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福建省莆田市仙游一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年福建省莆田市仙游一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共有 12 个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本题每小 题 5 分,满分 60 分.) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},则集合(?UA) ∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{1

,2,5,8} D.? 2. (5 分)已知 f(x﹣1)=x ,则 f(x)的表达式为() 2 2 2 2 A.f(x)=x +2x+1 B.f(x)=x ﹣2x+1 C.f(x)=x +2x﹣1 D.f(x)=x ﹣2x﹣1 3. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 A.a<c<b B.a<b<c
α 2 0.3 2

之间的大小关系是() C.b<a<c D.b<c<a

4. (5 分)已知函数 f(x)=x 的图象经过点 A. B. C. 2
x

,则 f(4)的值等于() D.16

5. (5 分)根据表格内的数据,可以断定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是() x ﹣1 0 1 2 3 e x+2
x

0.37 1

1 2

2.72 7.39 20.08 3 4 5 B.(0,1) 的图象大致是() C.(1,2) D.(2,3)

A.(﹣1,0) 6. (5 分)函数 y=

A. 7. (5 分)函数 A.

B.

C. 的定义域是()

D.

B.[1,+∞)
2

C.

D.(﹣∞,1]

8. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,1)

(x ﹣4x+3)的递增区间是() C.(﹣∞,2) D.(2,+∞)

B.(3,+∞)

9. (5 分)已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)在(0,+∞)单调递增,且 f(2)=0,则不等 式 x?f(x)>0 的解集是() A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(2,+∞) C. (﹣2,0) ∪(0,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2)

10. (5 分)f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范

围为() A.(1,+∞)

B.[4,8)
x

C.(4,8)

D.(1,8)

11. (5 分)若对于任意 x∈(﹣2,2)都有 2 (x﹣a)<1 成立,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣6) B.( ,+∞) C.[ ,+∞) D.(﹣6,+∞)

12. (5 分)对于实数 a 和 b,定义运算“*”a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) ,

且关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是() A.[0, ] B.[0, ] C.(0, ]∪(1,+∞) D. (0, )

二、填空题(本题共有 4 小题.每题填对得 4 分,否则一律是零分.本题满分 15 分.) 13. (4 分)已知 2 =3 =36,则
2 m n

=.

14. (4 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 的零点个数为 2,则 a 的范围是. 15. (4 分)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式是 M=lgA﹣lgA0,其中, A 是被测地震的最大振幅,A0 是“标准地震”的振幅,M 为震级.请问 2013 年 10 月 31 日台湾 花莲县 6.7 级地震的最大振幅是 2013 年 10 月 30 日福建仙游县 4.3 级地震最大振幅的倍. 16. (3 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l,使得对于任意 x∈M(M?D) ,有 x+l∈D,且 f(x+l)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数,如果定义域是[0,+∞)的函数 2 f(x)=(x﹣1) 为[0,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是.

三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (1)求值: ;

(2)解不等式:



18. (12 分)对 于函数 f(x)=a+

(x∈R) ,

(1)判断 f(x)在 R 上的单调性; (2)若 f(x)是奇函数,求 a 值; (3)在(2)的条件下,解不等式 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x +(k﹣2)x+2k﹣1. (1 )若 f(1)=16,函数 g(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时 g(x)=f(x) , (i)求实数 k 与 g(0)的值; (ii)当 x<0 时,求 g(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=0 的两根中,一根属于区间(0,1) ,另一根属于区间(1,2) ,求实数 k 的取值范围. 20. (14 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x) = ,若不建隔热层(即 x=0 时) ,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)
2

为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的表达式; (3) 利用“函数 (其中 a 为大于 0 的常数) , 在 上是减函数, 在

上是增函数”这一性质,求隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求出这个最小值. 21. (12 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)若令 t=log3x,求实数 t 的取值范围; (3)将 y=f(x)表示成以 t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数 y=f(x)的最大值与 最小值及与之对应的 x 的值. 22. (13 分)若函数 f(x)满足下列条件:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立,则称函数 f(x)具有性质 M;反之,若 x0 不存在,则称函数 f(x)不具有性质 M. x (Ⅰ)证明:函数 f(x)=2 具有性质 M,并求出对应的 x0 的值; (Ⅱ)已知函数 h(x)= 具有性质 M,求 a 的取值范围;
2

(Ⅲ)试探究形如①y=kx+b(k≠0) 、②y=ax +bx+c(a≠0) 、③y= (k≠0) 、④y=ax(a>0 且 a≠1) 、⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的函数,指出哪些函数一定具有性质 M?并加以证明.

2014-2015 学年福建省莆田市仙游一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共有 12 个小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本题每小 题 5 分,满分 60 分.) 1. (5 分)已知全集 U={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},则集合(?UA) ∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{1,2,5,8} D.? 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 由全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 解:∵全集∪={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},

∴?UA={0,2,3,6}, 则(?UA)∪B={0,2,3,6}. 故选 A 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 f(x﹣1)=x ,则 f(x)的表达式为() 2 2 2 2 A.f(x)=x +2x+1 B.f(x)=x ﹣2x+1 C.f(x)=x +2x﹣1 D.f(x)=x ﹣2x﹣1 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 由函数 f(x)的解析式,由于 x=(x+1)﹣1,用 x+1 代换 x,即可得 f(x)的解析 式. 2 解答: 解:∵函数 f(x﹣1)=x 2 ∴f(x)=f[(x+1)﹣1]=(x+1) 2 =x +2x+1 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数解析式的求法及其常用方法,同时考查了整体代换思想,属于 基础题. 3. (5 分)三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 A.a<c<b B.a<b<c
2 0.3 2

之间的大小关系是() C.b<a<c D.b<c<a

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 2 0.3 x x 分析: 将 a=0.3 ,c=2 分别抽象为指数函数 y=0.3 ,y=2 之间所对应的函数值,利用它们 的图象和性质比较,将 b=log20.3,抽象为对数函数 y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三 者得到结论.

解答: 解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选 C 点评: 本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质.
α

4. (5 分)已知函数 f(x)=x 的图象经过点 A. B. C. 2

,则 f(4)的值等于() D.16

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 2 =
α

,求出 α=﹣ ,由此求出 f(4)=
α

运算求得结果.

解答: 解:函数 f(x)=x 的图象经过点 故有 2 =
α



,∴α=﹣ .

∴f(4)= 故选 B.

=

= ,

点评: 本题主要考查幂函数的定义,求出 α=﹣ ,是解题的关键,属于基础题.
x

5. (5 分)根据表格内的数据,可以断定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根所在的区间是() x ﹣1 0 1 2 3 e x+2
x

0.37 1

1 2

2.72 7.39 20.08 3 4 5 B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

A.(﹣1,0)

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 令 f(x)=e ﹣x﹣2,求出选项中的端点函数值,从而由根的存在性定理判断根的位 置. 解答: 解:由上表可知, x 令 f(x)=e ﹣x﹣2, 则 f(﹣1)≈0.37+1﹣2<0, f(0)=1﹣0﹣2=﹣1<0, f(1)≈2.72﹣1﹣2<0, f(2)≈7.39﹣2﹣2>0,

f(3)≈20.09﹣3﹣2>0. 故 f(1)f(2)<0, 故选:C. 点评: 考查了二分法求方程近似解的步骤,属于基础题.

6. (5 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 考查函数相应性质,从四个选项中选择与之相符的一个. 解答: 解:当 x=1 时,y=0; 又 f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数为奇函数. 只有 D 项与之相符. 故选:D. 点评: 本题考查了函数的性质与识图能力,属基础题,一般先区分四个选项,再研究函数 对应的性质,选择与之相符的选项. 7. (5 分)函数 A. B.[1,+∞) 的定义域是() D.(﹣∞,1]

C.

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 欲使函数有意义,须 解答: 解:欲使函数 须 , ,解之得函数的定义域即可. 的有意义,



解之得: 故选 C. 点评: 对数的真数必须大于 0 是研究对数函数的定义域的基本方法,其中,若底数含有参 数,必须分类讨论,结论也必须分情况进行书写.

8. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,1)

(x ﹣4x+3)的递增区间是() C.(﹣∞,2) D.(2,+∞)

2

B.(3,+∞)

考点: 复合函数的单调性;对数函数的单调区间. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)= (x ﹣4x+3)是由这两个函数 f(x)=
2

t 和 t=x ﹣4x+3>0

2

复合而成,根据复合函数的单调性“同增异减”可以求解. 解答: 解:函数 f(x)= (x ﹣4x+3)是由这两个函数 f(x)=
2

t 和 t=x ﹣4x+3

2

>0 复合而成, 2 由 t=x ﹣4x+3>0 解得 x>3,或 x<1,即函数的定义域是(﹣∞,1)∪(3,+∞) 2 f(x)= t 在定义域上是减函数,t=x ﹣4x+3 在(﹣∞,1)是减函数,在(3,+∞)上是 增函数 根据复合函数的单调性“同增异减”可知, 函数 f(x)= (x ﹣4x+3)的递增区间为 t=x ﹣4x+3 的递减区间,即(﹣∞,1) ,
2 2

故选 A. 点评: 考查复合函数的单调性的判定,其法则为“同增异减”,同时要注意对数函数的真数必 须大于零. 9. (5 分)已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)在(0,+∞)单调递增,且 f(2)=0,则不等 式 x?f(x)>0 的解集是() A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) B.(﹣2,0)∪(2,+∞) C. (﹣2,0) ∪(0,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)的奇偶性及在(0,+∞)上的单调性可判断 f(x)在(﹣∞,0)上的单调 性,再根据 f(x)图象上的特殊点可作出 f(x)在 R 上的草图,根据图象可解得不等式. 解答: 解:∵f(x)在(0,+∞)上单调递增且为奇函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上也单调递增, 由奇函数性质可得 f(﹣0)=﹣f(0) ,则 f(0)=0, 由 f(2)=0,得 f(﹣2)=﹣f(2)=0, 作出函数 f(x)在 R 上的草图,如图所示: 由图象可得,x?f(x)>0? 或 ?x<﹣2 或 x>2,

∴不等式 x?f(x)>0 的解集是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) , 故选 A.

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,考查数形结合思想,考查学生灵活运用 知识解决问题的能力.

10. (5 分)f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范

围为() A.(1,+∞)

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据当 x≤1 时,f(x)是一次函数且为增函数,可得一次项系数为正数,再根据当 x>1 时,f(x)=a 为增函数,可得底数大于 1,最后当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值 要小于指数函数的取值.综合,可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵当 x≤1 时,f(x)=(4﹣ )x+2 为增函数 ∴4﹣ >0?a<8 又∵当 x>1 时,f(x)=a 为增函数 ∴a>1 同时,当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值 ∴(4﹣ )×1+2≤a =a?a≥4 综上所述,4≤a<8 故选 B 点评: 本题以分段函数为例,考查了函数的单调性、基本初等函数等概念,属于基础题.解 题时,应该注意在间断点处函数值的大小比较. 11. (5 分)若对于任意 x∈(﹣2,2)都有 2 (x﹣a)<1 成立,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣6) B.( ,+∞) C.[ ,+∞) D.(﹣6,+∞)
x 1 x x

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 将不等式恒成立变形为 a>x﹣ f(x)=x﹣

对于任意 x∈(﹣2,2)恒成立,利用导数研究函数

的单调性,从而得到 f(x)的取值范围,即可求得实数 a 的取值范围.
x

解答: 解:∵2 (x﹣a)<1 对于任意 x∈(﹣2,2)恒成立, x ∵2 >0, ∴2 (x﹣a)<1 对于任意 x∈(﹣2,2)恒成立等价于 a>x﹣ 立, 令 f(x)=x﹣ ,则 f′(x)=1+ >0 在(﹣2,2)上恒成立,
x

对于任意 x∈(﹣2,2)恒成

故函数 f(x)在(﹣2,2)上为单调递增函数, ∴f(x)<f(2)= , ∴a≥ >f(x) , ∴a 的取值范围是[ ,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查了恒成立问题,对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、 数形结合法求解. 考查了运用导数研究函数的单调性, 注意导数的正负对应着函数的单调性. 属 于中档题.

12. (5 分)对于实数 a 和 b,定义运算“*”a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) ,

且关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是() A.[0, ] B.[0, ] C.(0, ]∪(1,+∞) D. (0, )

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 新定义. 分析: 由新定义写出分段函数 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)= ,然后作出

分段函数的图象,关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根,是指函数 y=f (x)的图象与 y=a 的图象有 3 个不同的交点,数形结合可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:由 2x﹣1<x﹣1 得,x<0. 由定义运算 a*b= ,

则 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1) =
2

=

函数 f(x)=﹣x +x (x>0)的最大值是 函数 f(x)的图象如图,

= .

由图象看出,关于 x 的方程 f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根的实数 a 的取值范围 是(0, ) . 故选 D. 点评: 本题考查了函数零点的判断,考查了分段函数的图象,考查了数学转化思想和数形 结合思想,判断一个方程根的个数,可以转化为判断两个函数图象交点的个数,是中档题. 二、填空题(本题共有 4 小题.每题填对得 4 分,否则一律是零分.本题满分 15 分.) 13. (4 分)已知 2 =3 =36,则
m n

= .

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 m=log2 ,n=log3 ,故 化简. m n 解答: 解:∵2 =3 =36, 36 36 ∴m=log2 ,n=log3 , ∴ =log36 +log36 =log36 =
2 3 6 36 36

=log36 +log36 ,再利用对数的运算性质进行

2

3

= ,

故答案为 . 点评: 本题考查对数式与指数式的互化,对数的运算性质、换底公式的应用. 14. (4 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 的零点个数为 2,则 a 的范围是{a|a=0 或 a>4}. 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 令 g(x)=|4x﹣x |=

2

,画出函数 g(x)的图象;当 x=2 时,

g(2)=4.当 x=0 或 4 时,g(0)=g(4)=0.即可得出 a 的取值范围. 解答: 解:令 g(x)=|4x﹣x |=
2



画出函数 g(x)的图象, 当 x=2 时,g(2)=4.当 x=0 或 4 时,g(0)=g(4)=0. 2 ∴当 a=0 或 a>4 时,函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 的零点个数为 2. 故答案为:{a|a=0 或 a>4}.

点评: 本题考查了二次函数的图象与性质、含绝对值符号的函数的图象、数形结合等基础 知识与基本技能方法,属于中档题. 15. (4 分)通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式是 M=lgA﹣lgA0,其中, A 是被测地震的最大振幅,A0 是“标准地震”的振幅,M 为震级.请问 2013 年 10 月 31 日台湾 2.4 花莲县 6.7 级地震的最大振幅是 2013 年 10 月 30 日福建仙游县 4.3 级地震最大振幅的 10 倍. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算法则进行计算即可. 解答: 解:6.7 级地震的最大振幅 A1 满足 6.7=lgA1﹣lgA0, 4.3 级地震的最大振幅 A2 满足 4.3=lgA2﹣lgA0, 两式相减得 6.7﹣4.3=lgA1﹣lgA2= ,



倍.
2.4

故答案为:10 . 点评: 本题主要考查对数的基本运算,利用对数的运算法则是解决本题的关键. 16. (3 分)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l,使得对于任意 x∈M(M?D) ,有 x+l∈D,且 f(x+l)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数,如果定义域是[0,+∞)的函数 2 f(x)=(x﹣1) 为[0,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是[2,+∞) .

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;新定义. 分析: 根据题意可知定义域是[0,+∞)的函数 f(x)=(x﹣1) 为[0,+∞)上的 m 高调 函数,令 x=0 得到 m 的取值范围即可. 2 解答: 解:因为定义域是[0,+∞)的函数 f(x)=(x﹣1) 为[0,+∞)上的 m 高调函数, 2 由 x+l∈D,且 f(x+l)≥f(x) ,得 x=0 得到 f(m)≥f(0)即(m﹣1) ≥1, 解得 m≥2 或 m≤0(又因为函数的定义域为[0,+∞)所以舍去) , 所以 m∈[2,+∞) 故答案为[2,+∞) 点评: 考查学生理解函数恒成立时取条件的能力,以及用特值法解题的能力,解一元二次 不等式的能力. 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (1)求值: (2)解不等式: . ;
2

考点: 指、对数不等式的解法;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用指数的运算性质化简即可求得答案; (2)利用对数函数的单调性得到关于 x 的一元二次不等式组,解之即可. 解答: 解: (1)原式= = ﹣1﹣ + ﹣1﹣ +

═ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(2)解:依题得

,即

解得:x>4. ∴原不等式的解集为:{x|x>4}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查指数的运算性质与对数函数的单调性及一元二次不等式组的解法,考查运 算能力,属于中档题. 18. (12 分)对 于函数 f(x)=a+ (1)判断 f(x)在 R 上的单调性; (2)若 f(x)是奇函数,求 a 值; (x∈R) ,

(3)在(2)的条件下,解不等式 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数奇偶 性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用函数的单调性的定义,判断 f(x)在 R 上的单调性即可; (2)利用 f(x)是奇函数的性质,f(0)=0,即可求 a 值; (3)利用函数的奇偶性以及函数的单调性,转化不等式 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0 求解即可. 解答: (12 分)解:证明(1) :设 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣ =

∵2

﹣2

>0,2

+1>0,2

+1>0.

即 f(x1)﹣f(x2)>0. ∴f(x)在 R 上是单调减函数 (2)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0?a=﹣1. (3)由(1) (2)可得 f(x )在 R 上是单调减函数且是奇函数, ∴f(2t+1)+f(t﹣5)≤0. 转化为 f(2t+1)≤﹣f(t﹣5)=f(﹣t+5) ,?2t+1≥﹣t+5?t≥ , 故所求不等式 f(2t+1)+f(t﹣5)≤0 的解集为:{t|t≥ }. 点评: 本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用,考查计算能力以及转化思想的应 用. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x +(k﹣2)x+2k﹣1. (1 )若 f(1)=16,函数 g(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时 g(x)=f(x) , (i)求实数 k 与 g(0)的值; (ii)当 x<0 时,求 g(x)的解析式; (2)若方程 f(x)=0 的两根中,一根属于区间(0,1) ,另一根属于区间(1,2) ,求实数 k 的取值范围. 考点: 函数零点的判定定理;函数解析式的求解及常用方法;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)代入解析式,利用去哦函数的定义,分类讨论求解,
2

(2)依题意得:

,求解不等式即可.

解答: 解: (1) .由 f(1)=16 得 k=6, 2 ∴f(x)=x +4x+11, (i) .由 g(x)是 R 上的奇函数, ∴g(0)=0, (k=6) , 2 (ii) .依题意知:当 x>0 时,g(x)=x +4x+11;

当 x<0 时,则(﹣x)>0,由 g(x)=﹣g(﹣x)=﹣[(﹣x) +4(﹣x)+11]=﹣x +4x﹣11. 2 ∴x<0 时,g(x)=﹣x +4x﹣11,
2 2

(2)依题意得:







即 <k< ;

所以 k 的取值范围为( , ) , 点评: 本题考察了函数的性质,零点的判断方法,属于中档题. 20. (14 分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x) = ,若不建隔热层(即 x=0 时) ,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)

为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的表达式; (3) 利用“函数 (其中 a 为大于 0 的常数) , 在 上是减函数, 在

上是增函数”这一性质,求隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求出这个最小值. 考点: 函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;根据实际问题选择函数类型. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据题意中的一组特值求解. (2)根据题意,隔热层的建造费用 f(x)是 20 年的能源消耗费用之和与 x 厘米厚的隔热层 的建造成本的和,依次求出函数的解析式与定义域. (3)将函数解析式化简,再利用“函数 减函数,在 (其中 a 为大于 0 的常数) ,在 上是

上是增函数”这一性质,求解.

解答: 解: (1)根据题意当 x=0 时,C(x)=8,代入得 =8?K=40;

(2)f(x)=6x+20×

=6x+

,0≤x≤10. ﹣10=2[(3x+5)+ ]﹣10≥2×2 ﹣10=70.

(3)∵f(x)=2(3x+5)+

当且仅当 3x+5= =20 时,即 x=5 时,取“=”. 答:隔热层修建 5 厘米厚时,总费用最小,最小值为 70(万元) . 点评: 本题主要考查利用构造函数类型解决实际问题.

21. (12 分)设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. (1)求 f(3)的值; (2)若令 t=log3x,求实数 t 的取值范围; (3)将 y=f(x)表示成以 t(t=log3x)为自变量的函数,并由此求函数 y=f(x)的最大值与 最小值及与之对应的 x 的值. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)根据解析式求解, (2)根据对数函数的单调性求解. (3)转化二次函数求解, 2 g(t)=t +3t+2,﹣2≤t≤2, 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. ∴f(3)=log3(9×3)?log3(3×3)=3×2=6, (2)令 t=log3x, ∵f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 ≤x≤9. ∴ ≤t(x)≤log39,

∴实数 t 的取值范围:﹣2≤t≤2, 2 (3)g(t)=t +3t+2,﹣2≤t≤2, 对称轴 t=﹣ ,根据二次函数的性质可得: g( )= ﹣ , ,x= ,

g(2)=12,log3x=2,x=9 故函数 y=f(x)的最大值 12,x=9,最小值 ,x= ,

点评: 本题考查了二次函数的性质,对数函数的性质,属于中档题. 22. (13 分)若函数 f(x)满足下列条件:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立,则称函数 f(x)具有性质 M;反之,若 x0 不存在,则称函数 f(x)不具有性质 M. x (Ⅰ)证明:函数 f(x)=2 具有性质 M,并求出对应的 x0 的值; (Ⅱ)已知函数 h(x)= 具有性质 M,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)试探究形如①y=kx+b(k≠0) 、②y=ax +bx+c(a≠0) 、③y= (k≠0) 、④y=ax(a>0 且 a≠1) 、⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的函数,指出哪些函数一定具有性质 M?并加以证明. 考点: 对数函数的图像与性质;二次函数的性质;指数函数的图像与性质. 专题: 计算题;新定义. 分析: (Ⅰ)把函数 f(x)=2 代入 f(x0+1)=f(x0)+f(1) ,解出 x0,从而求解; (Ⅱ)根据 h(x)具有性质 M,即存在 x0,使得 h(x0+1)=h(x0)+h(1) ,代入得到一个 关于 x0,的方程,其中含有参数 a,并对 a 进行讨论,从而求出 a 的取值范围; (Ⅲ)已知函数 y=f(x)恒具有性质 M,转化为关于 x 的方程 f(x+1)=f(x)+f(1) (*) 恒有解, 因为①y=kx+b(k≠0) 、 ②y=ax +bx+c(a≠0) 、③y= (k≠0) 、 ④y=ax(a>0 且 a≠1) 、 ⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的函数,把其代入进行一一验证是否具有性质 M; x x0 x0 解答: 解: (Ⅰ)证明:f(x)=2 代入 f(x0+1)=f(x0)+f(1)得 2 +1=2 +2 得:…(2 分) x0 即 2 =2,解得 x0=1, x ∴函数 f(x)=2 具有性质 M.…(4 分) (Ⅱ)解:h(x)的定义域为 R,且可得 a>0, ∵h(x)具有性质 M, ∴存在 x0,使得 h(x0+1)=h(x0)+h(1) ,代入得 lg =
2 x

2

化为 2(

+1)=

+a +2ax0+2a﹣2=0 有实根…(5 分)

整理得: (a﹣2)

①若 a=2,得 x0=﹣ ,满足题意 ②若 a≠2,则要使(a﹣2)
2

+2ax0+2a﹣2=0 有实根,只需满足△ ≥0,

即 a ﹣6a+4≤0,解得 a∈[3﹣ ,3+ ] ∴a∈[3﹣ ,2)∪(2,3+ ]…(8 分) 综合①②,可得 a∈[3﹣ ,3+ ]…(9 分) (Ⅲ)解:函数 y=f(x)恒具有性质 M,即关于 x 的方程 f(x+1)=f(x)+f(1) (*)恒有 解. ①若 f(x)=kx+b,则方程(*)可化为 k(x+1)+b=kx+b+k+b, 整理,得 0×x+b=0, 当 b≠0 时,关于 x 的方程(*)无解 ∴f(x)=kx+b 不恒具备性质 M; ②若 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,则方程(*)可化为 2ax﹣c=0,解得 x= ∴函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)一定具备性质 M. ③若 f(x)= (k≠0) ,则方程(*)可化为 x +x+1 无解
2 2 2



∴f(x)= (k≠0)不具备性质 M; ④若 f(x)=a ,则方程(*)可化为 a 当 0<a<1 时,方程(*)无解 ∴f(x)= (k≠0) ,不恒具备性质 M; ⑤若 f(x)=logax,则方程(*)可化为 loga(x+1)=logax,化简得 x+1=x 显然方程无解; ∴f(x)= (k≠0) ,不具备性质 M; 综上所述,只有函数 f(x)=ax2+bx+c 一定具备性质 M.…(14 分) 点评: 此题是一道综合性比较强的题,考查了二次函数的图象和性质的应用,出现了新定 义,这是高考的热点,围绕这个新定义出了三问,但是都不是很难,运用了分类讨论的思想, 是一道中档题;
x x+1

=a +a,化简得(a﹣1)a =a 即 a =

x

x

x


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