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2016届高三9月月考数学模拟试题


高三 9 月月考数学模拟试题(理科)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知向量 a=(5,-3) ,b=(-6,4) ,则 a+b= (A) (1,1) (B) (-1,-1) (C) (1,-1) (D) (-1,1)

2.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是
A. y ?

x B. y ? 3 ? x
x

C. y ?

1 x

D. y ? ? x 2 ? 4

3.已知命题 p: ?x ∈R,2 =5,则 ? p 为 (A) ?x ? R,2 =5
x

(B) ?x ? R,2 ? 5
x

(C) ?x0 ∈R,2

x0

=5

(D) ?x0 ∈R,2 (C)log63

x0

≠5

4.计算 21og63 +log64 的结果是 (A)log62 (B)2

(D)3

?x ? 0 ? 5.已知实数 x,y 满足 ? y ? 0 ,则 z=4x+y 的最大值为 ?x ? y ? 2 ?
(A)10 (B)8 (C)2 (D)0 6.已知 a,b 是两条不同直线,a 是一个平面,则下列说法正确的是 (A)若 a∥b.b ? ? ,则 a// ? (B)若 a// ? ,b ? ? ,则 a∥b (C)若 a⊥ ? ,b⊥ ? ,则 a∥b (D)若 a⊥b,b⊥ ? ,则 a∥ ? x-4 7.若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 mx +4mx+3 B. ? 0, ?

A.(-∞,+∞)

? ?

3? 4?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?4 ?

D. ?0, ? 4

? 3? ? ?

8.已知函数 f(x)= 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) 的图象与直线 y= -2 的两个相邻公共点之 间的距离等于 x,则 f(x)的单调递减区间是 (A) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k∈z 3 ? ? 4? ? ,k∈z 3 ? ?

(B) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

,k∈z

(C) ? 2k? ?

? ?

?
3

, 2k? ?

(D) ? 2k? ?

? ?

?
12

, 2k? ?

5? ? ,k∈z 12 ? ?

9.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(4-x)=f(x) ,且当 x∈ ? ?1,3? 时,f(x)

1

? x 2 , x ? (?1,1) ? =? 则 g(x)=f(x)-|1gx|的零点个数是 ? ?1 ? cos x, x ? ?1,3? ? 2
(A)7 10.如图,已知椭圆 Cl: (B)8 (C)9 (D)10

x2 2 x2 y 2 +y =1,双曲线 C2: 2 ? 2 =1(a>0,b>0) ,若以 C1 的长轴为 a b 11

直径的圆与 C2 的一条渐近线相交于 A,B 两点,且 C1 与该渐近线的两交 点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 (A)5 (B) 17

(C) 5

(D)

2 14 7
1 1 , g ? x ? ? x ? ? ln x 分别交于点 A , B , x x

11.动直线 x ? m?m>0? 与函数 f ? x ? ? 2 x ? 则 AB 的最小值为 A. 3 ? ln 2 B.2

C.

7 ? ln 2 2

D.3

12 .设函数 f ?x ? 在 R 上存在导数 f ' ? x ? ,在 ?0, ? ?? 上 f ' ? x ? ? sin 2 x ,且 ?x ? R ,有

f ?? x? ? f ?x? ? 2 sin2 x ,则以下大小关系一定正确的是
A. f ? ?

? ?? ? 2? ? ? ? f ?? ? ? 6? ? 3 ?

B. f ?

?? ? ? ? f ?? ? ?4? ? ?? ? ? f ? ?? ? ? 4?

C. f ?

?? ? ? 2? ? ?? f ? ? ?6? ? 3 ?

D. f ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分
13.已知 ,则 f(f(3) )的值为 。 。

14.若 f(x)=3x+sinx,则满足不等式 f(2m﹣1)+f(3﹣m)>0 的 m 的取值范围为
2

15.设函数 f(x)=x +2x+alnx,当 t≥1 时,不等式 f(2t﹣1)≥2f(t)﹣3 恒成立,则 实数 a 的取值范围是 。

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x2 ) 16.已知函数 f ( x) ? ? 满足对任意 x1 ? x2 , 都有 ?0 x ? x ( a ? 3 ) x ? 4 a ( x ? 0 ) 1 2 ?
成立,则 a 的取值范围是 .

2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明,证明过程或 演算步骤)
17.(10 分) 知在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, a +b = (1)求角 C 的值; (2)设函数 f(x)= 离为π ,求ω 以及 f(A)的值域. (ω >0) ,且 f(x)两个相邻最高点之间的距
2 2

C=2sinAsinB.

18. (12 分)知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜 率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 f(x)≤kx 对任意 x>0 恒成立,求实数 k 的取值范围.
2

19. (12 分)已知在多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,AB=1,DE∥AB,AC=AD=CD=DE=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2)求平面 ABC 和平面 CDE 所成的锐二面角的大小.

20. (12 分)如图,焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A 和 B,且



共线. (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ)若直线 y=kx+m 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q,且原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的 内部,求实数 m 的取值范围.

3

21. (12 分)已知函数 f(x)=e ,g(x)=ax+b(e=2.71828…是自然对数的底数,a,b∈R) . (1)求函数 y=f(x)+g(x)的单调区间; (2)当 a=﹣1 时,若函数 y= 在(﹣1,+∞)上有意义,求 b 的取值范围; ≥1.

x

(3)如果 0≤a≤ ,b=1,求证:当 x≥0 时,

22.(12 分)已知数列{an}满足:a1=3,an+1+an=2+ (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明: ≤ + +…+ < +

(n∈N ,an>0) .

*

. (注:可选用公式

1 +2 +3 +…+n = n(n+1) (2n+1) (n∈N )

2

2

2

2

*

4

高三 9 月月考数学模拟试题(理科)参考答案
一.选择题
DADB BCDA DCDA

二.填空题
13.3 14. m>﹣2. 15.a≤2 16. ? 0, ? 4

? ?

1? ?
2

三.解答题
17.解答:
2 2 2

解: (1)已知等式 sin C=2sinAsinB,利用正弦定理化简得 c =2ab, = = ,则 C= ; =π ,ω >0, ,

2

∵a +b = c ,∴cosC=

(2)∵f(x)两个相邻最高点之间的距离为π ,∴f(x)的周期为π ,∴ 即ω =2,∴f(A)= ∴﹣1≤cos(2A﹣ cos(2A﹣ )≤1,即﹣ , ]. ) ,∵0<A< ≤ ,∴﹣ )≤ <2A﹣ , <

cos(2A﹣

则 f(A)的值域为[﹣

18 解答: 解: (1)f(x)=ax+xlnx,可得 f′(x)=a+lnx+1, ∵函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3, ∴f′(e)=3,∴a+lne+1=3,∴a=1; (2)f(x)≤kx 对即为 x+xlnx≤kx ,即 1+lnx≤kx,f(x)≤kx 对任意 x>0 恒成立, 即为 k≥ 对任意 x>0 恒成立.即为 k≥ 的最大值.
2 2 2

令 g(x)=

,g′(x)=



令 g′(x)=0,得 x=1,检验,x=1 处附近导数左正右负,则 x=1 为极大值点,也为最大值 点,则 g(1)最大,且为 1.则有 k≥1.故实数 k 的取值范围是,k∈Z. (2)若函数 f(x)有零点,则 2sin(2x+ ∵﹣2≤2sin(2x+ a≤3. 19 解答: )+a﹣1=0 有解,即 2sin(2x+ )=1﹣a,

)≤2,∴﹣2≤1﹣a≤2,解得﹣1≤a≤3,即实数 a 的取值范围﹣1≤

证明: (1)取 CE 的中点 M,连接 BM、FM, ,∵DE∥AB,∴AB=1,

∵F 为 CD 的中点,∴FM∥DE,且 FM=

∴AB∥FM,且 AB=FM,则四边形 ABMF 为平行四边形,∵AB⊥平面 ACD,AB∥FM ∴FM⊥平面 ACD,∴FM⊥AF,∵AC=AD=CD=DE=2,∴AF⊥CD,又 AF∩CD=F ∴AF⊥平面 CDE.

5

解: ( 2)以 F 为坐标原点,分别以 FD、FM、FA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系,如图 则 F(0,0,0) ,D(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,A(0,0, ) ,B(0,1, ) , ∵AF⊥平面 CDE∴ 设 =(0,0, )是平面 BCE 的一个法向量, , ,

是平面 ABC 的一个法向量, 则





令 z=1,则 x=

,y=0,即

, >

则平面 ABC 和平面 CDE 所成的锐二面角满足|cos<

|=

=



则<

>=

,即平面 ABC 和平面 CDE 所成的锐二面角的大小



20 解答:

解: (Ⅰ)设椭圆 E 的标准方程为



由已知得 A(a,0) 、B(0,b) ,∴ ∴
2 2 2 2

,∵



共线,

,又 a ﹣b =1∴a =2,b =1,∴椭圆 E 的标准方程为 ,

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,把直线方程 y=kx+m 代入椭圆方程
2 2 2

消去 y,得, (2k +1)x +4kmx+2m ﹣2=0,∴ △=16k m ﹣4×(2k +1) (2m ﹣2)=16k ﹣8m +8>0(*) 以 PQ 为直径的圆内, ∴ ,即 x1x2+y1y2<0 又
2 2 2 2 2 2

, ∵原点 O 总在

6





,依题意

且满足(*)

故实数 m 的取值范围是 21 解答: 解: (1)∵f(x)=e ,g(x)=ax+b,∴y=f(x)+g(x)=e +ax+b,∴y′=e +a, 当 a≥0 时,y′>0,函数 y=f(x)+g(x)在(﹣∞,+∞)递增, 当 a<0 时,令 y′>0,解得:x>ln(﹣a) ,令 y′<0,解得:x<ln(﹣a) , ∴y=f(x)+g(x)在(﹣∞,ln(﹣a) )递减,在(ln(﹣a) ,+∞)递增; (2)当 a=﹣1 时,y=
x x x x

=

,若函数 y=
x

在(﹣1,+

∞)上有意义,只需 e ﹣x+b≠0 即可,即函数 y=e 和函数 y=x﹣b 无交点, x 当 y=e 和 y=x﹣b 相切时,解得:b=﹣1,∴b 的范围是(﹣1,+∞) ; (3) 如果 0≤a≤ , b=1, 则f (x) =e , g (x) =ax+1, 令h (x) =
x

=

+



∴h′(x)=﹣e +

﹣x

=

,显然 h(0)=

+

=1,

故只需证明 h(0)为 h(x)在(0,+∞)上的最小值, 当 a=0 时,h(x)= 1 也即 +
﹣x

+x,此时 h′(x)=1﹣e ≥0,故 h(x)min=h(0)=1,即 h(x)≥ ≥1 在 x≥0 时成立;当 0<a≤ 时,令 k(x)=1﹣e (ax+1) ,
﹣x 2

﹣x

则 k′(x)=e (ax+1) (ax+1﹣a) ,∵0<a≤ ,∴ax+1≥1,ax+1﹣a≥1﹣a≥ , 又∵e >0,∴k′(x)>0,∴k(x)在 0<a≤ ,x≥0 时递增,∴k(x)min=1﹣e =0, ∴k(x)≥0,从而 h′(x)在 x∈[0,+∞) ,0<a≤ 时恒有 h′(x)≥0, ∴h(x)在[0,+∞)递增,∴h(x)≥h(0)=1, 综上,当 x≥0,0≤a≤ ,b=1 时, + ≥1.
﹣x ﹣0

22 解答:

(1)解:由 an+1+an=2+

,得

,即 . ∴ , ,

7

,… (n≥2) . 累加得: ﹣1) =3× ∴ (n≥2) .验证 n=1 时成立,∴ + , 则 ; =n +2n +n﹣4. ,
3 2

=3[1 +2 +…+(n﹣1) ]+7[1+2+…+(n﹣1)]+4(n

2

2

2

(2)证明:∵





+

+…+

=



首先利用数学归纳法证明左边. 当 n=1 时, 假设当 n=k 时结论成立,即 则当 n=k+1 时, . = 要证 , 即 ,此式在 k≥2 时显然成立. ∴设当 n=k+1 时结论成立, 综上, ≤ + +…+ 成立. . ,只需证 ,原不等式成立; ,

又当 n≥2 时, 有 < + =

, ∴



8


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