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2015-2016学年高中数学 第1章 第9课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修4


目标导航 1.了解周期函数与最小正周期的意义.(难点) 2.会利用周期的定义和诱导公式求三角函数的周期.(重点) 3.会判断三角函数的奇偶性.(重点)

知识点一 周期函数 阅读教材 P34~P35 前 2 行,完成下列问题. (1)对于函数 f(x),如果存在一个 非零常数 T ,使得当 x 取 定义域内的每一个 值时,都有f(x+T)=f(x) ,那么

函数 f(x)就叫做周 期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小正数 ,那么 这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期.

【思考】周期函数的周期是否唯一? 【提示】不唯一,若 f(x+ T)=f(x),则 f(x+ nT)= f(x), (n ∈ Z 且 n≠0).即若 T 是 f(x)的周期,则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x)的周期.

【练习 1】 已知函数 f(x)是周期为 2 的周期函数,且 f(0)=1, 则 f(4)=__________.

解析:由题意 f(4)=f(0+2×2)=f(0)=1. 答案:1

知识点二 正弦函数与余弦函数的周期 阅读教材 P35,完成下列问题. 函数 y=sinx 与函数 y=cosx 都是周期函数,其周期都是 2kπ(k ∈Z,且 k≠0),最小正周期为 2π. 【练习 2】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 若没有特别说明,求函数的周期就是求函数的最小正周 期.( √ ) (2)函数 y=3sinx 的最小正周期为 2π.( √ ) (3)凡是周期函数都存在最小正周期.( × )

知识点三 正弦函数与余弦函数的奇偶性 阅读教材 P37“思考”下 5 行内容,完成下列问题. (1)对于 y=sinx,x∈R 恒有 sin(-x)=-sinx,所以正弦函数 y=sinx 是奇函数,正弦曲线关于原点对称; (2)对于 y=cosx,x∈R 恒有 cos(-x)=cosx,所以余弦函数 y =cosx 是偶函数,余弦曲线关于 y 轴对称.

【练习 3】 (1)下列函数是偶函数的是( A.y=sinx B.y=-2sinx C.y=1+sinx D.y=|sinx| ? π π? (2)函数 y=cosx,x∈?- , ?是( ) ? 3 4? A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

)

答案:(1)D (2)C

2 新视点· 名师博客 1.“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一 个值都成立,T 是非零常数,周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值,周期函数的图象每隔一个周期重复一次. 2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个 x 值来说的, 只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x), 不能说 T 是 y=f(x) 的周期. 3.在数轴上,定义域关于原点对称,是函数具有奇偶性的一 个必要条件.因此,确定函数的奇偶性,先要考查其定义域是否关 于原点对称.若是,再判断 f(-x)与 f(x)的关系;若不是,则该函数 既不是奇函数,也不是偶函数.

3 新课堂· 互动探究 考点一 求三角函数的周期 例 1 求下列函数的周期: ?π ? (1)y=3sin? x+3?;(2)y=|cosx|; ?2 ? ?π ? ? π? (3)y=3cos? -3x?;(4)y=sin?2x- ?. 4? ?6 ? ?

分析:(1)(2)可结合周期函数定义求解;(3)可通过画函数图象 求周期. ?π ? ? 解析:(1)方法一:y=3sin 2x+3+2π? ? ? ?π ? ?π ? =3sin? ?x+4?+3?=3sin? x+3? ?2 ? ?2 ? ∴f(x+4)=f(x) ?π ? ∴y=3sin? x+3?的周期为 4. ?2 ? π 2π 2π 方法二:ω= ∴T= = =4. 2 ω π 2

(2)y=|cosx|的图象如图所示.

∴周期 T=π.

?π ? ? π? (3)方法一:y=3cos?6-3x?=3cos?3x-6? ? ? ? ? ? ? ? ? 2π? π? π ∵3cos?3x-6+2π?=3cos?3?x+ 3 ?-6? ? ? ? ? ? ? ? π? =3cos?3x-6? ? ? ? 2π? ? ∴f x+ ?=f(x) 3? ? ?π ? 2π ? ? ∴y=3cos -3x 的周期为 . 3 ?6 ?

2π 2π 方法二:∵|ω|=3,∴T= = . |ω| 3

? π? (4)方法一:y=sin?2x-4? ? ? ? ? ? π π? =sin?2x-4+2π?=sin?2?x+π?-4? ? ? ? ?

∴f(x+π)=f(x) ? π? ∴y=sin?2x- ?的周期为 π. 4? ? 2π 2π 方法二:ω=2,T= = =π. ω 2

点评:求三角函数的周期,通常有三种方法: (1)定义法. (2)公式法,对 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 是 2π 常数,且 A≠0,ω≠0),T= ; |ω| 2π 如本例(1)可用公式求解如下:T=? ?=4. π ? ? ?2 ? (3)观察法(图象法). 三种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当方法 求解,为了避免出现错误,求周期之前要尽可能将函数化为同名同 角三角函数,且函数的次数为 1.

变式探究 1 求下列函数的最小正周期. ? ?x π? π? (1)y=sin?2x+3?;(2)f(x)=2sin?2-6?; ? ? ? ? ? π? (3)f(x)=cos?-2x+3?;(4)f(x)=|sinx|. ? ?

? ? ? π π? 解析:(1)∵sin?2x+ +2π?=sin?2x+ ? 3 3? ? ? ? ? ? π? π? ∴sin?2?x+π?+ ?=sin?2x+ ? 3? 3? ? ? ? π? ∴y=sin?2x+ ?的周期是 π. 3? ? ?x π ? (2)方法一:∵2sin? - +2π? ?2 6 ? ?1 ? x π? π? =2sin? ?x+4π?- ?=2sin? - ? 6? ?2 ?2 6?

∴f(x+4π)=f(x) ?x π? ∴y=2sin? - ?的周期是 4π. ?2 6 ? 1 2π 方法二:∵ω= ,∴T= =4π. 2 1 2

? ? π? π? ? ? ? (3)f(x)=cos -2x+ =cos 2x- ? 3? 3? ? ? ? ? ? π π? ∵cos?2x-3+2π?=cos?2?x+π?- 3? ? ? ? ? ? π? =cos?2x-3? ? ?

∴f(x+π)=f(x) ∴T=π. (4)y=|sinx|的图象如图所示.

∴周期 T=π.

考点二 判断三角函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 2sin2x; 1+sinx-cos2x (2)f(x)= ; 1+sinx (3)f(x)= 1-cosx+ cosx-1.

分析:先判断函数的定义域是否关于原点对称,若对称,再考 查 f(-x)与± f(x)的关系. 解析:(1)显然 x∈R. f(-x)= 2sin(-2x)=- 2sin2x=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)函数应满足 1+sinx≠0, ? ? 3π ∴函数定义域为?x∈R|x≠2kπ+ 2 ,k∈Z?, ? ? 显然定义域不关于原点对称, ∴该函数是非奇非偶函数. ? ?1-cosx≥0 (3)由? ,得 cosx=1,∴x=2kπ(k∈Z),此时 y=0, ? ?cosx-1≥0 故该函数既是奇函数又是偶函数.

点评:判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义,定义域关于原 点对称是正确判断奇偶性的前提. 另外还要注意诱导公式在判断 f(x) 与 f(-x)之间关系时的应用.

变式探究 2 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3cos2x; ?3x 3π? (2)f(x)=sin? 4 + 2 ?; ? ? (3)f(x)=x· cosx.

解析:(1)∵x∈R,f(-x)= 3cos(-2x) = 3cos2x=f(x) ∴f(x)= 3cos2x 是偶函数. ?3x 3π? 3x (2)∵x∈R,f(x)=sin? + ?=-cos , 2? 4 ?4 3?-x? 3x ∴f(-x)=-cos =-cos =f(x), 4 4 ?3x 3π? ∴函数 f(x)=sin? 4 + 2 ?是偶函数. ? ? (3)∵x∈R,f(-x)=-x· cos(-x)=-x· cosx=-f(x) ∴f(x)=xcosx 是奇函数.

考点三 函数的周期性与奇偶性的综合应用 ?π? ? 17 ? π 例 3 若函数 f(x)是以 为周期的偶函数,且 f?3?=1,求 f?- 6 π? 2 ? ? ? ? 的值.

分析:利用

π 解析:∵f(x)的周期为 ,且为偶函数, 2 ? 17π? ? π? ? π π? ∴f?- 6 ?=f?-3π+6?=f?-6×2+6? ? ? ? ? ? ? ?π? =f? ?, ?6? ?π? ?π π? ? π? ?π? ∴f? ?=f? - ?=f?- ?=f? ?=1, ?6? ?2 3? ? 3? ?3? ? 17π? ∴f?- ?=1. 6 ? ?

? π? f?x+2?=f(x),f(-x)=f(x)来求解. ? ?

点评:(1)解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助于周期 函数的定义把待求问题转化到已知区间上,代入求解便可. (2)如果一个函数是周期函数,倘若要研究该函数的有关性质, 结合周期函数的定义域可知,完全可以只研究该函数一个周期上的 特征,再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质.

变式探究 3 若 f(x)是以 1 为周期的奇函数,且当 x∈(-1,0) ?11? 时,f(x)=3x+1,求 f? 2 ?的值. ? ?

解析:∵f(x)是以 1 为周期的函数, ?11? ? 1? ?1? ∴f? ?=f?5+ ?=f? ?. 2? ?2? ?2? ? 又∵当 x∈(-1,0)时,f(x)=3x+1, ? 1? ? 1? 1 ∴f?- ?=3×?- ?+1=- . 2 ? 2? ? 2? 又∵f(x)为奇函数 ?1? 1 ?11? 1 ∴f? ?= ,∴f? ?= . ?2? 2 ?2? 2

4 新思维· 随堂自测 1.函数 y=sin(cosx)的最小正周期是( π A. B.π C.2π 2

) D.4π

? ? =-sin(sinx)≠f(x)排除 A;由 f(x+π)=sin??cos?x+π???=sin(-cosx)= ? ? -sin(cosx)≠f(x)排除 B; 由 f(x+2π)=sin??cos?x+2π???=sin(cosx)=f(x) 可知选 C. 答案:C

? ? ? π?? π? 解析: 令 f(x)=sin(cosx), 则由 f?x+2?=sin?cos?x+2??=sin(-sinx) ? ? ?? ? ?

2.函数

?π ? f(x)=2sin?2-x?是( ? ?

)

A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

解析:f(x)=2cosx,∴T=2π,f(x)是偶函数. 答案:B

3.设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数 y =f(x)的图象是( )

A

B

C

D

解析:由题意知 f(x)是周期为 2 的偶函数,故选 B. 答案:B

4.已知 a∈R,函数 f(x)=sinx-|a|,x∈R 为奇函数,则 a 等 于( ) A.0 B.1 C.-1 D.± 1

解析:方法一:∵f(x)在 R 上为奇函数, ∴f(0)=0,∴a=0. 方法二:∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),即 sin(-x)-|a|=-sinx+|a|, -sinx-|a|=-sinx+|a|. ∴|a|=0,即 a=0. 答案:A

5.若 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-sinx,则当 x<0 时, f(x)=________.

解析:当 x<0 时,-x>0. f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx. ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(x)=-f(-x). ∴f(x)=-x2-sinx. 答案:-x2-sinx

5 辨错解· 走出误区 易错点:参数问题出错 【典例】 求函数 y=asinx+b(a,b∈R,a≠0)的最值.

【错解】 因为-1≤sinx≤1,所以当 sinx=1 时, ymax=a+b;当 sinx=-1 时,ymin=-a+b. 【错因分析】 上面的解法忽略了对题目中参数的讨论,对于 题中参数 a 的不同取值,对应的最值也是不同的.

【正解】 (1)若 a>0,则当 sinx=1 时,ymax=a+b; 当 sinx=-1 时,ymin=-a+b. (2)若 a<0,则当 sinx=-1 时,ymax=-a+b, 当 sinx=1 时,ymin=a+b. 【反思】 对于函数式中的参数,要注意加以讨论,以避免出 现错误.


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