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2017年江苏单招数学考前冲刺试题(含答案)


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根据历年单招考试大纲出题

2017 年江苏单招数学考前冲刺试题(含答案)
一、填空题(本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分) 1.若复数 z ? m 2 ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是纯虚数,则实数 m ? ▲. 2.若 sin(? ?

?

>
?

?
12

)?

0.0 4 3.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机 测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:㎝) 0.0 2 O . 根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图, 那么在这片树木中,底部周长小于 110 ㎝的株 树大约是▲ 4.设 ? ? ?? 1,1, ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为. 0.0 1

1 7? , 则 cos( ? ? ) 的值为▲. 3 12

频率/组距

80 90 100 110 120 130 周长 (㎝)

? ?

1 ? 2 ?

5.已知集合 A ? y y ? log 2 (2 ? x 2 ) , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 , 则 A ? B =▲.

?

?

?

?

正视图 俯 视 图

侧视图

6.某简单几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图 的面积分别是 1,2,4,则这个几何体的体积为▲. 7.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍, 则 m 的值为▲。 8.在区间 (0,1) 中随机地取出两个数,则两数之和小于

Read x

5 的概率 6

If x ? 0 Then

y ?1? x
Else

是__▲_______

新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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y ?1? x
End If Print y (第 9 题)

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根据历年单招考试大纲出题
若 x 依次

9.右边是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序,

取数列 ?

? n ? ? 1? (n ? N? ) 中的前 200 项,则所得 y 值中的最 ?100 ?

小值为▲ 10.在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围 是▲ 11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是双曲线

???? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,且两条 a 2 b2

曲线交点的连线过点 F ,则该双曲线的离心率为▲。

? x ?1≤ 0 ? 12.已知点 P( x, y) 满足 ? 2 x ? 3 y - 5 ≤ 0 ,点 Q( x, y) 在圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1上,则 ?4 x ? 3 y ? 1≥ 0 ?

PQ 的最大值与最小值为▲
13.若函数式 f (n) 表示 n2 ? 1(n ? N * ) 的各位上的数字之和,如

142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 ,所以 f (14) ? 17 ,记

f1 (n) ? f (n), f2 (n) ? f [ f1 (n)],?, f k ?1(n) ? f [ f k (n)], k ? N * ,则
f 2009 (17) ? ▲
14.下列说法:①当 x ? 0且x ? 1时,有 ln x ?

1 ? 2 ;② ? ABC 中, A ? B 是 ln x sin A ? sin B 成立的充要条件;③函数 y ? a x 的图象可以由函数 y ? 2a x (其中
a ? 0且a ? 1 )平移得到;④已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则

S9 ? S3 .;⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称。其中正
确的命题的序号为▲ 二、解答题(第 15、16 题 14 分,第 17、 18 题 15 分,第 19、20 题 16 分) 15.已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(a ? 2) x ? b2 ? 16 ? 0 . (Ⅰ)若 a、 b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率;

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(Ⅱ)若 a ?[2, 6],b ?[0, 4] ,求方程没有实根的概率.

16.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b. (1)设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点,求证:EF∥平面 ABC;(2)求证:AC⊥AB;(3)求四面体

B1 ABC1 的体积.

17.已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数

?

?

? ? f (? ) ? a ? b .

(Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值; (Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , f ( A) ? 6 , 且 ?ABC 的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.

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18.已知圆 A: ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 与 x 轴负半轴交于 B 点,过 B 的弦 BE 与 y 轴正半轴交 于 D 点,且 2BD=DE,曲线 C 是以 A,B 为焦点且过 D 点的椭圆。(1)求椭圆的方程; (2)点 P 在椭圆 C 上运动,点 Q 在圆 A 上运动,求 PQ+PD 的最大值。 y E D B O A x

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19. 在直角坐标平面上有一点列 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ?, P n ( xn , yn ) ? ,对一切正整数 n,点 P n 5 13 位于函数 y ? 3x ? 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ?1为公差的等差数 4 2 列 {xn } . ⑴求点 Pn 的坐标;⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n2 ? 1) ,设与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线斜率 为 k n ,求:
1 1 1 ? ??? ;⑶设 S ? ? x | x ? 2 xn , n ? N* ? , k1k2 k2 k3 kn ?1kn

T ? ? y | y ? 4 yn , n ? N * ? ,等差数列{ an }的任一项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大

数, ?265 ? a10 ? ?125 ,求{ an }的通项公式。

20. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x , g ( x) ? loga x 。如果函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 没有极值 2 点,且 h / ( x) 存在零点。(1)求 a 的值;(2)判断方程 f ( x) ? 2 ? g ( x) 根的个数并
说明理由;(3)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的两点,平 行于 AB 的切线以 P( x0 , y0 ) 为切点,求证: x1 ? x0 ? x2 。

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参考答案及解析

一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.若复数 z ? m 2 ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是纯虚数,则实数 m ? 2 2.若 sin(? ?

?

?



1 1 7? ) ? , 则 cos( ? ? ) 的值为 ? . 3 12 3 12

?

频率/组距 0.0 4

3.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机 测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:㎝) . 根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图, 那么在这片树木中,底部周长小于 110 ㎝的株 树大约是 7000

0.0 2 O 0.0 1

80 90 100 110 120 130

周长(㎝)

4.设 ? ? ?? 1,1, ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为 1 或3 . 5.已知集合 A ? y y ? log 2 (2 ? x ) , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,
2 2

? ?

1 ? 2 ?

?

?

?

?

正视图 俯 视 图

侧视图

则 A ? B = ??1,1? . 6.某简单几何体的三视图如图所示,其正视图、侧视图、俯视图 的面积分别是 1,2,4,则这个几何体的体积为

4 . 3 1 。 4

7.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为

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5 的概 6
Read x If x ? 0 Then

8.在区间 (0,1) 中随机地取出两个数,则两数之和小于 率

y ?1? x
25 _____ 72
Else
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是____

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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y ?1? x
若x End If Print y (第 9 题)

9.右边是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序, 依次

取数列 ?

? n ? ? 1? (n ? N? ) 中的前 200 项,则所得 y 值中的最 ?100 ?
1

小值为

10.在周长为 16 的 ?PMN 中, MN ? 6 ,则 PM ? PN 的取值范围 是 [7,16) 11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 恰好是双曲线

???? ? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,且两条 a 2 b2 曲线交点的连线过点 F ,则该双曲线的离心率为 1 ? 2 。

? x ?1≤ 0 ? 12.已知点 P( x, y) 满足 ? 2 x ? 3 y - 5 ≤ 0 ,点 Q( x, y) 在圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1上,则 ?4 x ? 3 y ? 1≥ 0 ?

PQ 的最大值与最小值为

6,2

13.若函数式 f (n) 表示 n2 ? 1(n ? N * ) 的各位上的数字之和,如

142 ? 1 ? 197,1 ? 9 ? 7 ? 17 ,所以 f (14) ? 17 ,记

f1 (n) ? f (n), f2 (n) ? f [ f1 (n)],?, f k ?1(n) ? f [ f k (n)], k ? N * ,则
f 2009 (17) ?
5

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14.下列说法:①当 x ? 0且x ? 1时,有 ln x ?

1 ? 2 ;② ? ABC 中, A ? B 是 ln x sin A ? sin B 成立的充要条件;③函数 y ? a x 的图象可以由函数 y ? 2a x (其中
a ? 0且a ? 1 )平移得到;④已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则

S9 ? S3 .;⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 1 对称。其中正
确的命题的序号为② ③④。 二、解答题(第 15、16 题 14 分,第 17、 18 题 15 分,第 19、20 题 16 分) 15.已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(a ? 2) x ? b2 ? 16 ? 0 . (Ⅰ)若 a、 b 是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根的概率; (Ⅱ)若 a ?[2, 6],b ?[0, 4] ,求方程没有实根的概率. 解:(Ⅰ)基本事件 ( a, b) 共有 36 个,方程有正根等价于 a ? 2 ? 0,16 ? b2 ? 0, ? ≥ 0 , 即 a ? 2, ?4 ? b ? 4,(a ? 2)2 ? b2 ≥16 。设“方程有两个正根”为事件 A ,则事件 A 包 含的基本事件为 (6,1),(6, 2),(6,3),(5,3) 共 4 个,故所求的概率为

P( A) ?

4 1 ? ;……………7 分 36 9

(Ⅱ)试验的全部结果构成区域 ? ? {(a, b) 2 ≤ a ≤ 6,0 ≤ b ≤ 4} ,其面积为

S (?) ? 16
设“方程无实根”为事件 B ,则构成事件 B 的区域为

B ? {(a, b) 2 ≤ a ≤ 6, 0 ≤ b ≤ 4, (a ? 2) 2 ? b 2 ? 16} ,其面积为

1 S ( B) ? ? ? ? 42 ? 4? 4
故所求的概率为 P ( B ) ?

4? ? ? ……………14 分 16 4

16.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a, BC=b. (1)设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点,求证:EF ∥平面 ABC;(2)求证:AC⊥AB;(3)求四面体

B1 ABC1 的体积.
(1)可由 EF // AC 证得 ……………5 分

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(2)先证 AB1 ? 平面A1BC1 得到 AB1 ? AC 1 1, 从而得到 AB1 ? AC ,又由 BB1 ? AC 得到 AC ? 平面ABB1 A1 ,故 AC ? AB ……………10 分

(3) V ?

a2 2 b ? a 2 ……………14 分 6

17.已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数

?

?

? ? f (? ) ? a ? b .

(Ⅰ)求函数 f (? ) 的最大值; (Ⅱ)在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , f ( A) ? 6 , 且

?ABC 的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2

,求 a 的值.

解:(Ⅰ) f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? )

? ?

? 6sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2
? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 ……………………4 分 4

?

? f (? ) max ? 4 2 ? 2 ………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? 因为 0 ? A ?

?

? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? 4 4 2
3? ? ? ? , 2 A ? ? , A ? ……………8 分 4 4 4 4

?
2

,所以 ?

?
4

? 2A ?

?
4

?

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1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ?bc ? 6 2 ,又 b ? c ? 2 ? 3 2 ……………10 分 2 4 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc ? 2bc ? 2 2 ? (2 ? 3 2) 2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10 ? a ? 10 ……………15 分 2

18.已知圆 A: ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 与 x 轴负半轴交于 B 点,过 B 的弦 BE 与 y 轴正半轴交 于 D 点,且 2BD=DE,曲线 C 是以 A,B 为焦点且过 D 点的椭圆。(1)求椭圆的方程; (2)点 P 在椭圆 C 上运动,点 Q 在圆 A 上运动,求 PQ+PD 的最大值。 y E (1) B ? ?1, 0 ? , D ? 0, ?

? ?

3? ? , E(2, 3) 3 ? ?
B

D O A x

3 椭圆方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 1 ……………7 分 4
(2) PQ ? PD ? ( PA ? 2) ? PD ? ( PA ? PD) ? 2

PA ? PD ?

4 3 4 3 ? PB ? PD ? ? DB =2 3 3 3

所以 P 在 DB 延长线与椭圆交点处,Q 在 PA 延长线与圆的交点处,得到最大值为

2?2 3 。

……………15 分

19. 在直角坐标平面上有一点列 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ?, P n ( xn , yn ) ? ,对一切正整数 n,点 P n 5 13 位于函数 y ? 3x ? 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ?1为公差的等差数列 4 2 {xn } . ⑴求点 Pn 的坐标;⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, 第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n2 ? 1) ,设与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线斜率 为 k n ,求:
1 1 1 ? ??? ;⑶设 S ? ? x | x ? 2 xn , n ? N* ? , k1k2 k2 k3 kn ?1kn

T ? ? y | y ? 4 yn , n ? N * ? ,等差数列{ an }的任一项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大

数, ?265 ? a10 ? ?125 ,求{ an }的通项公式。

考单招上高职单招网---5 3 解:(1) xn ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 2 2 ? yn ? 3 ? xn ?

根据历年单招考试大纲出题

13 5 3 5 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 5 分 4 4 2 4

(2)? cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 cn 的方程为

y ? a( x ?

2n ? 3 2 12n ? 5 ) ? , 2 4

把 Dn (0, n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? cn 的方程为: y ? x2 ? (2n ? 3) x ? n2 ? 1 .

k n ? y ' | x?0 ? 2n ? 3 ,?
?

1 kn ?1kn

?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] k1k2 k2 k3 kn ?1kn 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 = ( ? . )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6

10 分

(3) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N, n ? 1} ,
T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N, n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N, n ? 1} ? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 .

设 {an } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265, ?125) ,由此得:

?

248 ? d ? ?12, 又? an ?T ?d ? ?12m(m ? N* ) 9

?d ? ?24,?an ? 7 ? 24n(n ? N* ) 16 分

1 2 x ? 2 x , g ( x) ? loga x 。如果函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 没有极值 2 点,且 h / ( x) 存在零点。(1)求 a 的值;(2)判断方程 f ( x) ? 2 ? g ( x) 根的个数并说
20. 已知函数 f ( x) ? 明理由;(3)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的两点,平行 于 AB 的切线以 P( x0 , y0 ) 为切点,求证: x1 ? x0 ? x2 。 解:(1)依题意 h( x) ?

1 2 1 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 x ? 2 x ? log a x , h, ( x) ? x ? 2 ? ? 2 x ln a x ln a

? h( x) 无极值, h, ( x) 存在零点

考单招上高职单招网---? x2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0的? ? 0 ,

根据历年单招考试大纲出题

? 4(ln a)2 ? 4ln a ? 0
4分 ? ln a ? 0或1? a ? e或 (舍) 1 ?a ? e

方程f(x)+2=g(x) ?
(2)

1 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x 2

?

1 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x ? 0 2

设y?

1 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x (x>0) 2

由 y, ? o 得 x ? 1 ? 2或1 ? 2(舍)

? x ? (0,1 ? 2), f , ( x) ? 0, x ? (1+ 2, ??), f , ( x) ? 0
1 2 ? y极小值 ? ( 1 ? 2) ?( 2 1 ? 2) ? 2 ? ln(1 ? 2) ? 0 2

? 方程 f ( x) ? 2 ? g ( x) 有两个根。
(3)由已知:

10 分

x ? x2 1 y1 ? y2 ,所以 x0 ? 1 ? x0 x1 ? x2 y1 ? y2

x0 ? x1 ?

x1 ? x2 x ? x ? x (y ? y ) ? x1 ? 2 1 1 2 1 = y1 ? y2 y2 ? y1

设t ?

x (t ? 1 ? ln t ) x2 得: x0 ? x 1 ? 1 ?t ? 1? 。构造函数 y ? t ?1 ? ln t ln t x1 1 t t ?1 ? 0 ,所以函数 y ? t ? 1 ? ln t 在当 t ? 1 时是增函数 t

/ 当 t ? 1 时, y ? 1 ? ?

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15 分

所以 t ? 1 时, t ? 1 ? ln t ? 0 ,所以 x0 ? x1 ? 0 得 x0 ? x1 成立 同理可得 x0 ? x2 成立,所以 x1 ? x0 ? x2 16 分


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