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【步步高】高考数学一轮复习


§ 4.3

三角函数的图像和性质

1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0). 2 2 π 3π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点:(0,1),( ,0),(π,-1),(

,0),(2π,1). 2 2 2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图像

定义域

R [-1,1] π π [- +2kπ, +2kπ](k∈Z) 2 2

R [-1,1] [ - π + 2kπ , 2kπ](k∈Z) 上 递增; [2kπ , π + 2kπ](k∈Z) 上递 减

π {x|x∈R 且 x≠ +kπ, 2 k∈Z}

值域

R

单调性

上递增; π 3π [ + 2kπ, + 2kπ](k∈Z) 2 2 上递减 π x = + 2kπ(k∈Z) 时, ymax 2

π π ( - + kπ , + kπ)(k∈Z) 2 2 上递增

最值

=1; π x = - + 2kπ(k∈Z) 时 , 2 ymin=-1

x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin= -1

奇偶性 对称中心 对称轴方程 周期

奇函数 (kπ,0)(k∈Z) π x= +kπ(k∈Z) 2 2π

偶函数 π ( +kπ,0) (k∈Z) 2 x=kπ(k∈Z) 2π

奇函数 kπ ( ,0)(k∈Z) 2

π

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期. π (2)y=sin x 在 x∈[0, ]上是增函数. 2 (3)y=cos x 在第一、二象限上是减函数. (4)y=tan x 在整个定义域上是增函数. (5)y=ksin x+1(x∈R),则 ymax=k+1. (6)若 sin x> 2 π ,则 x> . 2 4 ( π D.x=- 2 ) ( √ ( √ ( × ( × ( × ( × ) ) ) ) ) )

π x- ?的图像的一条对称轴是 2.函数 f(x)=sin? 4 ? ? π A.x= 4 π B.x= 2 π C.x=- 4

答案 C 解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点, π π 3π π 故令 x- =kπ+ ,k∈Z,∴x=kπ+ ,k∈Z. 取 k=-1,则 x=- . 4 2 4 4 方法二 用验证法. π π? π x= 时,y=sin? ?4-4?=0,不合题意,排除 A; 4 π π? π 2 x= 时,y=sin? ?2-4?= 2 ,不合题意,排除 B; 2 π π? π x=- 时,y=sin? ?-4-4?=-1,符合题意,C 项正确; 4 π π? π 2 x=- 时,y=sin? ?-2-4?=- 2 ,不合题意,故 D 项也不正确. 2

?π?? ?π? 3. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立,且 f?2?<f(π),则下列结论
正确的是 11 ? A. f? ?12π?=-1 7π? ?π? B. f? ?10?>f?5? ( ) π π? C. f(x)是奇函数 D. f(x)的单调递增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z)

π π π ?π?? 答案 D 解析 ∵f(x)≤? ?f?6??对 x∈R 恒成立, ∴2×6+φ=kπ+2,k∈Z,φ=kπ+6,k∈Z. π? π ∵f? ?2?<f(π),sin(π+φ)=-sin φ<sin(2π+φ)=sin φ,sin φ>0.∴φ=2kπ+6,k∈Z. 11π? 7π? π 47π 17π ?7π π? 不妨取 φ= ,f? =sin 2π=0,∴A 错; ∵f? ?10?=sin? 5 +6?=sin 30 =-sin 30 <0, 6 ? 12 ? π? 17π ?2π π? f? ?5?=sin? 5 +6?=sin 30 >0,∴B 错; ∵f(-x)≠-f(x),∴C 错; π π π π π ∵2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,∴D 对.故选 D. 2 6 2 3 6

4.将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称, 则 m 的最小值是 π A. 12 π B. 6 π C. 3 5π D. 6 ( )

π π 答案 B 解析 y= 3cos x+sin x=2sin(x+ )向左平移 m 个单位长度后得到 y=2sin(x+ +m),它关 3 3 π π π π π 于 y 轴对称可得 sin( +m)=± 1,∴ +m=kπ+ ,k∈Z,∴m=kπ+ ,k∈Z,∵m>0,∴m 的最小值为 . 3 3 2 6 6 5. 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x+2cos x 取得最大值,则 cos θ=________. 答案 2 5 π 解析 由 f(x)=sin x+2cos x 可得 f(x)= 5sin(x+φ), 其中 tan φ=2, 当 x+φ= +2kπ(k∈Z) 5 2

π 2 5 ? 时函数 f(x)取得最大值,所以 cos θ=cos? ?2-φ+2kπ?=sin φ= 5 .

题型一 例1

求三角函数的定义域和最值 πx π? (1)函数 y=2sin? ? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ( )

A.2- 3

B .0

C.-1

D.-1- 3

1 (2)函数 y= 的定义域为______________________. tan x-1 思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴;求函数最值或值域时要利用图像、三角变 换、二次函数等知识. π π 答案 (1)A (2){x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z} 4 2 π π π 7π 解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值. ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6 π π? ? 3 ? ∴sin? ?6x-3?∈?- 2 ,1?. ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. π

tan x-1≠0 ? ?x≠4+kπ,k∈Z ? (2)要使函数有意义,必须有? π ,即? π ?x≠2+kπ,k∈Z ? ?x≠2+kπ,k∈Z. π π 故函数的定义域为{x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ,k∈Z}. 4 2 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或三角函数图像 来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最值);

③形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求 值域(最值). (1)函数 y=lg(sin x)+ (2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为 A.[-1,1] 5 B.[- ,-1] 4 5 C.[- ,1] 4 5 D.[-1, ] 4 1 cos x- 的定义域为________. 2 ( )

π 答案 (1){x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z} (2)C 3 sin x>0, ? ? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 ? ?cos x-2≥0, sin x>0, 2kπ<x<π+2kπ, ? ? ? ? 即? 解得? π (k∈Z), 1 π cos x≥ , - +2kπ≤x≤ +2kπ ? ? 2 3 ? ? 3 π π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, ∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z}. 3 3 (2)y=sin2x+sin x-1,令 t=sin x,则有 y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图像如图所示,从图像可 1 5 以看出,当 t=- 及 t=1 时,函数取最值,代入 y=t2+t-1,可得 y∈[- ,1]. 2 4 题型二 例2 三角函数的单调性、周期性 写出下列函数的单调区间及周期: π? (1)y=sin? ?-2x+3?;(2)y=|tan x|. π 2x- ?,再求单调区间及周期.(2)由 y=tan x 的图像→y=|tan x|的图像→ 思维启迪 (1)化为 y=-sin? 3? ? 求单调性及周期. 解 π 2x- ?, (1)y=-sin? 3? ?

π π 2x- ?的减区间,它的减区间是 y=sin?2x- ?的增区间. 它的增区间是 y=sin? 3? 3? ? ? π π π π 5π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 π π 3π 5π 11π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 3 2 12 12 π 5π 5π 11π kπ- ,kπ+ ?,k∈Z;增区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. 故所给函数的减区间为? 12 12? 12 12 ? ? ? 2π 最小正周期 T= =π. 2 π π kπ,kπ+ ?,k∈Z,减区间是?kπ- ,kπ?,k∈Z. (2)观察图像可知,y=|tan x|的增区间是? 2? 2 ? ? ? 最小正周期 T=π. 思维升华 (1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为

一个整体,通过解不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性 弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则, 将解析式先化简, 并注意复合函数单调性规律“同增异减”. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图像,结合图像判定. π π +4x?+cos?4x- ?的周期、单调区间及最大、最小值. 求函数 y=sin? 6? ?3 ? ? 解 π π π π π π π π +4x?+? -4x?= ,∴cos?4x- ?=cos? -4x?=cos? -?3+4x??=sin? +4x?. ∵? 6? ?? ?3 ? ?6 ? 2 ? ?6 ? ?3 ? ?2 ?

π? 2π π ∴y=2sin? ?4x+3?,周期 T= 4 =2. 5π kπ π kπ? π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递增,∴函数的递增区间为? ?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z). 2 3 2 π kπ 7π kπ? π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减,∴函数的递减区间为? ?24+ 2 ,24+ 2 ?(k∈Z). 2 3 2 π kπ 5π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2;当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2 24 2 题型三 例3 三角函数的奇偶性和对称性 π? (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) ? ?|φ|≤2?的图像关于直线 x=0 对称,则 φ 的值 为________. 4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点? ? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 )

π 答案 (1) (2)A 6

π? ? π ? 解析 (1)f(x)=2sin? ?x+3?,y=f(x+φ)=2sin?x+3+φ?图像关于 x=0 对称,

π π π π π 即 f(x+φ)为偶函数.∴ +φ= +kπ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z,又∵|φ|≤ ,∴φ= . 3 2 6 2 6 4π 2π π ? ?2π ? ?2π ? (2)由题意得 3cos? ?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π?=3cos? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, π π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 . 6 6 思维升华 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ωx+φ=kπ (k∈Z)即可. (1)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图像的一个对称中心为( ) π A.(- ,0) 8 B.(0,0) 1 C.(- ,0) 8 1 D.( ,0) 8

π π π (2)设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图像关于直线 x= 2 2 12

π π 对称,则在下面四个结论:①图像关于点( ,0)对称;②图像关于点( ,0)对称;③在[0, 4 3 π π ]上是增函数;④在[- ,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 6 6 答案 (1)C (2)②④ 解析 π 2π (1)由条件得 f(x)= 2sin(ax+ ), 又函数的最小正周期为 1,故 =1, 4 a

π 1 ∴a=2π, 故 f(x)= 2sin(2πx+ ). 将 x=- 代入得函数值为 0. 4 8 (2)∵T=π,∴ω=2. 又 2× π π π +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ (k∈Z). 12 2 3

π π π π ∵φ∈(- , ),∴φ= ,∴y=sin(2x+ ), 2 2 3 3 由图像及性质可知②④正确.

三角函数的单调性、对称性 π π 典例:(20 分)(1)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,则 ω 的取值范围是( 4 2 1 5 A.[ , ] 2 4 1 3 B .[ , ] 2 4 1 C.(0, ] 2 D.(0,2] )

π π (2)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成立,且 f( )=1,则实数 b 的值为( ) 4 8 A.-1 B .3 C.-1 或 3 D.-3

π 5π (3)已知 ω>0,0<φ<π,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ 等于( ) 4 4 π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4

π π 2π (4)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小到-1,那么此函数 2 6 3 图像与 y 轴交点的纵坐标为 1 A. 2 思维启迪 B. 2 2 C. 3 2 D. ( 6+ 2 4 )

π (1)( ,π)为函数 f(x)某个单调减区间的子集; 2

π (2)由 f(x+ )=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴处的性质求解即可; 4 T (3)f(x)=sin(ωx+φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是 ;(4)可结合图像分析函数的单调性,周期性确 2 π π π π π π π π π 3π 定 ω,φ. 解析 (1)由 <x<π 得 ω+ <ωx+ <πω+ , 由题意知( ω+ ,πω+ )?[ , ], 2 2 4 4 4 2 4 4 2 2

?2ω+4≥2, ∴? π 3π ?πω+4≤ 2

π

π π

1 5 ,∴ ≤ω≤ ,故选 A. 2 4

π π (2)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于直线 x= 对称, 又函数 f(x)在对称轴处取得最 4 8 值,故± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3. 5π π? 2π (3)利用三角函数的对称轴求得周期. 由题意得周期 T=2? ? 4 -4?=2π,∴2π= ω ,即 ω=1,∴f(x) π? ?π ? 1,∵0<φ<π,∴π<φ+π<5π,∴φ+π=π,∴φ=π. =sin(x+φ), ∴f? ?4?=sin?4+φ?=± 4 4 4 4 2 4 π 2π (4)函数 y=sin(ωx+φ)的最大值为 1,最小值为-1, 由该函数在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 6 3 2π π π 2π 2π 减小到-1,可知 - = 为半周期,则周期为 π,ω= = =2,此时原函数式为 y=sin(2x+φ),又由 3 6 2 T π π π π 1 函数 y=sin(ωx+φ)的图像过点( ,1),代入可得 φ= ,因此函数为 y=sin(2x+ ),令 x=0,可得 y= . 6 6 6 2 答案 (1)A (2)C (3)A (4)A 温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题, 首先, 明确已知的单调区间

应为函数的单调区间的子集; 其次, 要确定已知函数的单调区间, 从而利用它们之间的关系可求解. (2) 函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图像与其对称轴的交点是最值点.

方法与技巧 1. 讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2π π 2. 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| 3. 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ωx+φ,将其转 化为研究 y=sin t 的性质. 失误与防范 1. 闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最 值的影响. 2. 要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω>0 时情况.

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题 π 1. 下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的是 2 π A.y=sin(x+ ) 4 π B.y=cos(x+ ) 4 C.y=sin 2x D.y=cos 2x ( )

答案 D

π 解析 对于函数 y=cos 2x,T=π, 当 x∈[0, ]时,2x∈[0,π],y=cos 2x 是减函数. 2 ( C.[-1,1] D.?- ) 3 3? , 2 2?

π? 2.函数 f(x)=sin x-cos? ?x+6?的值域为 A.[-2,2] B.[- 3, 3]

?

π x+ ? 答案 B 解析 将函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式后求解. ∵f(x)=sin x-cos? ? 6? π π 3 1 3 1 =sin x-cos xcos +sin xsin =sin x- cos x+ sin x= 3? sin x- cos x? 6 6 2 2 2 ?2 ? π? = 3sin? ?x-6?(x∈R), ∴f(x)的值域为[- 3, 3]. π 3.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ= ”的 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 ( )

D.既不充分也不必要条件

π? π π 答案 B 解析 φ= ?f(x)=Acos? ?ωx+2?=-Asin ωx 为奇函数,∴“f(x)是奇函数”是“φ=2”的 2 π π 必要条件.又 f(x)=Acos(ωx+φ)是奇函数?f(0)=0?φ= +kπ(k∈Z)D/?φ= . 2 2 π ∴“f(x)是奇函数”不是“φ= ”的充分条件. 2 4. 函数 y=cos 2x+sin2x,x∈R 的值域是 A.[0,1] 答案 A 解析 1 B.[ ,1] 2 C.[-1,2] D.[0,2] ( )

1-cos 2x 1+cos 2x y=cos 2x+sin2x=cos 2x+ = .∵cos 2x∈[-1,1],∴y∈[0,1]. 2 2

3π ? π 5.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图像向右平移 个单位长度,所得图像经过点? ? 4 ,0?,则 ω 的最小值 4 是 1 A. 3 B .1 5 C. 3 D.2 ( )

π? 答案 D 解析 根据题意平移后函数的解析式为 y=sin ω? ?x-4?, 3π ? ωπ 将? ? 4 ,0?代入得 sin 2 =0,则 ω=2k,k∈Z,且 ω>0, 故 ω 的最小值为 2. 二、填空题 π 6. 函数 y=cos( -2x)的单调减区间为________. 4 π 5π 答案 [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) 8 8 π π 解析 由 y=cos( -2x)=cos(2x- )得 4 4

π π 5π 2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z), 故 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 4 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 8 8

1 7. 函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的最大值为________. 2 答案 4 13π 5π 4π π 解析 由正弦函数的图像知(b-a)max= - = . 3 6 6 3

π π 8. 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图像如图,则 f( )=________. 2 24 答案 3π π π 3 解析 由题中图像可知, 此正切函数的半周期等于 - = , 即最小 8 8 4

π 3π 3π 正周期为 , 所以 ω=2.由题意可知,图像过定点( ,0), 所以 0=Atan(2× +φ), 2 8 8 即 3π 3π π π +φ=kπ(k∈Z), 所以 φ=kπ- (k∈Z),又|φ|< ,所以 φ= . 4 4 2 4

π 又图像过定点(0,1),所以 A=1. 综上可知,f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π 故有 f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 三、解答题 π 9. 设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π π π 3π (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z,∴φ=kπ+ ,k∈Z, 又-π<φ<0,则 φ=- . 8 2 4 4

3π? π 3π π (2)由(1)得:f(x)=sin? ?2x- 4 ?,令-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π π 5π +kπ, +kπ?,k∈Z. 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,因此 y=f(x)的单调增区间为? 8 8 ? ? 8 8 πx π πx 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos2 +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值. 3 解 (1)f(x)=sin πx π πx π πx 3 πx 3 πx πx π cos -cos sin -cos = sin - cos = 3sin( - ), 4 6 4 6 4 2 4 2 4 4 3

2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4 (2)方法一 在 y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). π π 由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图像上,从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[ (2-x)- ] 4 3 π πx π πx π = 3sin[ - - ]= 3cos( + ). 2 4 3 4 3 4 π πx π 2π 4 π 3 当 0≤x≤ 时, ≤ + ≤ ,因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 g(x)max= 3cos = . 3 3 4 3 3 3 3 2

4 2 方法二 区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2],且 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称, 3 3 4 2 πx π 故 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 y=f(x)在[ ,2]上的最大值.由(1)知 f(x)= 3sin( - ), 3 3 4 3 2 π πx π π 4 π 3 当 ≤x≤2 时,- ≤ - ≤ .因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 g(x)max= 3sin = . 3 6 4 3 6 3 6 2 B组 专项能力提升

(时间:30 分钟) 1. 函数 y= |sin x+cos x|-1的定义域是 ( )

π π π π A.[kπ,kπ+ ](k∈Z) B.[2kπ,2kπ+ ](k∈Z) C.[- +kπ,kπ](k∈Z) D.[- +2kπ,2kπ](k∈Z) 2 2 2 2 答案 A 解析 |sin x+cos x|-1≥0?(sin x+cos x)2≥1 ?sin 2x≥0,∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z,

π 故原函数的定义域是[kπ,kπ+ ](k∈Z). 2 π π 2. 设函数 f(x)=3sin( x+ ),若存在这样的实数 x1,x2,对任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则 2 4 |x1-x2|的最小值为________. π π 2 答案 2 解析 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π× =4,f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大 2 4 π T 值,故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 3. 已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2;②f(x)的最小正周期是 2π; π π 3π ③f(x)在区间[- , ]上是增函数;④f(x)的图像关于直线 x= 对称. 4 4 4 其中真命题是________. 答案 ③④ 解析 1 π f(x)= sin 2x,当 x1=0,x2= 时,f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故①是假命题; 2 2

π π π π f(x)的最小正周期为 π,故②是假命题;当 x∈[- , ]时,2x∈[- , ],故③是真命题; 4 4 2 2 3π 1 3 1 3 因为 f( )= sin π=- ,故 f(x)的图像关于直线 x= π 对称,故④是真命题. 4 2 2 2 4 4. 已知函数 f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1. π π (1)当 x∈[ , ]时,求 f(x)的最大值和最小值; 4 2 (2)求 f(x)的单调区间. 解 π π π π π π 2π (1)f(x)=sin 2x- 3cos 2x+1=2sin(2x- )+1.,∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x≤π,∴ ≤2x- ≤ , 3 4 2 2 6 3 3

1 π π π ∴ ≤sin(2x- )≤1,∴1≤2sin(2x- )≤2,于是 2≤2sin(2x- )+1≤3, 2 3 3 3 ∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2.

π π π π 5π (2)由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z。得 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 6 6 π 5π π 5π ∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,即 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z, 12 12 12 12 π π 3π 5π 11π 同理由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z。得 f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 2 3 2 12 12 π? ? π? 5. 已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 解 π? π? ? 1 ? π ?π 7π? ? (1)∵x∈? ?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. ,∴sin?2x+6?∈?-2,1?,

π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? 7π? ? π? ? (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ?2x+6?-1,g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 π? π? π? 1 ? ? =4sin? ?2x+6?-1,又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1,∴4sin?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, π π 5π π π π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z,其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 6 6 6 2 π π kπ,kπ+ ?,k∈Z. g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z,∴g(x)的单调增区间为? 6? ? 6 π π 5π π π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 2 6 6 6 3 π π kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z. ∴g(x)的单调减区间为? 6 3? ?


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