量积即可得出 解答: 解:∵ = ∴ = = ═ . = , = . , 再利用向量

故选 A. 点评: 熟练掌握向量的三角形法则、向量共线定理、数量积运算是解题的关键. 11. (5 分)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为() A. B. 4π C. D.

考点: 直线与平面垂直的性质;球的体积和表面积. 专题: 球. 分析: 设球的半径为 R,根据题意知由与球心距离为 R 的平面截球所得的截面圆的面积是 π ,我们易求出截面圆的半径为 1,根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足 勾股定理,我们易求出该球的半径,进而求出球的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,∵AH:HB=1:2,∴平面 α 与球心的距离为 R, ∵α 截球 O 所得截面的面积为 π , ∴d= R 时,r=1,

-9-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故由 R =r +d 得 R =1 +( R) ,∴R = ∴球的表面积 S=4π R =
2 2 2 2 2 2 2 2



故选:C. 点评: 本题考查的知识点是球的表面积公式,若球的截面圆半径为 r,球心距为 d,球半径 为 R,则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形,满足勾股定理. 12. (5 分)设 f(x)=|lnx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,3]上有三个零点,则 实数 a 的取值范围是() A. (0, ) B. ( ,e) C. (0, ] D. 上有三个零点,进行判

断. 解答: 解:函数 f(x)=|lnx|的图象如图示:

当 a≤0 时,显然,不合乎题意, 当 a>0 时,如图示, 当 x∈(0,1]时,存在一个零点, 当 x>1 时,f(x)=lnx, 可得 g(x)=lnx﹣ax, (x∈(1,3]) g′(x)= = ,

若 g′(x)<0,可得 x> ,g(x)为减函数, 若 g′(x)>0,可得 x< ,g(x)为增函数,

- 10 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 此时 f(x)必须在上有两个零点,



解得,



在区间(0,3]上有三个零点时, , 故选 D. 点评: 本题重点考查函数的零点,属于中档题,难度中等. 二、填空题本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13. (5 分)已知 tanθ =﹣2,则 sinθ cosθ 的值为 .

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 2 2 分析: 把所求的式子分母看作“1”,利用 sin θ +cos θ =1,从而把所求的式子化为关于 tanθ 的关系式,把 tanθ 的值代入即可求出值. 解答: 解:由 tanθ =﹣2, 则 sinθ cosθ = = = =﹣ .

故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用.本题利用了 sin θ +cos θ =1 巧妙的 完成弦切互化.
2 2

14. (5 分)己知 x>0,y>0,且 x+y+ + =5,则 x+y 的最大值是 4.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式转化为一元二次不等式,解出即可. 解答: 解:∵x>0,y>0,且 x+y+ + =5, ∴ =(x+y)+ ,

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 x+y=t>0,上述不等式可化为 t ﹣5t+4≤0, 解得 1≤t≤4,当且仅当 x=y=2 时取等号. 因此 t 即 x+y 的最大值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法,属于中档题.
2

15. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 M(x,y)所在平面区域的面积为 e ﹣2.

2

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分的简单应用. 导数的综合应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用定积分的应用,即可求出区域面积. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: ,

由 x+2y=2 得 y=1﹣
x x

由 e ﹣y=0 得 y=e , 则由积分的意义可知, 所求的面积为 S= =(e ﹣x+ x )| =e ﹣2+1﹣1 2 =e ﹣2, 2 故答案为:e ﹣2.
2 x 2

点评: 本题主要考查利用积分求区域面积的问题,作出不等式对应的平面区域是解决本题 的关键,要求熟练掌握常见函数的积分公式. 16. (5 分)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1) (x﹣a) ,若 f(x)在 x=a 处取到极大 值,则 a 的取值范围是(﹣1,0) .

- 12 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 讨论 a 的正负,以及 a 与﹣1 的大小,分别判定在 x=a 处的导数符号,从而确定是否 在 x=a 处取到极大值,从而求出所求. 解答: 解: (1)当 a>0 时, 当﹣1<x<a 时,f′(x)<0,当 x>a 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; (2)当 a=0 时,函数 f(x)无极值,不符合题意; (3)当﹣1<a<0 时, 当﹣1<x<a 时,f′(x)>0,当 x>a 时,f′(x)<0, 则 f(x)在 x=a 处取到极大值,符合题意; (4)当 a=﹣1 时,f′(x)≤0,函数 f(x)无极值,不符合题意; (5)当 a<﹣1 时, 当 x<a 时,f′(x)<0,当 a<x<﹣1 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 x=a 处取到极小值,不符合题意; 综上所述﹣1<a<0, 故答案为 (﹣1,0) . 点评: 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,解题的关键是分类讨论的数学思想, 属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) * 17. (10 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=1﹣an(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得 . .当 n≥2 时,2Sn=1﹣an,2Sn﹣1=1﹣an﹣1,两式相减,能推导出

(Ⅱ)由

= .得

=

.由此能求出数

列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)当 n=1 时,由 2S1=1﹣a1 得: 当 n≥2 时,2Sn=1﹣an①;2Sn﹣1=1﹣an﹣1②, 上面两式相减,得: . .

- 13 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以数列{an}是以首项为 ,公比为 的等比数列. ∴ .?(6 分)

(Ⅱ)

= .

=

. ?(10 分)

∴Tn=(1﹣ =1﹣

)+(

)+(

)+?+(



. (12 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意裂项求和法的合理运用. 18. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an﹣2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,cn= 求实数 k 的取值范围. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n=1 时,a1=S1,解得 a1.当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,再利用等比数列的通项公 式即可得出. (2) 利用对数的运算性质可得 bn, 利用 cn= 即可得出:数列{cn}的前 n 项和 Tn= ,化为 =
*

,记数列{cn}的前 n 项和 Tn,若对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,

*

. 利用“裂项求和”

.由于对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立,可得 = ,利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣2,解得 a1=2. 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣(2an﹣1﹣2)=2an﹣2an﹣1, 化为 an=2an﹣1, ∴数列{an}是以 2 为公比的等比数列, ∴ . =n,

(2)∵bn=log2an=

- 14 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴cn= = . +?+ = = .

∴数列{cn}的前 n 项和 Tn= ∵对 n∈N ,Tn≤k(n+4)恒成立, ∴ ,化为
*

=



∵n+ +5 ∴ ,

=9,当且仅当 n=2 时取等号.



. .

∴实数 k 的取值范围是

点评: 本题综合考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、恒成立问 题的等价转化、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力, 属于难题. 19. (12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的平面角的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连接 A1C,交 C1A 于 E,证明:DE∥A1B,即可证明 A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面 ABA1 的一个法向量、平面 ADC1 的法向量,利用向量的 夹角公式,即可求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的平面角的正弦值. 解答: (Ⅰ)证明:连接 A1C,交 C1A 于 E,则 E 为 A1C 的中点,又点 D 是 BC 的中点, 所以 DE∥A1B,?(3 分) 又 DE? 平面 ADC1,A1B?平面 ADC1,故 A1B∥平面 ADC1. ?(5 分) (Ⅱ)解:如图建立空间直角坐标系 A﹣xyz,

- 15 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

则 A(0,0,0) ,C(0,2,0) ,D(1,1,0) ,C1(0,2,4) ,?(6 分) =(0,2,0)是平面 ABA1 的一个法向量,?(7 分) 设平面 ADC1 的法向量 =(x,y,z) . ∵ ∴ =(1,1,0) , . =(0,2,4) ,

取 z=1,得 y=﹣2,x=2 ∴平面 ADC1 的法向量 =(2,﹣2,1) ,?(9 分) 平面 ADC1 与 ABA1 所成的二面角为 θ , ∴|cosθ |=| 从而 sinθ = |= .?(11 分) ,即平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为 ?(13 分)

点评: 本题考查线面平行,考查平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值,考查学生分析解决 问题的能力,属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆的短半轴

长为半径的圆与直线 x﹣y+2 =0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 A(﹣4,0) ,过点 R(3,0)作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,连结 AP, AQ 分别交直线 x= 于 M,N 两点,试探究直线 MR、NR 的斜率之积是否为定值,若为定值,请

求出;若不为定值,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知条件推导出 , ,由此能求出椭圆 C 的方程.
2 2

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,设直线 PQ:x=my+3,与椭圆方程联立,得(3m +4)y +18my ﹣21=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线 MR、NR 的斜率为定值 .

- 16 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (1)由题意: (2 分)

(4 分)

故椭圆 C 的方程为

(5 分)

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,若直线 PQ 与纵轴垂直, 则 M,N 中有一点与 A 重合,与题意不符, 故可设直线 PQ:x=my+3. (6 分) 2 2 将其与椭圆方程联立,消去 x 得: (3m +4)y +18my﹣21=0(7 分) (8 分)

由 A,P,M 三点共线可知,



, (9 分)

同理可得

(10 分)

(11 分)



(12 分)

所以

故直线 MR、NR 的斜率之积为定值

. (14 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两直线的斜率之积为定值的判断与证明,解题时要 认真审题,注意韦达定理的合理运用. 21. (12 分)已知函数 f(x)=x +a(x+lnx) ,x>0,a∈R 是常数. (1)求函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 y=f(x)图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围; (3)证明:? a∈R,存在 ξ ∈(1,e) ,使 f′(ξ )= .
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 计算题;证明题;分类讨论;导数的综合应用.

- 17 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)求出函数 f(x)的导数,求出切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线 方程; (2)讨论 a=0,a>0,a<0,运用对数函数的性质,以及分离参数,构造函数应用导数求极 值、最值,即可得到 a 的范围; (3)设函数 g(x)=f′(x)﹣ =2x﹣(e+1)+ ﹣ ,计算 g(1) ,g

(e) ,讨论当 a>e(e﹣1) 或

2

时,由零点存在定理,即可得证;当

时,求出 g(x)的最小值,判断它小于 0,再由零点存在定 理,即可得证. 解答: (1)解:函数 f(x)=x +a(x+lnx)的导数 f′(x)=2x+a(1+ ) , f(1)=1+a,f′(1)=2+2a, 则函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线为 y﹣(1+a)=(2+2a) (x﹣1) , 即 y=(1+a) (2x﹣1) ; 2 2 (2)解:①a=0 时,f(x)=x ,因为 x>0,所以点(x,x )在第一象限, 2 依题意,f(x)=x +a(x+lnx)>0; ②a>0 时,由对数函数性质知,x∈(0,1)时,lnx∈(﹣∞,0) ,alnx∈(﹣∞,0) , 2 从而“? x>0,f(x)=x +a(x+lnx)>0”不成立; ③a<0 时,由 f(x)=x +a(x+lnx)>0 得
2 2



设 x g′(x) g(x) (0,1) ﹣ ↘

,g′(x)= 1 0 极小值

+



(1,+∞) + ↗ ,﹣1<a<0;

则 g(x)≥g(1)=﹣1,从而 综上所述,常数 a 的取值范围﹣1<a≤0. (3)证明:直接计算知 设函数 g(x)=f′(x)﹣

, =2x﹣(e+1)+ ﹣ ,





- 18 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

当 a>e(e﹣1) 或

2

时,

<0, 因为 y=g(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ξ ∈(1,e) ,使 g(ξ )=0, 即 ξ ∈(1,e) ,使 f′(ξ )= ;

当 为正, 由均值不等式知,

时,g(1) 、g(e)≥0,而且 g(1) 、g(e)之中至少一个

,等号当且仅当

时成立,

所以 g(x)有最小值

,且

, 此时存在 ξ ∈(1,e) ( 或 ) ,使 g(ξ )=0. .

综上所述,? a∈R,存在 ξ ∈(1,e) ,使 f′(ξ )=

点评: 本题考查导数的综合应用:求切线方程和求单调区间、极值和最值,同时考查函数 的零点存在定理,以及分类讨论的思想方法,属于综合题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ln(x+a)﹣x ﹣x 在 x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值; (2)若关于 x 的方程 围; (3)证明:对任意的正整数 n,不等式 都成立. 在区间上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范
2

考点: 利用导数研究函数的极值;函数与方程的综合运用;不等式的证明. 专题: 证明题;压轴题. 分析: (1)求出 f′(x) ,因为函数在 x=0 处取极值,所以 f'(0)=0 求出 a 即可;

- 19 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2) 把 a=1 代入求得 f (x) 的解析式, 把f (x) 代入方程中得 后令 . 然

,求出导函数,讨论导函数的增减性,得到 b 的取

值范围; (3)求出 f′(x)=0 时 x 的值,讨论函数的增减性得到函数的最大值为 f(0) ,故 ln(x+1) ﹣x ﹣x≤0,然后取 x= >0,代入得到结论成立. 解答: 解(1) ∴f'(0)=0, 故 (2)由 a=1 知 . 令 则 , 在上恰有两个不同的实数根, ,解得 a=1.经检验 a=1 符合题意. ,得 ,∵x=0 时,f(x)取得极值,
2

等价于 φ (x)=0 在上恰有两个不同实数 根. ,

当 x∈(0,1)时,φ '(x)>0,于是 φ (x)在上单调递增; 当 x∈(1,2)时,φ '(x)<0,于是 φ (x)在上单调递减; 依题意有
2

,∴

(3)f(x)=ln(x+1)﹣x ﹣x 的定义域为{x|x>﹣1}. 由(1)知 时, (舍去) ,

∴当﹣1<x<0 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当 x>0 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. ∴f(0)为 f(x)在(﹣1,+∞)上的最大值. ∴f(x)≤f(0) , 2 故 ln(x+1)﹣x ﹣x≤0(当且仅当 x=0 时,等号成立) . 对任意正整数 n,取 得, .

点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力,注意函数与方程的综合运用,以及会进行 不等式的证明.

- 20 -


推荐相关:

河南省郑州市智林学校2015届高三上学期12月月考数学试...

河南省郑州市智林学校2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)_高中教育_教育专区。河南省郑州市智林学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (文科)一、...


河南省郑州市智林学校2015届高三上学期12月月考数学试...

河南省郑州市智林学校2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。河南省郑州市智林学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (文科)一...


河南省郑州市智林学校2014-2015学年高一上学期12月月考...

河南省郑州市智林学校 2014-2015高一上学期 12 月月考数学 试卷一、单项选择题(12x5=60) 1. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x...


河南省郑州市智林学校2014-2015学年高一上学期12月月考...

河南省郑州市智林学校2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析_...A,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,1] C. 二、填空题...


河南省郑州市盛同学校2015届高三上学期12月月考数学试...

河南省郑州市盛同学校2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)_高中教育_教育...不能准确理 解流程图的含义而导致错误. 7. (5 分)已知 A,B,C,D,E 是...


河南省郑州市盛同学校2015届高三上学期12月月考数学试...

河南省郑州市盛同学校2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_...不能准确理 解流程图的含义而导致错误. 7. (5 分)已知 A,B,C,D,E 是...


河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题

河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。河南省郑州智林学校 2015 届高三 12 月月考数学(理)试题 一、选择题:本大题共...


河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题

河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题_高考_高中教育_教育专区。河南省郑州智林学校 2015 届高三 12 月月考数学(理)试题 一、选择题:本大题共...


...2015学年高二数学上学期12月月考试卷(含解析)

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 河南省郑州市智林学校 2014-2015高二上学期 12 月月考数学试卷一、选择题(本题共 12 个小题,每...


河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题人...

河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河南省郑州智林学校2015届高三12月月考数学(理)试题人教A版 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com