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夏银川市唐徕回民中学2015-2016学年宁高一上学期10月月考数学试卷 Word版含解析


夏银川市唐徕回民中学 2015-2016 学年宁高一(上)10 月月考数 学试卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则集合 M∪(?UN) =( ) A.{5} B.{0,3} C.{0,2

,3,5} D.{0,1,3,4,5} 2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A.y=1,y= C.y= × B.y=x,y= ,y= D.y=|x|, )

3.下列等式中,根式与分数指数幂的互化正确的是( A. C. (x>0) B. D.



4.已知函数

,则

=(



A.

B.2

C.

D.

5.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=3﹣x
x



B.y=x +1

2

C.

D.y=﹣|x|

6.函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a=( A. B.2 C.4 D.
x



7.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) ,则 f(﹣1)= ( ) A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3 8.已知 0<a<1,b<﹣1,则函数 y=a +b 的图象必定不经过(
x



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞) ( x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f (x2)﹣f(x1) )>0,则( ) A.f(3)<f(﹣2)<f(1) B.f(1)<f(﹣2)<f(3) C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(﹣2) 10.若函数 y=x ﹣4x﹣2 的定义域为[0,m],值域为[﹣6,﹣2],则 m 的取值范围是( A. (0,2] B. (0,4] C.[2,4] D. (2,4)
2 2



11. 若函数 f (x) =x +bx+c 对任意 x∈R 都有 f (x﹣1) =f (3﹣x) , 则以下结论中正确的是 ( ) A.f(0)<f(﹣2)<f(5) B.f(﹣2)<f(5)<f(0) C.f(﹣2)<f(0)<f(5) D.f(0)<f(5)<f(﹣2) 12.函数 f(x)=ax+ (1﹣x) ,其中 a>0,记 f(x)在区间[0,1]上的最大值为 g(a) ,则 函数 g(a)的最小值为( A. B.0 C.1 ) D.2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 A={1,3,a},B={1,a ﹣a+1}且 B?A,则 a= 14.f(x)= 的定义域是 .
2



15.若函数 f(x)=kx +(k﹣1)x+2 是偶函数,则 f(x)的递减区间是

2



16.已知定义在 R 的奇函数 f(x) ,在[0,+∞)上单调递减,且 f(2﹣a)+f(1﹣a)<0, 则 a 的取值 .

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17.已知集合 A={x|﹣2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m﹣1}. (Ⅰ)若 m=5,求(?RA)∩B; (Ⅱ)若 B≠?且 A∪B=A,求 m 的取值范围. 18.化简求值: (1) (2)lg5 +
2

÷

(3)



19.已知函数



(1)证明函数具有奇偶性; (2)证明函数在[0,1]上是单调函数; (3)求函数在[﹣1,1]上的最值. 20.设函数 f(x)=x ﹣2|x|﹣1 (﹣3≤x≤3) , (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. 21.如图:A、B 两城相距 100km,某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站 D 给 A、B 两城供气.已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不得少于 10km.已知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天燃气 站 D 距 A 城的距离为 40km 时,建设费用为 1300 万元. (供气距离指天燃气站距到城市的距 离) (1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x (km)的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小.最小费用是多少?
2

22.已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R 且 a≠0) ,F(x)=

2



(1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 F(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)是偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于零.

2015-2016 学年宁夏银川市唐徕回民中学高一(上)10 月 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5},则集合 M∪(?UN) =( ) A.{5} B.{0,3} C.{0,2,3,5} D.{0,1,3,4,5} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】由全集 U 以及 N,求出 N 的补集,找出 M 与 N 补集的并集即可. 【解答】解:∵全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={l,4,5}, ∴?UN={0,2,3}, 则 M∪(?UN)={0,2,3,5}. 故选 C 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A.y=1,y= C.y= × B.y=x,y= ,y= D.y=|x|, )

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】对于 A,C,D 可通过求定义域可看出这几个选项的两函数不是同一函数,而对于 B 可化简得到 ,从而判断出这两个函数相同,即得出正确选项为 B. 的定义域为{x|x≠0},不是同一函数;

【解答】解:A.y=1 的定义域为 R, B. C. 不是同一函数; D.y=|x|的定义域为 R, ,∴为同一函数; 的定义域为[1,+∞) ,

的定义域为(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) ,

的定义域为[0,+∞) ,不是同一函数.

故选 B. 【点评】考查函数的三要素:定义域、值域,及对应法则,而由定义域和对应法则即可确定 一个函数,从而判断两函数是否为同一函数的方法为:看定义域和对应法则是否都相同.

3.下列等式中,根式与分数指数幂的互化正确的是( A. C. (x>0) B. D.



【考点】方根与根式及根式的化简运算. 【专题】计算题. 【分析】根式与分数指数幂的互化公式是 公式运算即可. 【解答】解:A 中,﹣ B 中, C中 = = =﹣ =﹣ (x>0) ,∴A 项错误; = ,负分数指数幂公式是 x =
﹣n

(x≠0) ,按

(y<0) ,∴B 项错误;

(x≠0) ,∴C 项错误;

D中

=

=

,∴D 项正确;

故选:D. 【点评】本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题,是基础题.

4.已知函数

,则

=(



A.

B.2

C.

D.

【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】根据 >0,先求出 f( )的值,再根据 f( )的值的正负选用合适的解析式,即可 求出 的值.

【解答】解:∵ >0, ∴f( )= ∴ 故选 A. =﹣1, =f(﹣1)=2 = .
﹣1

【点评】本题考查了分段函数的求值问题,对于分段函数的问题,一般选用数形结合和分类 讨论的数学思想方法进行处理.本题选用分类讨论的思想进行解题,同时考查了岁数和指数 的运算.属于基础题. 5.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=3﹣x B.y=x +1
2



C.

D.y=﹣|x|

【考点】函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题. 【分析】根据增函数的定义对 A、B、C、D 四个选项进行一一判断; 【解答】解:A、y=3﹣x=﹣x+3,是减函数,故 A 错误; B、∵y=x +1,y 为偶函数,图象开口向上,关于 y 轴对称,当 x>0,y 为增函数,故 B 正确; C、∵y= ,当 x>0,为减函数,故 C 错误; D、当 x>0,y=﹣|x|=﹣x,为减函数,故 D 错误; 故选 B. 【点评】此题主要考查函数的单调性的判断与证明,此题考查的函数都比较简单,是一道基 础题. 6.函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a=( A. B.2 C.4 D.
x 2



【考点】指数函数单调性的应用. 【专题】压轴题. 【分析】由 y=a 的单调性,可得其在 x=0 和 1 时,取得最值,即 a +a =3,又有 a =1,可得 1 a =2,解即可得到答案. x 【解答】解:根据题意,由 y=a 的单调性, 可知其在[0,1]上是单调函数,即当 x=0 和 1 时,取得最值, 0 1 即 a +a =3, 0 再根据其图象,可得 a =1, 1 则 a =2, 即 a=2, 故选 B. 【点评】本题考查指数函数的单调性以及其图象的特殊点,难度不大,要求学生能熟练运用 这些性质. 7.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) ,则 f(﹣1)= ( ) A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】据函数为奇函数知 f(0)=0,代入函数的解析式求出 b,求出 f(1)的值,利用函数 为奇函数,求出 f(﹣1) . 【解答】解:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,
x x 0 1 0

所以 f(0)=2 +2×0+b=0, 解得 b=﹣1, 所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1, 又因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 1 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2 +2×1﹣1)=﹣3, 故选 D. 【点评】解决奇函数的问题,常利用函数若在 x=0 处有意义,其函数值为 0 找关系. 8.已知 0<a<1,b<﹣1,则函数 y=a +b 的图象必定不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】指数函数的图像变换. 【专题】计算题;函数的性质及应用.
x x x x

0



【分析】先考查 y=a 的图象特征,f(x) =a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b(﹣ x b>1)个单位得到的,即可得到 f(x)=a +b 的图象特征. 【解答】解:∵0<a<1,b<﹣1, x ∴y=a 的图象过第一、第二象限,且是单调减函数,经过(0,1) , x x f(x)=a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b(﹣b>1)个单位得到的, x 故函数 f(x)=a +b 的图象 经过第二、第三、第四象限,不经过第一象限, 故选:A. 【点评】本题考查函数图象的变换,指数函数的图象特征,体现了转化的数学思想. 9.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞) ( x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f (x2)﹣f(x1) )>0,则( ) A.f(3)<f(﹣2)<f(1) B.f(1)<f(﹣2)<f(3) C.f(﹣2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(﹣2) 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】先确定函数在 R 上单调递增,再利用﹣2<1<3,即可得到结论. 【解答】解:∵x1,x2∈[0,+∞) ( x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) )>0, ∴函数在[0,+∞)上单调递增, ∵函数是奇函数,∴函数在 R 上单调递增, ∵﹣2<1<3, ∴f(﹣2)<f(1)<f(3) . 故选:C. 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性,考查学生的计算能力,确定函数在 R 上单调递增 是关键. 10.若函数 y=x ﹣4x﹣2 的定义域为[0,m],值域为[﹣6,﹣2],则 m 的取值范围是( ) A. (0,2] B. (0,4] C.[2,4] D. (2,4) 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题. 2 【分析】由已知函数的解析式,我们可以判断出函数图象的形状及最值,根据函数 y=x ﹣4x ﹣2 的定义域为[0,m],值域为[﹣6,﹣2],易结合二次函数的图象和性质得到答案.
2

x

【解答】解:∵函数 y=x ﹣4x﹣2 的图象是开口方向朝上,以直线 x=2 为对称轴的抛物线; 且 f(0)=f(4)=﹣2,f(2)=﹣6 若定义域为[0,m],值域为[﹣6,﹣2], 则 2≤m≤4 故选 C 【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据已知条件确定二次函数的图象和性 质,是解答本题的关键. 11. 若函数 f (x) =x +bx+c 对任意 x∈R 都有 f (x﹣1) =f (3﹣x) , 则以下结论中正确的是 ( ) A.f(0)<f(﹣2)<f(5) B.f(﹣2)<f(5)<f(0) C.f(﹣2)<f(0)<f(5) D.f(0)<f(5)<f(﹣2) 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 2 【分析】由已知函数 f(x)=x +bx+c 对任意 x∈R 都有 f(x﹣1)=f(3﹣x) ,可得此函数关于 直线 x=1 得出,再利用单调性即可得出答案. 2 【解答】解:∵函数 f(x)=x +bx+c 对任意 x∈R 都有 f(x﹣1)=f(3﹣x) ,令 x﹣1=t+1,则 x=t+2, ∴f(t+1)=f(1﹣t) ,∴函数 f(x)关于直线 x=1 对称. ∴f(0)=f(2) ,f(﹣2)=f(4) , 2 ∵二次项的系数=1>0,即二次函数 f(x)=x +bx+c 的图象抛物线开口向上, ∴当 x>1 时,f(x)单调递增, ∴f(2)<f(4)<f(5) , ∴f(0)<f(﹣2)<f(5) . 故选 A. 【点评】充分利用二次函数的对称性和单调性是解题的关键. 12.函数 f(x)=ax+ (1﹣x) ,其中 a>0,记 f(x)在区间[0,1]上的最大值为 g(a) ,则 函数 g(a)的最小值为( A. B.0 C.1 ) D.2
2

2

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】把函数变形为 f(x) )=(a﹣ )x+ ,分三种情况:a>1;a=1;0<a<1 进行讨论, 由一次函数单调性即可求得 g(a) ,据 g(a)特征可求其最小值. 【解答】解:f(x)=(a﹣ )x+ , (1)当 a>1 时,a> ,f(x)是增函数, ∴f(x)在[0,1]的最大值为 f(1)=a,∴g(a)=a; (2)当 a=1 时,f(x)=1,∴g(a)=1; (3)当 0<a<1 时,a﹣ <0,f(x)是减函数,

f(x)在[0,1]上的最大值为 f(0)= ,∴g(a)= ,

所以 g(a)=



因此 g(a)最小值为 1, 故选 C. 【点评】本题考查分段函数最值的求法,考查分类讨论思想,属中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知集合 A={1,3,a},B={1,a ﹣a+1}且 B?A,则 a= ﹣1 或 2 . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 2 2 【分析】根据题意,分析可得:若 B?A,必有 a ﹣a+1=3 或 a ﹣a+1=a,分 2 种情况讨论可得 答案. 【解答】解:∵B?A,∴a ﹣a+1=3 或 a ﹣a+1=a. 2 2 ①由 a ﹣a+1=3 得 a ﹣a﹣2=0 解得 a=﹣1 或 a=2. 当 a=﹣1 时,A={1,3,﹣1},B={1,3},满足 B?A, 当 a=2 时,A={1,3,2},B={1,3},满足 B?A. ②由 a ﹣a+1=a 得 a ﹣2a+1=0,解得 a=1, 当 a=1 时,A={1,3,1}不满足集合元素的互异性, 综上,若 B?A,则 a=﹣1 或 a=2; 答案为﹣1 或 2. 【点评】本题考查集合间包含关系的运用,注意分情况讨论时,不要漏掉情况. 14.f(x)= 的定义域是 (﹣∞,0)∪(0,1] .
2 2 2 2 2

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,分式的分母不为 0,联立不等式组得答案. 【解答】解:要使原函数有意义,则 ,

解得:x≤1 且 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域为: (﹣∞,0)∪(0,1]. 故答案为: (﹣∞,0)∪(0,1]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题. 15.若函数 f(x)=kx +(k﹣1)x+2 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 (﹣∞,0] . 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据偶函数的性质求出 k 值,再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间. 【解答】解:因为 f(x)为偶函数,所以 f(﹣x)=f(x) .
2

即 kx ﹣(k﹣1)x+2=kx +(k﹣1)x+2, 所以 2(k﹣1)x=0,所以 k=1. 则 f(x)=x +2,其递减区间为(﹣∞,0]. 故答案为: (﹣∞,0]. 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性,属基础题. 16.已知定义在 R 的奇函数 f(x) ,在[0,+∞)上单调递减,且 f(2﹣a)+f(1﹣a)<0, 则 a 的取值 (﹣∞, ) .
2

2

2

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题. 【分析】已知函数为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x) ,而 f(2﹣a)+f(1﹣a)<0 得到 f(2 ﹣a)<﹣f(1﹣a)=f(a﹣1) ,根据函数的单调递减可知,2﹣a>a﹣1,求出解集即可. 【解答】解:由函数为奇函数及 f(2﹣a)+f(1﹣a)<0,可得 f(2﹣a)<﹣f(1﹣a)=f(a ﹣1) ∵f(x)在 R 的奇函数 f(x) ,在[0,+∞)上单调递减, 由奇函数的对称性可知,f(x)在 R 上单调递减 根据函数单调递减可知 2﹣a>a﹣1,解得 a< 故答案为(﹣∞, ) 【点评】本土主要考查了函数的奇偶性、单调性在解决抽象不等式中的应用,灵活应用函数 知识是解答本题的关键 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17.已知集合 A={x|﹣2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m﹣1}. (Ⅰ)若 m=5,求(?RA)∩B; (Ⅱ)若 B≠?且 A∪B=A,求 m 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;并集及其运算. 【专题】集合. 【分析】对于(Ⅰ) ,将 m=5 代入求出 B,然后根据集合运算法则求即可. 对于(Ⅱ) ,同样根据集合的运算法则运算即可. 【解答】解:∵A={x|﹣2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m﹣1}. (Ⅰ)若 m=5,则 B={x|m+1<x<2m﹣1}=(6,9) ,∴(?RA)∩B=(7,9) (Ⅱ)若 B≠?且 A∪B=A? ? ?2<m≤4

故 m 的取值范围是(2,4]. 【点评】本题考查集合的运算,属于基础题. 18.化简求值: (1) ÷

(2)lg5 +

2

(3)



【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用. 【分析】根据指数幂和对数的运算性质即可求出. 【解答】解: (1)原式= ÷
2

=

÷

=a÷a=1

(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(1+lg2)+(lg2) =2(lg2+lg5)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=3, (3)原式= ﹣1+ + ? =10﹣1+8+72=89.

【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质,属于基础题. 19.已知函数 .

(1)证明函数具有奇偶性; (2)证明函数在[0,1]上是单调函数; (3)求函数在[﹣1,1]上的最值. 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】 (1)先看定义域是否关于原点对称,再利用对数的运算性质,看 f(﹣x)与 f(x) 的关系,依据奇函数、偶函数的定义进行判断. (2) 要求是用定义, 先在给定的区间上任取两个变量, 且界定其大小, 然后作差变形看符号. ; (3)由(1) (2)可知 f(x)在[﹣1,1]上为增函数,从而求得 f(x)在[﹣1,1]上的最大值 和最小值. 【解答】 解: (1) 由题意, 对任意设 x∈R 都有 故 f(x)在 R 上为奇函数; (3 分) (2)任取 x1,x2∈[0,1]且 x1<x2, 则 ∵x1,x2∈[0,1]且 x1<x2, , ,

故在[0,1]上为增函数; (7 分) (3)由(1) (2)可知 f(x)在[﹣1,1]上为增函数, 故 f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 ,最小值为 . (10 分)

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断、研究奇偶性等问题,要注意变形处理和函数单调 性奇偶性定义的应用 20.设函数 f(x)=x ﹣2|x|﹣1 (﹣3≤x≤3) , (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. 【考点】二次函数的图象;函数单调性的判断与证明;偶函数;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;数形结合;分类讨论. 【分析】 (1)由﹣3≤x≤3 得到函数的定义域关于原点对称,求出 f(﹣x)化简得到与 f(x)相 等得证; (2)讨论 x 的取值分别得到 f(x)的解析式,画出函数图象即可; (3)在函数图象上得到函数的单调区间,分别指出增减函数区间即可; (4)分区间[﹣3,0)和(0,3]上分别利用二次函数求最值的方法得到函数的最值即可得到 函数的值域. 【解答】解: : (1)证明∵x∈[﹣3,3], ∴f(x)的定义域关于原点对称. 2 f(﹣x)=(﹣x) ﹣2|﹣x|﹣1 2 =x ﹣2|x|﹣1=f(x) , 即 f(﹣x)=f(x) , ∴f(x)是偶函数. (2)当 x≥0 时,f(x)=x ﹣2x﹣1=(x﹣1) ﹣2, 2 2 当 x<0 时,f(x)=x +2x﹣1=(x+1) ﹣2, 即 f(x)= 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图. (3)函数 f(x)的单调区间为[﹣3,﹣1) ,[﹣1,0) ,[0,1) ,[1,3]. f(x)在区间[﹣3,﹣1)和[0,1)上为减函数,在[﹣1,0) ,[1,3]上为增函数. 2 (4)当 x≥0 时,函数 f(x)=(x﹣1) ﹣2 的最小值为﹣2,最大值为 f(3)=2; 2 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1) ﹣2 的最小值为﹣2,最大值为 f(﹣3)=2.故函数 f(x) 的值域为[﹣2,2].
2 2 2

【点评】考查学生会利用数形结合的数学思想解决实际问题,会证明函数的奇偶性,会根据 图象得出函数的单调区间,会求函数的值域. 21.如图:A、B 两城相距 100km,某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站 D 给 A、B 两城供气.已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不得少于

10km.已知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天燃气 站 D 距 A 城的距离为 40km 时,建设费用为 1300 万元. (供气距离指天燃气站距到城市的距 离) (1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x (km)的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小.最小费用是多少?

【考点】函数模型的选择与应用;二次函数的性质. 【专题】应用题. 【分析】 (1)根据建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比,假 2 2 设函数 y=k[x +(100﹣x) ],利用当天燃气站 D 距 A 城的距离为 40km 时,建设费用为 1300 万元,确定比例系数,根据天燃气站距两城市的距离均不得少于 10km,确定函数的定义域; (2)利用配方法,结合函数的定义域,可求建设供气费用最小. 2 2 【解答】解: (1)设比例系数为 k,则 y=k[x +(100﹣x) ](10≤x≤90) .…(3 分) (不写定义域扣 1 分) 又 x=40,y=1300,所以 1300=k(40 +60 ) ,即 所以 (2)由于
2 2

,…(5 分) (10≤x≤90) .…(7 分) ,…(10 分)

所以当 x=50 时,y 有最小值为 1250 万元.…(11 分) 所以当供气站建在距 A 城 50km,电费用最小值 1250 万元.…(12 分) 【点评】本题考查的重点是建立函数的模型,考查配方法求函数的最值,应注意函数的定义 域,属于基础题.

22.已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R 且 a≠0) ,F(x)=

2



(1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 F(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[﹣2,2]时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)是偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于零. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用 f(﹣1)=0 和函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,建立方程关系,即可求出 a, b,从而确定 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[﹣2,2]时,利用 g(x)=f(x)﹣kx 的单调区间与对称轴之间 的关系建立不等式进行求解即可. (3)利用 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)是偶函数,得到 b=0,然后判断 F(m)+F(n) 的取值. 【解答】解: (1)∵f(﹣1)=0, ∴a﹣b+1=0,① ∵函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,

∴a>0 且判别式△ =0,即 b ﹣4a=0,② 由①②得 a=1,b=2. ∴f(x)=ax +bx+1=x +2x+1. ∴F(x)=
2 2 2

2



(2)g(x)=f(x)﹣kx=x +(2﹣k)x+1, 函数的对称轴为 x= ,

要使函数 g(x)=f(x)﹣kx,在 x∈[﹣2,2]上是单调函数, 则区间[﹣2,2]必在对称轴的一侧, 即 或 ,

解得 k≥6 或 k≤﹣2. 即实数 k 的取值范围是 k≥6 或 k≤﹣2. (3)∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) , 即 ax ﹣bx+1=ax +bx+1, ∴2bx=0,解得 b=0. 2 ∴f(x)=ax +1. ∴F(x)= .
2 2

∵mn<0,m+n>0,a>0, 不妨设 m>n,则 m>0,n<0, ∴F(m)+F(n)=am +1﹣an ﹣1=a(m ﹣n )=a(m﹣n) (m+n) , ∵m+n>0,a>0,m﹣n>0, ∴F(m)+F(n)=a(m﹣n) (m+n)>0. 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质,以及二次函数单调性与对称轴之间的关系.要 求熟练掌握二次函数的相关知识.
2 2 2 2


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