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函数思想研究数列最值的方法(论文)


函数思想研究数列最值的方法
赵杨柳 从函数的观点看,数列可以看作一个定义域为正整数集 N ? (或它的有限子 集 ?1,2,?n? )的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。因此在 有关数列最值问题中可转化为函数最值思想来处理。 一、转化为与熟悉的函数形式求最值 例 1:已知数列通项公式为: an ? log 1 (n ? 4) ,则数列中的最大值是第
2

5

项。

分析:观察题的结构可将其视为一次函数与对数函数结合的复合函数求解。 解析:考察函数 f ( x) ? log 1 (n ? 4), x ? N ? ,易知其定义域为 x ? 4, x ? N ? ,
2

且 t ? x ? 4 为单调递增函数, f (t ) ? log 1 t, t ? 0 为单调递减函数,
2

从而 f ( x) ? log 1 (n ? 4), x ? 4, x ? N 为单调递减函数,故当 x ? 5 时函数取最大值,
2

?

因此数列 an ? log 1 (n ? 4) 中的最大项为第 5 项。
2

点评:通项为: an ? an ? b ,可视其为关于 n 的一次函数形式 对于由一次函数与其它函数结合的问题求最值可分别考察其单调性, 然后由复合 函数的性质来求,但要注意的是其定义域的确定。 二、利用研究数列的增减性求最值 9 例 2、 (1)已知数列 {an } 的通项公式 a n ? (n ? 1)( ) n , (n ? N ? ) , 10 求 {an } 的最大值。 9 分析:观察题的结构可将其视为函数 f ( x) ? ( x ? 1)( ) x , x ? N ? ,而不易知其在定 10 义域内的单调性。只有利用函数单调性的定义——作差或作商,研究数列的单 调性。 解法一:作差研究数列的增减性(也可作商) 9 9 9 ?n?8 a n ?1 ? a n ? (n ? 2)( ) n ?1 ? (n ? 1)( ) n ? ( ) n 10 10 10 10 故当 0 ? n ? 8 时, a n?1 ? a n ; 当 n ? 8 时, 当 n ? 8 时,

a9 ? a8 ;
a n ?1 ? a n ;

? a1 ? a2 ? ...a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? ...
所以 {an } 的最大项为 a9 ? a8 ?

99 108

? an ? an ?1 解法二,利用关系式 ? ,来求 Sn 的最大值。 ? an ? an ?1

9 9 ? (n ? 1)( ) n ? n( ) n ?1 ?an ? an ?1 ? ? 10 10 ?? ?8?n?9 ? an ? an ?1 ? 9 n 9 n ?1 ? (n ? 1)( ) ? ( n ? 2)( ) ? 10 10 ?

99 所以所以 {an } 的最大项为 a9 ? a8 ? 8 10
点评:观察数列的结构可将其视为函数,若不易知其在定义域内的单调性。只有 利用函数单调性的定义——作差或作商,研究数列的单调性。即当 an?1 ? an ? 0 , a a 当 若数列均正, 也可作商, n ?1 ? 1 , n 递增, n ?1 ? 1 , 即 当 an 递增, an?1 ? an ? 0 , n 递减。 a a an an an 递减。 或利用求数列中最大(小)项的一般方法研究数列的最值问题; ?a ? ak ?1 (1) 、若数列 {an } 中的最大项为 ak ,则 ? k ; ?ak ? ak ?1
?ak ? ak ?1 (2) 、若数列 {an } 中的最小项为 ak ,则 ? 。 ?ak ? ak ?1 注意:这只是 ak 为数列最值的必要不充分条件,不是充要条件,若 k 不止一解

时,需要代入检验。 三、利用绝对值转化的思想 例 3、已知等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2002 ,公比 q ? ? 。设 f (n) 表示该数列的前 n 项之
积,当 n 取何值时,数列 ? f (n)? 有最大项?

1 2

分析:欲求数列 ? f (n)? 最大项的项数,应先求出其表达式,然后从表达式中探寻最大 项的求法。

略解:由已知可得 f (n) ? 2002 n (? 1 ) 2 ,故 f (n) 有正有负,为此,可先分析 2 数列 ? f (n) ?的最大项的项数,进一步求数列 ? f (n)? 的最大项的项数。 可计算出
f (n ? 1) f ( n) ? 2002 。由于 210 ? 1024 , 211 ? 2048 ,因此, n 2
? 1 ? f (11) ? f (10) ? ? ? f (1) ;

n ( n ?1)

当 n ? 10 时, 当 n ? 11 时,

f (n ? 1) f ( n)

f (n ? 1) f ( n)

? 1 ? f (11) ? f (12) ? f (13) ? ? 。

又因为 f (9) ? 0 、 f (10) ? 0 、 f (11) ? 0 和 f (12) ? 0 ,
f (12) 1 2002 ? 20023 ? (? ) 30 ? ( 10 ) 3 ? 1 ,∴ f (12) ? f (9) ,即数列 ? f (n)? 的第 12 项为最 f (9) 2 2

大项。
点评: 本题的解题技巧主要有: ①根据 f (n) 的表达式和初步计算可知 f (n) 的值的正负不定, 但其正负与 n 的奇偶无直接关联,因此,并未从 n 的奇偶性分析入手,而是进行命题转化, 即先判断 | f (n) | 的最大项,进一步利用作商法确定 | f (n) | 的大小变化规律;②对于解决数 列中的最大(小)项的一般方法之一是如能利用 ?a n ? 的表达式,借助函数最值的求法直接 求 得 最 大 ( 小 ) 项 , 之 二 是 如 不 能 直 接 求 得 , 当 数 列 ?a n ? 中 存 在 某 一 项 a m , 满 足

a m ? a m?1 ? ? ? a1 且 a m ? am?1 ? a m?2 ? ? ,则 a m 为数列 ?a n ? 的最大项,类似地可以得到 最小项。 方法:项的正负不定,但其正负与 n 的奇偶无直接关联,因此不能从 n 的奇偶性分析入手,
n 而是进行命题转化,即先判断 | f (n) | 的最大项。如: Cn ? 2002 ( ? 1 ) 2
n ( n ?1) 2

试一试:
256 (n ? N ? ) ,则它的最小是第 项。 n n ? 97 (2)数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? ,则数列 ?an ? 的前 30 项中最大和最小 n ? 98 的项分别是( ) A. a1 , a 30 B. a 1 , a 9 C. a10 , a 9 D. a10 , a 30 1 (3)记数列 ?an ? 前 n 项的积为 ? n ? a1a2 ??? an ,若数列 an ? 2012( )n ?1 , n 为正整 2 数,则使 ? n 最大的 n 的值为

(1)已知数列 ?an ? 通项公式 an ? n ?

(4)数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn ? a1 ? a2 ???? ? an ,设 Tn ? S1 ? S2 ???? ? Sn ,若数列 1 an ? lg 2011 ? (n ? 1) lg( ) , n 为正整数,则使 Tn 最大的 n 的值为 2 试一试答案:
(1)16 (2)C (3)11 (4)22



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