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【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词]


§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题 1.命题 p:x=π 是函数 y=sin x 图象的一条对称轴;q:2π 是 y=sin x 的最小正周期, 下列复合命题:①p∨q;②p∧q;③綈 p;④綈 q,其中真命题有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 )

解析:由于命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,所以 p

∧q 为假命题,p∨q 为真命题,綈 p 是真命题,綈 q 是假命题,因此①②③④中只有①③为真. 答案:C 2.命题“? x>0,x +x>0”的否定是( A.? x0>0,x20+x0>0 C.? x>0,x +x≤0
2 2

). B.? x0>0,x20+x0≤0 D.? x≤0,x +x>0
2

解析 根据全称命题的否定是特称命题,可知该命题的否定是:? x0>0,x20+x0≤0. 答案 B 3.ax +2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是( A.0<a≤1 C.a≤1
2

). B.a<1 D.0<a≤1 或 a<0

解析 (筛选法)当 a=0 时,原方程有一个负的实根,可以排除 A、D;当 a=1 时,原方程 有两个相等的负实根,可以排除 B,故选 C. 答案 C 4.下列命题中是假命题的是( )
2

A.? m∈R,使 f(x)=(m-1)·xm -4m+3 是幂函数,且在(0,+∞)上递减 B.? a>0,函数 f(x)=ln x+lnx-a 有零点 C.? α ,β ∈R,使 cos(α +β )=cos α +sin β D.? φ ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ )都不是偶函数 1 解析:对 A,当 m=2 时,f(x)= 是幂函数且在(0,+∞)上递减;对 B,由于 Δ =1+4a>0,
2

x

π π π 2 故 f(x)=ln x+lnx-a 有零点;对 C,当 α = ,β =0 时,有 cos( +0)=cos +sin0; 4 4 4 π 对 D,当 φ = 时,f(x)是偶函数,故 D 是假命题. 2 答案:D 5.“ a ? b ? 0 ”的含义为()
2 2

A. a , b 不全为 0 B. a , b 全不为 0 C. a , b 至少有一个为 0 D. a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0
2 2 解析: a ? b ? 0 ? a ? 0, b ? 0 ,于是 a ? b ? 0 就是对 a ? 0, b ? 0 即 a , b 都为 0 的否

2

2

定, 而“都”的否定为“不都是”或“不全是”,所以应该是“ a , b 不全为 0”. 答案:A 6.下列命题错误的是( ).
2 2

A.命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x +x-m=0 无实数根,则 m≤0” B.“x=1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.对于命题 p:? x0∈R,使得 x20+x0+1<0,则綈 p:? x∈R,均有 x +x+1≥0 解析 依次判断各选项, 易知只有 C 是错误的, 因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中, 只要一个为假整个命题为假. 答案 C 7.已知 p:? x0∈R,mx0+2≤0.q:? x∈R,x -2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( A.[1,+∞) C.(-∞,-2] ). B.(-∞,-1] D.[-1,1]
2 2 2 2 2

解析 (直接法)∵p∨q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题.由 p:? x0∈R,mx0+2≤0 为假, 得? x∈R,mx +2>0,∴m≥0.① 由 q: ? x∈R, x -2mx+1>0 为假, 得? x0∈R, x0-2mx0+1≤0, ∴Δ =(-2m) -4≥0? m ≥1 ? m≤-1 或 m≥1.② 由①和②得 m≥1. 答案 A 【点评】 本题采用直接法,就是通过题设条件解出所求的结果,多数选择题和填空题都要 用该方法,是解题中最常用的一种方法. 二、填空题 8.若命题“? x0∈R,2x20-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是________.
2 2 2 2 2

解析 因为“? x0∈R,2x20-3ax0+9<0”为假命题, 则“? x∈R,2x -3ax+9≥0”为真命 题.因此 Δ =9a -4×2×9≤0,故-2 2≤a≤2 2. 答案 -2 2≤a≤2 2 9.命题 p:若 a,b∈R,则 ab=0 是 a=0 的充分条件,命题 q:函数 y= x-3的定义域是 [3,+∞),则“p∨q”、“p∧q”、“非 p”中是真命题的有________. 解析:依题意 p 假,q 真,所以 p∨q,非 p 为真. 答案:p∨q,綈 p π 10.若 ? a∈ (0,+∞), ? θ∈ R,使 asinθ≥a 成立,则 cos(θ- )的值为 6 解析:∵ ? a∈(0,+∞),asinθ ≥a, ∴sinθ ≥1,又 sinθ ≤1,∴sinθ =1, π π π 1 ∴θ =2kπ + (k∈Z),∴cos (θ - )=sin = . 2 6 6 2 1 答案: 2 11. 令 p(x): ax2+2x+a>0, 若对? x∈R, p(x)是真命题, 则实数 a 的取值范围是________. 解析 ∵对? x∈R,p(x)是真命题. ∴对? x∈R,ax +2x+a>0 恒成立, 当 a=0 时,不等式为 2x>0 不恒成立, 当 a≠0 时,若不等式恒成立, 则?
?a>0, ? ? ?Δ =4-4a <0,
2 2 2

2

.

∴a>1.

答案 a>1 15 12. 已知命题“? x∈R, x2-5x+ a>0”的否定为假命题, 则实数 a 的取值范围是________. 2 解析 由“? x∈R,x -5x+
2

15 15 a>0”的否定为假命题,可知命题“? x∈R,x2-5x+ a 2 2

15 2 >0”必为真命题,即不等式 x -5x+ a>0 对任意实数 x 恒成立. 2 15 2 设 f(x)=x -5x+ a,则其图象恒在 x 轴的上方. 2 15 5 ?5 ? 故 Δ =25-4× a<0,解得 a> ,即实数 a 的取值范围为? ,+∞?. 2 6 ?6 ?

?5 ? 答案 ? ,+∞? ?6 ?
三、解答题

13.已知命题 P:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增; 命题 Q:不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立. 若 P∨Q 是真命题,求实数 a 的取值范围 解:命题 P 函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增; ∴0<a<1. 又∵命题 Q 不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立;
? ?a-2<0, ∴a=2 或? ?Δ = a- ?
2 2

2



a-



即-2<a≤2. ∵P∨Q 是真命题,∴a 的取值范围是-2<a≤2 14.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)q:? x∈R,x 不是 5x-12=0 的根; (2)r:有些质数是奇数; (3)s:? x0∈R,|x0|>0. 解 (1)綈 q:? x0∈R,x0 是 5x-12=0 的根,真命题. (2)綈 r:每一个质数都不是奇数,假命题. (3)綈 s:? x∈R,|x|≤0,假命题. 15.已知两个命题 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x +mx+1>0.如果对? x∈R,r(x)与
2

s(x)有且仅有一个是真命题.求实数 m 的取值范围.

? π? 解 ∵sin x+cos x= 2sin?x+ ?≥- 2,∴当 r(x)是真命题时,m<- 2.又∵对? x 4? ?
∈R,当 s(x)为真命题时, 即 x +mx+1>0 恒成立有 Δ =m -4<0,∴-2<m<2. ∴当 r(x)为真, s(x)为假时, m<- 2, 同时 m≤-2 或 m≥2, 即 m≤-2.当 r(x)为假, s(x) 为真时,m≥- 2且-2<m<2,即- 2≤m<2. 综上,实数 m 的取值范围是 m≤-2 或- 2≤m<2. 16.已知命题 p:方程 2x +ax-a =0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等 式 x0+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. 解析:由 2x +ax-a =0,得(2x-a)(x+a)=0, a ∴x= 或 x=-a, 2 a ∴当命题 p 为真命题时,| |≤1 或|-a|≤1, 2 ∴|a|≤2.
2 2 2 2 2 2 2

又“只有一个实数 x0 满足不等式 x0+2ax0+2a≤0” , 即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ =4a -8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为 a>2 或 a<-2.
2 2

2


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