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新疆生产建设兵团一中2016届高三上学期第一次月考数学试题(文科)


2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高三(上)第一次月考数学 试卷(文科)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩?RB=( A. (1,2] B.[2,4) C. (2,4) D. (1,4) )

2.函数 f(x)=

+lg(3x+1)

的定义域是(



A. (﹣ ,+∞) B. (﹣ ,1)
2

C. (﹣ , )
2

D. (﹣∞,﹣ )

3.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数



的零点一定位于区间(



A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)

5.已知 a=

,b=log2 ,c=log

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 6. 函数 f (x) 的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与 y=e 关于 y 轴对称, 则f (x) = ( ﹣x+1 ﹣x﹣1 x+1 x﹣1 A.e B.e C.e D.e
x



7.设函数

,则下列结论错误的是(



A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数

8.设 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围是(



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2]

D.[0,2]

9.已知 是( ) B. (1,3) C.[

是(﹣∞,+∞)上的增函数,则 a 的取值范围

A. (1,+∞)

) D. (1, )
2

10.若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x ,函数 g(x)= ( ) A.6 B.7 ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为

C.8

D.9
x

11.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣x}(x≥0) , 则 f(x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.若 a>l,设函数 f(x)=a +x﹣4 的零点为 m,函数 g(x)=logax+x﹣4 的零点为 n,则 的最小值为( A.1 B.2 ) C.4
x

D.8

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 f(x)= +1,且 f(a)=3 则 f(﹣a)的值为 .

14.A={x|x ﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0},若 A∩B=B,求实数 a 组的集合的子集有多少 个? . 15.已知函数 f(x)=e 范围是 .
|x﹣a|

2

(a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值

16.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为 单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: 2 ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; x ②指数函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f(x)为单函数,则函数 f(x)在定义域上具有单调性. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号)

三、解答题: (请写出必要的文字说明和解题步骤,共 70 分) 17. (10 分) (2011 秋?蚌埠校级期中)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p ﹣1},若 B?A,求实数 p 的取值范围. 18. (12 分) (2015 春?银川校级期末)命题 p 方程:x +mx+1=0 有两个不等的实根,命题 q: 2 方程 4x +4(m+2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. 19. (12 分) (2013?福建)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 20. (12 分) (2010?广州校级模拟) 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 a, b, 当 a+b≠0, 都有 >0
x x x 2 2

(1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对 x∈[﹣1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围. 21. (12 分) (2010?天心区校级模拟)张家界某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造 升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10) 万元之间满足:y=f(x)=ax +
2

x﹣bln

,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;

当 x=20 万元时,y=35.7 万元. (参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6) (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值. (利润=旅游增加值﹣投入) 22. (12 分) (2009?辽宁)已知函数 f(x)= x ﹣ax+(a﹣1)lnx,a>1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+∞) ,x1≠x2,有 .
2

2015-2016 学年新疆生产建设兵团一中高三(上)第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩?RB=( A. (1,2] B.[2,4) C. (2,4) D. (1,4)



【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】求出集合 A 中其他不等式的解集,确定出 A,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交 集即可. 【解答】解:集合 A 中的不等式变形得:log41<log4x<log44, 解得:1<x<4,即 A=(1,4) , ∵B=(﹣∞,2], ∴?RB=(2,+∞) , 则 A∩?RB=(2,4) . 故选 C 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.函数 f(x)=

+lg(3x+1)的定义域是(



A. (﹣ ,+∞) B. (﹣ ,1)

C. (﹣ , )

D. (﹣∞,﹣ )

【考点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】依题意可知要使函数有意义需要 1﹣x>0 且 3x+1>0,进而可求得 x 的范围. 【解答】解:要使函数有意义需 ,

解得﹣ <x<1. 故选 B. 【点评】本题主要考查了对数函数的定义域.属基础题. 3.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 2 2 2 2 【分析】由“x≥2 且 y≥2”推出“x +y ≥4”可证明充分性;由满足“x +y ≥4”可举出反例推翻“x≥2 且 y≥2”,则证明不必要性,综合可得答案. 【解答】解:若 x≥2 且 y≥2,则 x ≥4,y ≥4,所以 x +y ≥8,即 x +y ≥4; 2 2 若 x +y ≥4,则如(﹣2,﹣2)满足条件,但不满足 x≥2 且 y≥2. 2 2 所以“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的充分而不必要条件. 故选 A. 【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义.
2 2 2 2 2 2 2 2

4.函数

的零点一定位于区间(



A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先判断函数 f(x)在(0,+∞)上单调性,再找出满足 f(a)f(b)<0 的区间(a, b) . 【解答】解:∵函数 y= ,y= 在(0,+∞)上单调递增,

∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又 f(1)= ∴f(1)f(2)<0. ∴函数 的零点一定位于区间(1,2) . ﹣2<0,f(2)=log23﹣1>0.

故选 A. 【点评】本题考查了函数的单调性和函数的零点的判定定理,属于基础题.

5.已知 a=

,b=log2 ,c=log

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题;综合题. 【分析】利用指数式的运算性质得到 0<a<1,由对数的运算性质得到 b<0,c>1,则答案可 求. 【解答】解:∵0<a= b=log2 <log21=0, c=log =log23>log22=1, <2 =1,
0

∴c>a>b. 故选:C. 【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有 时借助于 0、1 这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题. 6. 函数 f (x) 的图象向右平移 1 个单位长度, 所得图象与 y=e 关于 y 轴对称, 则f (x) = ( ) ﹣x+1 ﹣x﹣1 x+1 x﹣1 A.e B.e C.e D.e 【考点】函数的图象与图象变化;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. x 【分析】根据题意得出 y=e ,关于 y 轴对称,再向左平移 1 个单位即可,运用规律求解得出 解析式. 【解答】解:y=e 关于 y 轴对称得出 y=e , ﹣x ﹣(x+1) ﹣x﹣1 把 y=e 的图象向左平移 1 个单位长度得出 y=e =e , ﹣x﹣1 ∴f(x)=e ,
x
﹣x

x

故选:D 【点评】本题考查了函数图象的对称,平移,运用规律的所求函数即可,难度不大,属于容 易题.

7.设函数

,则下列结论错误的是(



A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法. 【专题】证明题. 【分析】由函数值域的定义易知 A 结论正确;由函数单调性定义,易知 D 结论正确;由偶函 数定义可证明 B 结论正确;由函数周期性定义可判断 C 结论错误,故选 D 【解答】解:A 显然正确; ∵ ∴D(x)是偶函数, B 正确; ∵D(x+1)= =D(x) , =D(x) ,

∴T=1 为其一个周期, 故 C 错误; ∵D( )=0,D(2)=1,D( )=0, 显然函数 D(x)不是单调函数, 故 D 正确; 故选:C. 【点评】本题主要考查了函数的定义,偶函数的定义和判断方法,函数周期性的定义和判断 方法,函数单调性的意义,属基础题

8.设 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值范围是(



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2] D.[0,2] 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用基本不等式,先求出当 x>0 时的函数最值,然后结合一元二次函数的性质进行 讨论即可. 【解答】解:当 x>0 时,f(x)=x+ +a ,此时函数的最小值为 a+2,

若 a<0,则函数的最小值为 f(a)=0,此时 f(0)不是 f(x)的最小值,此时不满足条件, 2 若 a≥0,则要使 f(0)是 f(x)的最小值,则满足 f(0)=a ≤a+2,

即 a ﹣a﹣2≤0 解得﹣1≤a≤2, ∵a≥0,∴0≤a≤2, 故选:D 【点评】本题主要考查函数最值的求解,根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是 解决本题的关键.

2

9.已知 是( ) B. (1,3) C.[

是(﹣∞,+∞)上的增函数,则 a 的取值范围

A. (1,+∞)

) D. (1, )

【考点】函数单调性的性质. 【专题】分类法. 【分析】由 f(x)是增函数知 ,且(3﹣a)﹣a≤loga1,解出答案即可;

【解答】解:∵

是(﹣∞,+∞)上的增函数,



,∴3>a>0 且 a≠1;

当 3>a>1 时,有(3﹣a)x﹣a≤logax,代入 x=1,得(3﹣a)×1﹣a≤0, ∴a≥ ,即 3>a≥ ; 当 1>a>0 时,logax 是减函数,不合题意; 所以,a 的取值范围是:3>a≥ ; 故选:C. 【点评】本题考查了含参数的一次函数和对数函数的单调性问题,需要分类讨论,是基础题. 10.若函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=f(x﹣1) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=1﹣x ,函数 g(x)= ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为
2

( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件可得 f(x)是周期函数,T=2,h(x)=f(x)﹣g(x)=0,则 f(x)=g(x) , 在同一坐标系中作 y=f(x)和 y=g(x)图象,由图象可得结论. 【解答】解:由题意 f(1+x)=f(x﹣1)?f(x+2)=f(x) ,故 f(x)是周期函数,T=2,

令 h(x)=f(x)﹣g(x)=0,则 f(x)=g(x) ,在同一坐标系中作 y=f(x)和 y=g(x)图 象,如图所示:

故在区间[﹣5,5]内,函数 y=f(x)和 y=g(x)图象的交点有 8 个, 则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为 8. 故选 C. 【点评】本题考查函数零点的定义,体现了数形结合的数学思想,在同一坐标系中作 y=f(x) 和 y=g(x)图象,是解题的关键. 11.用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x)=min{2 ,x+2,10﹣x}(x≥0) , 则 f(x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】在同一坐标系内画出三个函数 y=10﹣x,y=x+2,y=2 的图象,以此作出函数 f(x) 图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值. 【解答】 解: 10﹣x 是减函数, x+2 是增函数, 2 是增函数, 令 x+2=10﹣x, x=4, 此时, x+2=10 ﹣x=6,如图:
x x x

y=x+2 与 y=2 交点是 A、B,y=x+2 与 y=10﹣x 的交点为 C(4,6) , 由上图可知 f(x)的图象如下:

x

C 为最高点,而 C(4,6) ,所以最大值为 6. 故选:C 【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题 意得出 f(x)的简图. 12.若 a>l,设函数 f(x)=a +x﹣4 的零点为 m,函数 g(x)=logax+x﹣4 的零点为 n,则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数的零点. 【专题】不等式的解法及应用. x 【分析】构建函数 F(x)=a ,G(x)=logax,h(x)=4﹣x,则 h(x)与 F(x) ,G(x)的 x 交点 A,B 的横坐标分别为 m、n,注意到 F(x)=a ,G(x)=logax,关于直线 y=x 对称, 可得 m+n=4,再用“1”的代换,利用基本不等式,即可得出结论. 【解答】解:由题意,构建函数 F(x)=a ,G(x)=logax,h(x)=4﹣x, 则 h(x)与 F(x) ,G(x)的交点 A,B 的横坐标分别为 m、n, x 注意到 F(x)=a ,G(x)=logax,关于直线 y=x 对称,可以知道 A,B 关于 y=x 对称, 由于 y=x 与 y=4﹣x 交点的横坐标为 2, ∴m+n=4, ∴ ∴ = ( ) (m+n)= (2+ )≥ =1,当且仅当 m=n 时取等号,
x x

的最小值为 1.

故选 A. 【点评】本题考查函数的零点,考查基本不等式的运用,考查学生分析转化问题的能力,求 出 m+n=4,正确运用基本不等式是关键. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 f(x)= +1,且 f(a)=3 则 f(﹣a)的值为 ﹣1 .

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】由已知得 f(a)= ﹣2+1=﹣1. 【解答】解:∵f(x)=



=2,从而 f(﹣a)=

=

+1=

+1,且 f(a)=3,

∴f(a)=

,∴

=2,

∴f(﹣a)=

=

+1=﹣2+1=﹣1.

故答案为:﹣1. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用. 14.A={x|x ﹣8x+15=0},B={x|ax﹣1=0},若 A∩B=B,求实数 a 组的集合的子集有多少个? 8 . 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】先通过解二次不等式化简集合 A,对集合 B 分类讨论,利用已知条件 B?A 求出 a 的 所有取值,然后利用子集的定义写出其所有子集. 【解答】解:1)当 B=?即 a=0 时适合条件 B?A ∴A=0 2)当 B≠?时 ∵A={3,5},B={ 由 =3,或 }
2

=5 得 a= 或 a= 也适合条件 B?A

综上所述所有满足条件的实数 a 组成的集合为{0, , } {0, , }所有子集为?,{0},{ },{ },{0, },{0, },{ , },{0, , }共 8

个. 故答案为:8. 【点评】本题考查子集的运算、集合间的相互关系,解题时要熟练掌握基本概念.属基础题. 15.已知函数 f(x)=e (a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值 范围是 (﹣∞,1] . 【考点】指数函数单调性的应用. 【专题】综合题. 【分析】由题意,复合函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数可得出内层函数 t=|x﹣a|在区间 [1,+∞)上是增函数,又绝对值函数 t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数,可得出[1,+∞) ?[a,+∞) ,比较区间端点即可得出 a 的取值范围
|x﹣a|

【解答】解:因为函数 f(x)=e (a 为常数) .若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数 由复合函数的单调性知,必有 t=|x﹣a|在区间[1,+∞)上是增函数 又 t=|x﹣a|在区间[a,+∞)上是增函数 所以[1,+∞)?[a,+∞) ,故有 a≤1 故答案为(﹣∞,1] 【点评】本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断,集合包含关系的判断, 解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系,本题考查了转化的 思想及推理判断的能力,属于指数函数中综合性较强的题型. 16.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为 单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; x ②指数函数 f(x)=2 (x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f(x)为单函数,则函数 f(x)在定义域上具有单调性. 其中的真命题是 ②③④ . (写出所有真命题的编号) 【考点】进行简单的合情推理. 【专题】综合题;推理和证明. 【分析】利用单函数的定义当 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,分别对五个命题进行判断,可以 得出正确结论. 2 2 2 【解答】解:①对于函数 f(x)=x ,由 f(x1)=f(x2)得 x1 =x2 ,即 x1=﹣x2 或 x1=x2,所 以①不是单函数,①错误; ②对于函数 f(x)=2 ,由 f(x1)=f(x2)得
x 2

|x﹣a|

,∴x1=x2,所以②是单函数,②正

确; ③对于 f(x)为单函数,则 f(x1)=f(x2)时,有 x1=x2,逆否命题是 x1≠x2 时,有 f(x1)≠f (x2) ,所以③是正确的; ④若函数 f(x)是单调函数,则满足 f(x1)=f(x2)时,有 x1=x2,所以④是单函数,④正 确; ⑤存在函数是单函数,但函数 f(x)在定义域上不具有单调性,故⑤不正确. 故答案为:②③④. 【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断,利用单函数的定义是解决本题的关键. 三、解答题: (请写出必要的文字说明和解题步骤,共 70 分) 17. (10 分) (2011 秋?蚌埠校级期中)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},集合 B={x|p+1≤x≤2p ﹣1},若 B?A,求实数 p 的取值范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题. 【专题】计算题. 【分析】化简集合 A,由 B?A 可得 B=?或 B≠?.当 B=?时,由 p+1>2p﹣1,求出 p 的范围;
2

当 B≠?时,由

,解得 p 的范围,再把这两个 p 的范围取并集即得所求.

【解答】解:∵集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0}={x|﹣2≤x≤5},集合 B={x|p+1≤x≤2p﹣1},B?A, 当 B=?时,p+1>2p﹣1,求得 p<2.

2

∴当 B≠?时,有

,解得 2≤p≤3.

综上,p 的范围为(﹣∞,3]. 【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围,体现了分类讨论的数学思想,注意考虑 B=?的情况,这是解题的易错点. 18. (12 分) (2015 春?银川校级期末)命题 p 方程:x +mx+1=0 有两个不等的实根,命题 q: 2 方程 4x +4(m+2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】先将命题 p,q 分别化简,然后根据若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,判断出 p, q 一真一假,分类讨论即可. 【解答】解:由题意命题 P:x +mx+1=0 有两个不等的实根,则△ =m ﹣4>0,解得 m>2 或 m<﹣2, 2 命题 Q:方程 4x +4(m+2)x+1=0 无实根,则△ <0,解得﹣3<m<﹣1, 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,则 p,q 一真一假, (1)当 P 真 q 假时: 解得 m≤﹣3,或 m>2, (2)当 P 假 q 真时: , ,
2 2 2

解得﹣2≤m<﹣1, 综上所述:m 的取值范围为 m≤﹣3,或 m>2,或﹣2≤m<﹣1. 【点评】本题考查命题的真假判断和应用,解题时要认真审题,注意解不等式公式的合理运 用 19. (12 分) (2013?福建)已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)把 a=2 代入原函数解析式中,求出函数在 x=1 时的导数值,直接利用直线方程 的点斜式写直线方程; (2)求出函数的导函数,由导函数可知,当 a≤0 时,f′(x)>0,函数在定义域(0,+∝) 上单调递增,函数无极值,当 a>0 时,求出导函数的零点,由导函数的零点对定义域分段, 利用原函数的单调性得到函数的极值. 【解答】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , .

(1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,



因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣2=0 (2)由 ,x>0 知:

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值. 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的极 值,考查了分类讨论得数学思想,属中档题. 20. (12 分) (2010?广州校级模拟) 设f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 a, b, 当 a+b≠0, 都有 >0
x x x

(1)若 a>b,试比较 f(a)与 f(b)的大小; (2)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对 x∈[﹣1,1]恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数单调性的性质;函数奇偶性的性质;指数型复合函数的性质 及应用. 【专题】综合题. 【分析】 (1)由 a>b,得 义在 R 上的奇函数,能得到 f(a)>f(b) . (2)由 f(x)在 R 上是单调递增函数,f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0,得 f(k?3 )<﹣f(3 x x x x x x ﹣9 ﹣2)=f(9 ﹣3 +2) ,故 k?3 <9 ﹣3 +2,由此能够求出 k 的范围. 【解答】解: (1)∵对任意 a,b,当 a+b≠0,都有 ∴ >0, >0
x x x x x

>0,所以 f(a)+f(﹣b)>0,由 f(x)是定

∵a>b, ∴a﹣b>0, ∴f(a)+f(﹣b)>0, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣b)=﹣f(b) , ∴f(a)﹣f(b)>0, ∴f(a)>f(b) (2)由(1)知 f(x)在 R 上是单调递增函数, x x x 又 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0, x x x x x 得 f(k?3 )<﹣f(3 ﹣9 ﹣2)=f(9 ﹣3 +2) , x x x 故 k?3 <9 ﹣3 +2,

∴k<
x



令 t=3 , ∵x∈[﹣1,1]恒成立, ∴t= ∴k<t+ 而 t+ ≥2 , , 时,取等号, ,

当且仅当 t= ,t=

即 k<2 ﹣1. 【点评】本题考查解函数恒成立问题的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数 与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点,易出错.解题时要认真审题,注 意转化思想的灵活运用. 21. (12 分) (2010?天心区校级模拟)张家界某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造 升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10) 万元之间满足:y=f(x)=ax +
2

x﹣bln

,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;

当 x=20 万元时,y=35.7 万元. (参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6) (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值. (利润=旅游增加值﹣投入) 【考点】分段函数的应用;函数模型的选择与应用. 【专题】应用题. 【分析】 (1)由条件:“当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x=20 万元时,y=35.7 万元”列出关 于 a,b 的方程,解得 a,b 的值即得则求 f(x)的解析式; (2)先写出函数 T(x)的解析式,再利用导数研究其单调性,进而得出其最大值,从而解决 问题.

【解答】解: (1)由条件

(2 分)

解得 则 (2)由 则

(4 分) . (6 分)

(10 分)

令 T'(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50 当 x∈(10,50)时,T'(x)>0,

因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T'(x)<0, 因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数,∴x=50 为 T(x)的极大值点(12 分) 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 T(50)=24.4 万元. (13 分) 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实 际问题的能力,建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识.解决实际问题通常有四 个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方 法,得到数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型. 22. (12 分) (2009?辽宁)已知函数 f(x)= x ﹣ax+(a﹣1)lnx,a>1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)证明:若 a<5,则对任意 x1,x2∈(0,+∞) ,x1≠x2,有 .
2

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;证明题;分类讨论. 【分析】 (1)根据对数函数定义可知定义域为大于 0 的数,求出 f′(x)讨论当 a﹣1=1 时导函 数大于 0,函数单调递增;当 a﹣1<1 时分类讨论函数的增减性;当 a﹣1>1 时讨论函数的增 减性. (2)构造函数 g(x)=f(x)+x,求出导函数,根据 a 的取值范围得到导函数一定大于 0,则 g(x)为单调递增函数,则利用当 x1>x2>0 时有 g(x1)﹣g(x2)>0 即可得证. 【解答】解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞) .

(i)若 a﹣1=1 即 a=2,则 故 f(x)在(0,+∞)单调增. (ii)若 a﹣1<1,而 a>1, 故 1<a<2,则当 x∈(a﹣1,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,a﹣1)及 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 故 f(x)在(a﹣1,1)单调减, 在(0,a﹣1) , (1,+∞)单调增. (iii)若 a﹣1>1,即 a>2, 同理可得 f(x)在(1,a﹣1)单调减, 在(0,1) , (a﹣1,+∞)单调增. (2)考虑函数 g(x)=f(x)+x= 则 由于 1<a<5,故 g'(x)>0, 即 g(x)在(0,+∞)单调增加,

从而当 x1>x2>0 时有 g(x1)﹣g(x2)>0, 即 f(x1)﹣f(x2)+x1﹣x2>0,故 ,

当 0<x1<x2 时,有 【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力,以及基本不等式证明的能力.


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