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高二数学-2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷


2015-2016 学年第一学期高二年级期中测试
数 学 学 科 试 题
命题人 审题人

(第一卷)

( 满分 100 分)

一、填空题 (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.经过点(2,1),且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程是______________

_____. 2.曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 (1, 2) 处的切线方程为_____ _____.

3.顶点在原点且以双曲线
2 2

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为焦点的抛物线方程是 3
2 2



4.圆 C1 : x ? y ? 1与圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9 的位置关系是________________. 5. 已知函数 f ( x) ? e x ? 2ln x ,其导函数为 f ?( x ) .则 f ?(1) =_____________. 6.直线 x ? y ? 10 ? 0 被圆 M : 所截得的弦长为 .

7. 若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 k ? 2 3? k



8.已知双曲线Γ :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A ,与 x 轴平行的直线交Γ 于 B , a 2 b2

C 两点,记 AB ? AC ? m ,若Γ 的离心率为 2 ,则 m 的取值的集合是_________.
二、解答题 (本大题共 4 小题,共计 60 分) 9. (本小题满分 14 分) 已知三角形的顶点 A(?5,0), B(3, ?3), C (0, 2) ,试求: (1) BC 边所在直线的方程; (2) AC 边上的高所在直线的方程.

10. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 .左右焦点分别为 F1 , F2 . 25 16

1

(1)求椭圆的右焦点 F2 到对应准线的距离; (2)如果椭圆上第一象限的点 P 到右准线的距离为

16 ,求点 P 到左焦点 F 1 的距离. 3

11. (本小题满分 16 分) (1)对于函数 f ( x), g ( x) ,已知 f (6) ? 5, g (6) ? 4, f ?(6) ? 3, g ?(6) ? 1. 如果 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 h?(6) 的值; (2)直线 y ? 能,简述理由.

1 x ? b 能作为函数 f ( x) ? sin x 图象的切线吗?若能,求出切点坐标;若不 2

12. (本小题满分 16 分) 已知平面直角坐标系 xOy中, A(6, 2 3), B(4, 4) ,圆 C 是 ?OAB 的外接圆. (1)求圆 C 的一般方程; (2)若过点 P(0, 4 3) 的直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

(第二卷)

( 满分 60 分)

三、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.直线 l 经过原点,且经过两条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 的交点,则直线 l 的方程 为______________. 14. 已知圆心在第一象限的圆过点 P(?4,3) ,圆心在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,且半径为 5,则这 个圆的方程为________________.
2

15.已知偶函数 f ( x) ? ax4 ? bx3 ? cx2 ? d 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是

y ? x ? 2 ,则 y ? f ( x) 的解析式为



16. 已知 a , b 为正数,且直线 x ? (2b ? 3) y ? 6 ? 0 与直线 2bx ? ay ? 5 ? 0 互相垂直, 则 2a ? 3b 的最小值为 .

17.过点 M ( x0 , 3) 作圆 O : x 2 ? y 2 ? 1的切线,切点为 N ,如果 ?OMN ? 取值范围是 .

?
6

,那么 x0 的

18.如图,椭圆 椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 过椭圆上一点 P 和原点 O 作 直线 l 交圆 O 于 M , N 两点,若 | PF 1 | ? | PF2 |? 6 , 则 | PM | ? | PN | 的值为

,

四、解答题 (本大题共 2 小题,共计 30 分) 19. (本题满分 14 分) 抛物线 C : y ? x 在点 P ( x0 , y0 ) 处的切线 l 分别交 x 轴、 y 轴于不同的两点 A 、 B .
2

(1)如果 | AB |? 17 ,求点 P 的坐标: (2)圆心 E 在 y 轴上的圆与直线 l 相切于点 P ,当 | PE |?| PA | 时,求圆的方程.

20. (本题满分 16 分)
3

已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

(1)如果椭圆 M 的离心率 e ? ①求椭圆 M 的方程;

3 ,经过点 P(2,1). 2

②经过点 P 的两直线与椭圆 M 分别相交于 A,B,它们的斜率分别为 k1 , k2 .如果 k1 ? k2 ? 0 , 试问:直线 AB 的斜率是否为定值?并证明. (2) 如果椭圆 M 的 a ? 2, b ? 1 ,点 B, C 分别为椭圆 M 的上、下顶点,过点 T ( t ,2)( t ? 0) 的 直线 TB , TC 分别与椭圆 M 交于 E , F 两点. 若△ TBC 的面积是△ TEF 的面积的 k 倍, 求k 的最大值.

试号_______________________班级______________学号_______姓名_________________________ ——————密——————————————————封——————————————线———————

2015-2016 学年第一学期高二年级期中测试
数 学 学 科 答 题 纸 第一卷
一、填空题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1. 4 7 9. (本题满分 14 分) 2 5 8 3 6

二、解答题: (本大题共 4 道题,满分 60 分.答题应有必要的步骤和推理过程 ) ..............

10. (本题满分 14 分)

4

11. (本题满分 16 分)

12. (本题满分 16 分)

5

第二卷
一、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
13. 16 14 17 15 18

二、解答题: (本大题共 2 道题,满分 30 分.答题应有必要的步骤和推理过程 ) ..............
19. (本题满分 14 分)

20. (本题满分 16 分)

6

2015-2016 学年第一学期高二年级期中测试
数 学 学 科 试 题 参 考 答 案 (第一部分 满分 100 分) 一、填空题 (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. x ? y ? 1 ? 0 5. e ? 2

2. y ? 2 x
6.4

3. y 2 ? 8x 7. (2, )

4.相离

5 2

5 ( ,3) 2

8.{ 0 }

二、解答题 (本大题共 4 小题,共计 60 分) 9. (本小题满分 14 分)

5 , BC 边所在直线在 y 轴上的截距为 2, 3 5 BC 边所在直线方程为 y ? ? x ? 2,5 x ? 3 y ? 6 ? 0 3 2 5 (2) k AC ? , AC 边上的高的斜率为 k ? ? , 5 2 5 AC 边上的高的直线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 3) ,即 5x ? 2 y ? 9 ? 0 2
解(1) k BC ? ? 10. (本小题满分 14 分)

25 16 .右焦点到对应准线的距离为 . 3 3 3 3 16 16 ? , (2)椭圆的离心率为 e ? ,根据第二定义, PF2 ? ed ? ? 5 3 5 5 16 34 34 ? 根据第一定义 PF1 ? 2a ? PF2 ? 10 ? ,点 P 到左焦点 F . 1 的距离为 5 5 5
解(1)右焦点 F2 (3,0) ,对应右准线 x ? 11. (本小题满分 16 分) 解(1)17 (2)能切点坐标 (2k? ?

?
3

,

3 ? 3 )或(2k? ? , ? )(k ? Z ) 2 3 2

12. (本小题满分 16 分) 解: (1)设圆 C 方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0,
?F ? 0 2 2 则? 解得 D= —8,E=F=0.所以圆 C: x ? y ? 8x ? 0. ?4 D ? 4 E ? F ? 32 ? 0 ? ?6 D ? 2 3E ? F ? 48 ? 0

(2)圆 C: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16. 圆心 C(4,0),半径 4 当斜 率不存在时, l : x ? 0 符合题意; 当斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? 4 3,即kx ? y ? 4 3 ? 0, 因为直线 l 与圆 C 相切,所以圆心到直线距离为 4,

3 x ? 4 3,即x ? 3 y ? 12 ? 0. 所以 | 4k ? 4 3 | ? 4, 解得k ? ? 3 , 所以直线 l : y ? ? 3 3 1? k 2
故所求直线 l为x ? 0, 或x ? 3 y ?12 ? 0. (第二部分满分 60 分) 三、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13. 2 x ? y ? 0 14. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

15. f ( x ) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

7

16. 25/2.

17. ?1 ? x0 ? 1

18..6

四、解答题 (本大题共 2 小题,共计 30 分) 19. (本题满分 14 分) 解: (1)由抛物线 C : y ? x2 得 y ? ? 2 x ,? y? | x? x0 ? 2 x0 切线 l 的方程为 y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 ) 令 x ? 0, 得 y ? ? x0 ;令 y ? 0, 得 x ?
2

其中 y0 ? x0

2

x0 x 2 ;所以 A( 0 ,0) , B(0,? x0 ) 2 2

2 x0 ? x0 4 ? 17 得到 x02 ? 4, x0 ? ?2 ,点 P 的坐标为 (?2, 4) 4 y ?b (2)设圆心 E 的坐标为 (0, b) ,由题知 k PE ? k l ? ?1 ,即 0 ? 2 x0 ? ?1 , x0 1 所以 y 0 ? b ? ? ; 2 x 2 2 2 2 2 由 | PE |?| PA | 得 x0 ? ( y 0 ? b) ? ( 0 ) ? y 0 整理得 4 y0 ? 3 y0 ? 1 ? 0 2 1 3 3 解得 y0 ? 1 或 y 0 ? ? (舍去) 所以 b ? ,圆 E 的圆心 E 的坐标为 (0, ) , 4 2 2 3 2 5 5 2 2 2 半径 r ? | PE |? x0 ? ( y 0 ? b) ? 圆 E 的方程为 x ? ( y ? ) ? 2 4 2

AB 2 ?

20. (本题满分 16 分)

4 1 c 3 2 2 2 , 2 ? 2 ? 1 , a ? b ? c ,联立解得 a2 ? 8, b2 ? 2 . ? a b a 2 2 2 x y ? ? 1. 椭圆 M 的方程为 8 2 1 ②直线 AB 的斜率为定值 2 由已知直线 PA : y ?1 ? k1 ( x ? 2) 代入椭圆 M 的方程消去 y 并整理得
解(1)①由已知得

( x ? 2)[(1 ? 4k12 ) x ? (2 ? 8k1 ? 8k12 )] ? 0
所以 xA ? 同理 xB ?

8k12 ? 8k1 ? 2 ?4k12 ? 4k1 ? 1 , 从而 y ? A 1 ? 4k12 1 ? 4k12

8k2 2 ? 8k2 ? 2 ?4k22 ? 4k2 ? 1 , y ? B 1 ? 4k22 1 ? 4k22 4(k1 ? k2 )(4k1k2 ? 1) 因为 k1 ? k2 ? 0 所以 y A ? yB ?? (1 ? 4k12 )(1 ? 4k2 2 ) 8(k ? k )(4k1k2 ? 1) xA ? xB ? 1 22 (1 ? 4k1 )(1 ? 4k2 2 ) y ? yB 1 k AB ? A ? 为定值 xA ? xB 2
(2) 解法一: S△TBC ?

1 BC ? t ? t , 2

8

? x2 ? y2 ? 1 ? ? ?8t t 2 ? 4 ? 1 ?8t ?4 直线 TB 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xE ? 2 ,所以 E ? 2 , 2 ? t t ?4 ?t ?4 t ?4? ?y ? 1 x ?1 ? t ? 到 TC : 3x ? ty ? t ? 0 的距离
2 ?24t t ? t ? 4 ? ? 2 ?t t2 ? 4 t ?4

d?

t2 ? 9

?

2 t ? t 2 ? 12 ?

t 2 ? 9 ?t 2 ? 4?



? x2 ? y2 ? 1 ? 3 24t ?4 直线 TC 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xF ? 2 , t t ? 36 ? y ? 3 x ?1 ? t ?
? 24t 36 ? t 2 ? 24t ? ? 36 ? t 2 ? ? ? t ? ? 2 ? 所以 F ? 2 ,所以 , 2 TF ? ? ? ? ? 2 t 2 ? 36 ? ? t ? 36 ? ? ? t ? 36 t ? 36 ?
? t 2 ? t 2 ? 12 ? ? ? 3t 2 ? 36 ?
2 2
2 2

?t

2

? 36 ?

2

?

?t

2

? 12 ? ? t 2 ? 9 ?
2

?t

2

? 36 ?

2

?t ?

2

? 12 ? t 2 ? 9 t 2 ? 36


2

所以 S△TEF

2 2 2 t ? t 2 ? 12 ? 1 1 ? t ? 12 ? t ? 9 2 t ? t ? 12 ? , ? TF ? d ? ? ? ? 2 2 2 2 t 2 ? 36 t 2 ? 9 ? t 2 ? 4 ? ? t ? 36 ?? t ? 4 ?

所以 k ?

2 2 S△TBC ? t ? 36 ?? t ? 4 ? ? , 2 2 S△TEF t ? 12 ? ?

令 t 2 ? 12 ? m ? 12 ,则 k ?

(m ? 8)(m ? 24) 16 192 4 ?1? ? 2 ≤ , m2 m m 3

当且仅当 m ? 24 ,即 t ? ?2 3 时,取“ ? ” , 所以 k 的最大值为

4 . 3

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?8t ?4 解法二:直线 TB 方程为 y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xE ? 2 , t t ?4 ?y ? 1 x ?1 ? t ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? 3 24t ?4 直线 TC 方程为: y ? x ? 1 ,联立 ? ,得 xF ? 2 , t t ? 36 ? y ? 3 x ?1 ? t ? 1 TB ? TC ? sin ?BTC S TB ? TC TB TC xT ? xB xT ? xC ? ? ? ? k ? △TBC ? 2 ? S△TEF 1 TE ? TF ? sin ?ETF TE ? TF TE TF xT ? xE xT ? xF 2 ? t 2 ? 4 ? ? ? t 2 ? 36 ? , t t ? ? ? 2 8t 24t ? t ? 12 ? ? ? t 2 ? 12 ? t? 2 t? 2 t ?4 t ? 36 (m ? 8)(m ? 24) 16 192 4 令 t 2 ? 12 ? m ? 12 ,则 k ? ?1? ? 2 ≤ , 2 m m m 3
9

当且仅当 m ? 24 ,即 t ? ?2 3 时,取“ ? ” , 所以 k 的最大值为

4 . 3

18 解

10


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