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数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)


耗用子弹数的分布列
例 某射手有 5 发子弹,射击一次命中概率为 0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子

弹用尽,求耗用子弹数 ? 的分布列. 分析:确定 ? 取哪些值以及各值所代表的随机事件概率,分布列即获得. 解:本题要求我们给出耗用子弹数 ? 的概率分布列.我们知道只有 5 发子弹,所以 ? 的取 值只有 1,2,3,4,5.当 ? ? 1

时,即 P(? ? 1) ? 0.9 ;当 ? ? 2 时,要求第一次没射中,第 二次射中,故 P(? ? 2) ? 0.1? 0.9 ? 0.09 ;同理,? ? 3 时,要求前两次没有射中,第三次射 中, P(? ? 3) ? 0.1 ? 0.9 ? 0.009 ;类似地, P(? ? 4) ? 0.1 ? 0.9 ? 0.0009 ;第 5 次射击不
2 3

同,只要前四次射不中,都要射第 5 发子弹,也不考虑是否射中,所以 P(? ? 5) ? 0.1 ,所
4

以耗用子弹数 ? 的分布列为:

?
P

0 0.9

1 0.09

2 0.009

3 0.0001

说明:搞清 ? ? 5 的含义,防止这步出错. ? ? 5 时,可分两种情况:一是前 4 发都没射 中,恰第 5 发射中,概率为 0.14 ×0.9;二是这 5 发都没射中,概率为 0.15 ,所以,

P(? ? 5) ? 0.14 ? 0.9 ? 0.15









? ?5

















P(? ? 5) ? 1 ? (0.9 ? 0.09 ? 0.009 ? 0.0009 ) ? 0.0001 .

独立重复试验某事件发生偶数次的概率
例 如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这件事 A 发生偶数次的概率为________. 分 析 : 发 生 事 件 A 的 次 数

? ~ B?n, p ?









k p(? ? k ) ? Cn p k q n?k , (q ? 1 ? p, k ? 0,1,2,?, n) 其中的 k 取偶数 0,2,4,?时,为二项式

( p ? q ) n 展开式的奇数项的和,由此入手,可获结论.
解 : 由 题 , 因 为 ? ~ B?n, p ? 且 ? 取 不 同 值 时 事 件 互 斥 , 所 以 ,

-1-

0 2 4 P ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? ? ? Cn p 0 q n ? Cn p 2 q n?2 ? Cn p 4 q n?4 ? ? ?

1 1 (q ? p) n ? (q ? p) n ? 1 ? (1 ? 2 p) n 2 2

?

? ?

?



(因为 p ? q ? 1,所以 q ? p ? 1? 2 p ) 说明: 如何获得二项展开式中的偶数次的和?这需要抓住 (q ? p ) 与 (q ? p ) 展开式的特
n n

点:联系与区分,从而达到去除 p 奇次,留下 p 偶次的目的.

根据分布列求随机变量组合的分布列
例 已知随机变量 ?? 的分布列为

??
P 分别求出随机变量 ?? ? 1

-2

-1

0

1

2

3

1 12

3 12

4 12

1 12

2 12

1 12

1 ??,?? ? ??2 的分布列. 2 2 1 1 解 : 由 于 ?? ? ?? 对 于 不 同 的 ?? 有 不 同 的 取 值 y ? x , 即 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 y1 ? x1 ? ?1, y2 ? x2 ? ? , y3 ? x3 ? 0, y4 ? x4 ? , y5 ? x5 ? 1, y6 ? x6 ? , 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 ?? 的分布列为 1

?? 1
P

-1

?

1 12

1 2 3 12

0

4 12

1 2 1 12

1

2 12

2 3 1 12

?? ? ?? 2 对于 ?? 的不同取值-2,2 及-1,1, ?? 分别取相同的值 4 与 1,即?? 取 4 这个 2 2 2
值的概率应是 ?? 取-2 与 2 值的概率 与 1 值的概率

1 2 与 合并的结果,?? 取 1 这个值的概率就是 ?? 取-1 2 12 12

3 1 与 合并的结果,故 ?? 的分布列为 2 12 12

?? 2
P

0

1

4

9

4 12

4 12

3 12

1 12

说明:在得到的 ?? 或 ?? 的分布列中,?? 或 ?? 的取值行中无重复数,概率得中各项必须非 1 1 2 2 负,且各项之和一定等于 1.

成功咨询人数的分布列

-2-



某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为

3 ,某班 3 名同学商定明天分别就同一 4

问题询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数 ? 的分布列. 分析:3 个人各做一次试验,看成三次独立重复试验,拨通这一电话的人数即为事件的发 生次数 ? ,故符合二项分布.

? 3? k? 3? ?1? 解:由题: ? ~ B? 3, ? ,所以 P (? ? k ) ? C3 ? ? ? ? ?4? ?4? ? 4?

k

3? k

, k ? 0,1,2,3 ,分布列为

?
P

0

1

2

3

1 64

9 64

27 64

27 64

说明:关键是理解二项分布的特点:即某同一事件,在 n 次独立重复实验中,以事件发 生的次数 ? 为随机变量.

盒中球上标数于 5 关系的概率分布列
例 盒中装有大小相等的球 10 个,编号分别为 0,1,2,?,9,从中任取 1 个,观察号 码是“小于 5” “等于 5” “大于 5”三类情况之一.规定一个随机变量,并求其概率分布列. 分析:要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率. 解:分别用 x1 , x2 , x3 表示题设中的三类情况的结果: x1 表示“小于 5”的情况, x2 表示 “等于 5”的情况, x3 表示“大于 5”的情况. 设随机变量为 ?? ,它可能取的值为 x1 , x2 , x3 , ?? 取每个值的概率为

P(?? ? x1 ) ? P (取出的球号码小于 5)=

5 , 10 1 P(?? ? x2 ) ? P (取出的球号码等于 5)= , 10 4 P(?? ? x3 ) ? P (取出的球号码大于 5)= . 10

故 ?? 的分布列为

??
P

x1

x2
1 10

x3

1 2

2 5

小结:分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础,因此准确写出随机变量的分 布列是很重要的,但是我们不能保证它的准确性,这时我们要注意运算的准确性外,还可以

-3-

利用

?p
i ?1

n

i

? 1 进行检验.

求随机变量的分布列
例 一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以 ?? 表示取出的

3 只球中的最大号码,写出随机变量 ?? 的分布列. 分析:由于任取三个球,就不是任意排列,而要有固定的顺序,其中球上的最大号码只 有可能是 3,4,5,可以利用组合的方法计算其概率. 解:随机变量 ?? 的取值为 3,4,5. 当 ?? =3 时,即取出的三只球中最大号码为 3,则其他二球的编号只能是 1,2,故有

P (?? ? 3) ?

2 C3 1 ? ; C 3 10 5

当 ?? =4 时,即取出的三只球中最大号码为 4,则其他二球只能在编号为 1,2,3 的 3 球 中取 2 个,故有

P (?? ? 4) ?

2 C3 3 ? ; 3 C 5 10

当 ?? =5 时,即取出的三只球中最大号码为 5,则其他二球只能在编号为 1,2,3,4 的 4 球中取 2 个,故有

P(?? ? 5) ?
因此, ?? 的分布列为

2 C3 6 3 ? ? . C 3 10 5 5

??
P

3

4

5

1 10

3 10

6 10

说明:对于随机变量 ?? 取值较多或无穷多时,应由简单情况先导出一般的通式,从而简化 过程.

取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列

-4-

例 一批零件中有 9 个合格品与 3 个不合格品.安装机器时,从这批零件中任取一个.如 果每次取出的不合格品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列. 分析:取出不合格品数的可能值是 0,1,2,3,从而确定确定随机变量的可能值. 解:以 ?? 表示在取得合格品以前取出的不合格品数,则 ?? 是一个随机变量,由题设 ?? 可能 取的数值是 0,1,2,3. 当 ?? =0 时,即第一次就取到合格品,其概率为

P(?? ? 0) ?

3 ? 0.750; 12

当 ?? =1 时,即第一次取得不合格品,不放回,而第二次就取得合格品,其概率为

P(?? ? 1) ?

3 9 ? ? 0.204; 12 11

当 ?? =2 时,即第一、二次取得不合格品,不放回,第三次取得合格品,其概率为

P(?? ? 2) ?

3 2 9 ? ? ? 0.041; 12 11 11

当 ?? =3 时,即第一、二、三次均取得不合格品,而第四次取得合格品,其概率为

P(?? ? 3) ?
所以 ?? 的分布列为

3 2 1 9 ? ? ? ? 0.005 . 12 11 10 9

??
P

0 0.750

1 0.204

2 0.041

3 0.005

说明:一般分布列的求法分三步: (1)首先确定随机变量 ? 的取值哟哪些; (2)求出每种 取值下的随机事件的概率; (3)列表对应,即为分布列.

关于取球的随机变量的值和概率
例 袋中有 1 个红球,2 个白球,3 个黑球,现从中任取一球观察其颜色.确定这个随机 试验中的随机变量,并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率. 分析:随机变量变量是表示随机试验结果的变量,随机变量的可能取值是随机试验的所 有可能的结果组成. 解: 设集合 M ? {x1 , x2 , x3} ,其中 x1 为“取到的球为红色的球” x2 为“取到的球为白 , 色的球” x3 为“取到的球为黑色的球” , . 我们规定: ?? ? ??( xi ) ? i(i ? 1,2,3) ,即当 x ? xi 时, ??( x) ? i ,这样,我们确定 ??(x ) 就 是一个随机变量, 它的自变是量 x 取值不是一个实数, 而是集合 M 中的一个元素, x ? M , 即

-5-

而随机变量 ?? 本身的取值则为 1,2,3 三个实数,并且我们很容易求得 ?? 分别取 1,2,3 三个 值的概率,即

1 2 1 3 1 P(?? ? 1) ? , P(?? ? 2) ? ? , P(?? ? 3) ? ? . 6 6 3 6 2
说明:确定随机变量的取值是根据随机试验的所有可能的结果.

-6-


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