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2010-2011学年第一学期徐州市高一数学期末考试试题及答案[1]


江苏省徐州市 2010-2011 学年度第一学期期末考试

高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1. sin 3 0 0 ? = ▲ . ▲ . ▲ . .

2. 设集合 U ? {1, 2, 3, 4, 5}, A ? {1, 2}, B ? {2, 4} ,则 ?U ( A ? B ) ? 3.函数
f (x) ? 3 s in ( x 2 ? ? 4 )

( x ? R )的最小正周期为



4. 已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? 3 , b ? 4 , a ? b ? 5 ,则 ? = 5. 若函数 f ( x ) ? a sin x ? 3 cos x 是偶函数,则实数 a ? 6.
3





(lg 5 ? 1) ?
3

(lg 2 ? 1)

2

=



. ▲ .

7. 已知函数 f ( x ) ? ( 2 a ? 1) x ,当 m ? n 时, f ( m ) ? f ( n ) ,则实数 a 的取值范围是 8. 已知 ta n ( ?
??) ? ? 1 2

,则 sin ? cos ? ? 2 sin 2 ? ?




1 2 3 2

9.在平面直角坐标系中,已知单位圆与 x 轴正半轴交于 A 点,圆上一点 P ( ? 则劣弧 ? P 的弧长为 A ▲ .
1 2

,

)



10. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数图象的公共点,那么称这个点为“好点”, 下面五个 M 11. 已知函数 12. 已知函数 为 ▲
(1,1), N (1, 2 ), Q ( 2 ,1), G ( 2 , 2 ), H ( 2 , )

中,“好点”为





? 1 x x ≥ 4, ?( ) , f (x) ? ? 2 则 f ( 2 ? lo g 2 3) = ▲ . ? f ( x ? 1), x ? 4 , ? f ( x ) ? log a (1 ? x ) ? log a ( x ? 3) ,若函数 f ( x ) 的最小值为 ? 2

,则实数 a 的值

B


13.如图,已知 R t △ BC D 的一条直角边 B C 与等腰 R t △ A B C 的斜边 B C 重合,若
???? ??? ? ???? A B ? 2 , ? C B D ? 30 , A D ? m A B ? n A C
?

D

A
, 第 13 题 图

C

则m ? n =



. .

14.若函数 f ( x ) ? x ? 13 ? 2 m x ( m ? N ? ) 的最大值是正整数 M ,则 M = ▲

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x x ? 0? , B ? x ? 1 ? x ≤ 1} ,求: { (1) A ? B ; (2) A ? B ; (3) A ? ?U B . 16.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (1, ? 2) , b ? (3, 4) . (1) 若 (3 a ? b ) ∥ ( a ? k b ) ,求实数 k 的值; (2) 若 a ? ( m a ? b ) ,求实数 m 的值; 17.(本小题满分 14 分) 已知 c o s ?
? 1 7 , c o s (? ? ? ) ? 13 14

,且 0

? ? ?? ?

? 2

.

⑴ 求 tan 2? 的值; ⑵ 求 ? 的值. 18. (本小题满分 16 分) 已知向量: a ? (2 3 sin x , cos x ? sin x ), b ? (cos x , cos x ? sin x ) ,函数 f ( x ) ? a ? b . (1)若 f ( x ) ? 1 ,求 x ; (2)写出函数 y ? f ( x ) 的单调增区间; (3)若 x ?
? ? ? 0, ? 2? ? ?

,求函数 y ? f ( x ) 的值域.

19.(本小题满分 16 分) 某汽车生产企业,上年度生产汽车的投入成本为 8 万元/辆,出厂价为 10 万元/辆,年 销售量为 12 万辆.本年度为节能减排,对产品进行升级换代.若每辆车投入成本增加的 比例为 x
(0 ? x ≤ 1 2 )

, 则出厂价相应提高的比例为 0 .7 5 x , 同时预计年销售量增加的比

例为 0.5 x . (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;? (2)当投入成本增加的比例 x 为何值时,本年度比上年度利润增加最多?最多为多少? 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a , g ( x ) ? ax , ( a ? R ) . (1)若函数 y ? f ( x ) 是偶函数,求出的实数 a 的值; (2)若方程 f ( x ) ? g ( x ) 有两解,求出实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 0 ,记 F ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ,试求函数 y ? F ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 上的最大值.

江苏省徐州市 2010-2011 学年度第一学期期末考试

高一数学参考答案与评分标准
一、填空题: 1. ?
3 2

2. ?3,5 ?

3. 4 ?
1 24

4. 90 ?
1 2

5. 0

6. ? 1

7. ?

?1

? ,1 ? ? 2 ?

8. 0

9.

2? 3

10. G , H

11.

12.

13. ? 1

14. 7

二、解答题: 15.(1) A ? B ? ? x 0 ? x ≤ 1? . ???????????????????????4 分 (2) A ? B ? ? x x ? ? 1? .????????????????????????8 分 (3) A ? ?U B ? ? x x ? 1? ???????????????????????14 分 ????????????4 分
1 3

16.(1) 3 a ? b ? (0, ? 10) , a ? k b ? (1 ? 3 k , ? 2 ? 4 k ) ,

因为 (3 a ? b ) ∥ ( a+ k b ) , 所以 ? 10 ? 30 k ? 0 ,所以 k ? ?

.

???????7 分

(2) m a ? b ? ( m ? 3, ? 2 m ? 4) ,?????????????????????10 分 因为 a ? ( m a ? b ) ,所以 m ? 3 ? 2( ? 2 m ? 4) ? 0 , 所以 m ? ? 1 .????????????????????????????14 分

17.⑴由 c o s ?

?

1 7

,0 ? ? ?

? 2


?1? ? ?7?
2

得 s in ? ? 1 ? c o s 2 ? ? 1 ? ? ∴ ta n ?
? s in ? cos ? ? 4 7 3

?

4 3 7

, ????????????????2 分

?7 ? 4

3

,?????????????????????4 分
3 3)
2

于是 ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

?

2?4 1 ? (4

? ?

8 3 47

.????????????????7 分
?? 14

⑵由 0

? ? ?? ?

? 2

,得 0

?? ? ? ?

? 2

,又∵ 0

? c o s (? ? ? ) ?



∴ s in (? ? ? ) ? 1 ? c o s 2 (? ? ? ) ? 1 ? ?

? 13 ? ? ? 14 ?

2

?

3 3 14

,????????????11 分

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? ] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
? 1 7 ? 13 14 ? 4 7 3 ? 3 3 14 ? 1 2

,

∴?

?

? 3

. ??????????????????????????????14 分

18. f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x =
3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 2 s in ( 2 x ? ? ? 6 ? 6 )

. ??????????????????4 分

(1) f ( x ) ? 1 , 即 2 s in ( 2 x 故2x
? ? 6 ? ? 6 ? ? 3 ? 2k ?

) ?1, ? ? 6 ? 5? 6 ? 2k ?, (k? Z )

,或 2 x

,

所以 x ? k ? ,或 x
?

? k ?, (k ? Z )

.??????????????????8 分
? ?? ? k ? ? , k? ? ? 3 6? ? ? ? 3

(2) 2 x 当

?

? ? ? ? ? 2 k ? ? ,2 k ? ? ? 6 2 2 ? ? ?

, x? 即

时, 函数 y ? f ( x ) 为增函数,

所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? k ?
? ? ? ? 0, ? 2? ? ? ? 6 ? ? 7? ? , ?6 6 ? ? ?

?

?

,k? ?

?? , (k ? Z ) 6? ?

.??????12 分

(3)因为 x ?

所以 2 x

?

?

, 所以 ?

1 2

≤ sin ( 2 x ?

? 6

) ≤1

,

故 f ( x ) 的值域为 ? ? 1, 2 ? .???????????????????????16 分 19.(1)由题可知,本年度每辆车的利润为 10(1 ? 0.75 x ) ? 8(1 ? x ) 本年度的销售量是 12(1 ? 0.5 x ) ,故年利润
y ? 12(1 ? 0.5 x ) ?10(1 ? 0.75 x ) ? 8(1 ? x ) ?

? 1? 2 ? ?3 x ? 6 x ? 24, x ? ? 0, ? ? 2?

.?????????????????????6 分

(2)设本年度比上年度利润增加为 f ( x ) ,则
? ? 1? ? 2?

f ( x ) ? ( ? 3 x ? 6 x +24) ? 24 ? ? 3( x ? 1) ? 3
2 2

, 因为 x ? ? 0 ,



在区间 ? 0 ,
?

?

1? 2? ?

上 f ( x ) 为增函数,所以当 x ?

1 2

时,函数 y ? f ( x ) 有最大值为

9 4

.

故当 x

?

1 2

时,本年度比上年度利润增加最多,最多为 2.25 亿元 .?????16 分

20. (1)因为函数 f ( x ) ? x ? a 为偶函数,所以 f ( ? x ) ? f ( x ) , 即 ? x ? a ? x ? a ,所以 x ? a ? x ? a 或 x ? a ? a ? x 恒成立,故 a ? 0 .??4 分 (2)方法一: 当 a ? 0 时, x ? a ? ax ? 0 有两解, 等价于方程 ( x ? a ) 2 ? a 2 x 2 ? 0 在 (0, ?? ) 上有两解, 即 ( a 2 ? 1) x 2 ? 2 ax ? a 2 ? 0 在 (0, ?? ) 上有两解,????????????6 分 令 h ( x ) ? ( a 2 ? 1) x 2 ? 2 ax ? a 2 ,
? a ? 1 ? 0, ?
2

因为 h (0) ? ? a 2 ? 0 ,所以 ?

? ? ? 4 a ? 4 a ( a ? 1) ? 0 , ?
2 2 2

故 0 ? a ? 1 ;????8 分

同理,当 a ? 0 时,得到 ? 1 ? a ? 0 ; 当 a ? 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 ( ? 1, 0) ? (0,1) .?????????????10 分 方法二: x ? a ? ax 有两解, 即 x ? a ? ax 和 a ? x ? ax 各有一解分别为 x 若 a ? 0 ,则 若 a ? 0 ,则
a 1? a a 1? a ? 0 ? 0 ? a 1? a

,和 x

?

a 1? a

,????6 分

且 且

a 1? a a 1? a

? 0 ? 0

,即 0 ? a ? 1 ;????????????8 分 ,即 ? 1 ? a ? 0 ;

若 a ? 0 时,不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是 ( ? 1, 0) ? (0,1) .?????????????10 分

方法三:可用图象,视叙述的完整性酌情给分. (3)令 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ①当 0 ? a ≤ 1 时,则 F ( x ) ? a ( x 2 ? ax ) ,
a ? 1? ? ? 0, ? 2 ? 2?

对称轴 x

?

,函数在 ?1, 2 ? 上是增函数,

所以此时函数 y ? F ( x ) 的最大值为 4 a ? 2 a 2 .
? ? a ( x ? a x ),1 ? x ≤ a
2

②当 1 ? a ≤ 2 时, F ( x ) ? ?

? a ( x ? a x ), a ? x ≤ 2
2

,对称轴 x

?

a

?1 ? ? ? ,1 ? 2 ? 2 ?



所以函数 y ? F ( x ) 在 ? 1, a ? 上是减函数,在 ? a , 2 ? 上是增函数,
F (1) ? a ? a
2

, F (2) ? 4 a ? 2 a 2 ,
a ? 5 3

1)若 F (1) ? F (2) ,即 1 ? 2)若 F (1) ≥ F (2) ,即
5 3

,此时函数 y ? F ( x ) 的最大值为 4 a ? 2 a 2 ; ,此时函数 y ? F ( x ) 的最大值为 a 2 ? a .
? a 2 ? ? 1, 2 ?

≤ a≤ 2

③当 2 ? a ≤ 4 时, F ( x ) ? ? a ( x 2 ? ax ) 对称轴 x 此时 F ( x ) m a x
? F( a 2
?



)?

a

3


a 2 ? ? 2, ??

4

④当 a ? 4 时,对称轴 x

? ,此时 F ( x ) m ax

? F (2) ? 2 a ? 4 a
2

综上可知,函数 y ? F ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 上的最大值
? 2 4a ? 2a , ? ? ? 2 ?a ? a, ? ? ? a3 , ? ? 4 0? a ? 5 3 2 ? a ≤ 4, 5 3 ≤ a ≤ 2, ,

[ F ( x )] m a x

????????????????????16 分

?2a 2 ? 4a, a ? 4. ?


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