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江西省宜春市高安二中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年江西省宜春市高安二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合{A=x|1<x<2},{B=x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是( A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2}



2. 设 f(x)

= A.2 B.3 C.9 D.18

,则 f[f(2)]=(



3. 已知 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,若 1 和 8 的原象分别是 3 和 10,则 5 在 f 下的象是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4. 设 a=logπ3,b=2 ,c=log2 ,则(
0.3



A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 5. 若 f(x)是偶函数,其定义域为(﹣∞,+∞) ,且在[0,+∞)上是减函数,则 的大小关系是( A. C. > < B. D. ) ≥ ≤

6. 已知函数 f(x)=

(a∈R) ,若 f[f(﹣1)]=1,则 a=(



A.

B.

C.1

D.2
x

7. 函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的大 致图象是( )

A.

B.

C.

D. ,且在(0,+∞)

8. (2015 秋?滕州市期中)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 上单调递减,则 xf(x)>0 的解集为( A. C. B. D. )

9. (2014?埇桥区校级学业考试)如图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为四个几何体的三视图,根据 三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 10. (2015?大连模拟)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=2x ﹣1,则 f(1) 的值为( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 11. (2010?香坊区校级一模)用二分法求函数 f(x)=lgx+x﹣3 的一个零点,根据参考数据, 可得函数 f(x)的一个零点的近似解(精确到 0.1)为( ) (参考数据:lg2.5≈0.398, lg2.75≈0.439,lg2.5625≈0.409) A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.56
2

12. (2015?山东模拟)函数 y=

的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2014 秋?合肥校级期末)函数 f(x)= . 14. (2011 秋?成都期末)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形 (如图) , ∠ABC=45°, AB=AD=1, DC⊥BC, 则这块菜地的面积为 . 的定义域为

15. 已知函数 f(x)= 实数 k 的取值范围为 .

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有 3 个不同的实根,则

16. 下面命题: ①幂函数图象不过第四象限; 0 ②y=x 图象是一条直线; x ③若函数 y=2 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}; ④若函数 的定义域是{x|x>2},则它的值域是
2



⑤若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}, 其中不正确命题的序号是 .

三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分) 17. (2008 秋?济南期末)计算下列各式: (1) ;

(2)



18. (2012 秋?荣成市期中) 已知函数 f (x) = <x<10},C={x∈R|x<a 或 x>a+1} (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=R,求实数 a 的取值范围. 19. (2014 秋?郑州期末)已知函数 .

的定义域为集合 A, B={x∈Z|2

(Ⅰ)若 g(x)=f(x)﹣a 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)试判断 f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明. 20. 根据市场调查,某商品在最近的 40 天内的价格 f(t)与时间 t 满足关系 ,销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t)= ﹣t+50(0≤t≤40,t∈N) ,设商品的日销售额的 F(t) (销售量与价格之积) , (Ⅰ)求商品的日销售额 F(t)的解析式; (Ⅱ)求商品的日销售额 F(t)的最大值. 21. (2014 秋?平南县期末)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5]. (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数; (2)若 a≥1,用 g(a)表示函数 y=f(x)的最小值,求 g(a)的解析式. 22. 函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .
2

(1)确定函数 f(x)的解析式; (2)试判断 f(x)在(﹣1,1)的单调性,并予以证明; (3)若 f(t﹣1)+f(t)<0,求实数 t 的取值范围.

2015-2016 学年江西省宜春市高安二中高一(上)期中数 学试卷(平行班)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设集合{A=x|1<x<2},{B=x|x<a},若 A?B,则 a 的取值范围是( A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题. 【分析】在数轴上画出图形,结合图形易得 a≥2. 【解答】解:在数轴上画出图形易得 a≥2.



故选 A. 【点评】本题考查集合的包含关系,解题时要作出图形,结合数轴进行求解.

2. 设 f(x)= A.2 B.3 C.9 D.18 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由已知得 f(2)=

,则 f[f(2)]=(



,由此能求出 f[f(2)]=f(1)=2e

1﹣1

=2.

【解答】解:∵f(x)= ∴f(2)=
1 ﹣1





f[f(2)]=f(1)=2e =2. 故选:A. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合 理运用. 3. 已知 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,若 1 和 8 的原象分别是 3 和 10,则 5 在 f 下的象是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】映射. 【专题】简易逻辑.

【分析】A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射,1 和 8 的原象分别是 3 和 10,可以根据象与原像的关系满足 f(x)=ax+b,列出不等式求出 a,b 的值,进而得到 答案. 【解答】解:A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b 是从 A 到 B 的映射, 又 1 和 8 的原象分别是 3 和 10, ∴ 解得: , ,

即 f:x→y=x﹣2 5 在 f 下的象可得 f(5)=1×5﹣2=3, 故选 A; 【点评】 此题主要考查映射的定义及其应用, 注意象与原象的对应关系, 此题是一道基础题;
0.3

4. 设 a=logπ3,b=2 ,c=log2 ,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到. 【解答】解:∵0<a=logπ3<1,b=2 >1,c=log2 <0, ∴c<a<b. 故选:D. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 5. 若 f(x)是偶函数,其定义域为(﹣∞,+∞) ,且在[0,+∞)上是减函数,则 的大小关系是( A. C. > < B. D. ) ≥ ≤
0.3

【考点】函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题. 【分析】先根据偶函数将 f( )转化成 f( ) ,在同一个单调区间上比较 a +2a+ 与 的
2

大小,再根据函数的单调性进行判定即可. 【解答】解:∵f(x)是偶函数 ∴f(
2

)=f( )
2

而 a +2a+ ﹣ =(a+1) ≥0

∴a +2a+ ≥ >0 ∵函数 f(x)在[0,+∞)上是减函数 ∴ ≥

2

故选 B 【点评】本题主要考查了函数单调性的应用,以及函数奇偶性的判断,属于基础题

6. 已知函数 f(x)=

(a∈R) ,若 f[f(﹣1)]=1,则 a=(



A.

B.

C.1

D.2

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据条件代入计算即可. 【解答】解:∵f[f(﹣1)]=1, ∴f[f(﹣1)]=f(2 ∴ .
﹣(﹣1)

)=f(2)=a?2 =4a=1

2

故选:A. 【点评】本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基 础题. 7. 函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的大 致图象是( )
x

A. B. C. D. 【考点】指数函数的图像变换. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据一元二次函数的图象确定 a,b 的取值范围,即可得到结论. 【解答】解:由图象可知 0<a<1,b<﹣1, x 则 g(x)=a +b 为减函数, g(0)=1+b<0, 则对应的图象为 B, 故选:B 【点评】 本题主要考查函数的图象识别和判断, 利用一元二次函数和指数函数的图象和性质 是解决本题的关键.

8. (2015 秋?滕州市期中)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 上单调递减,则 xf(x)>0 的解集为( A. C. B. D. )

,且在(0,+∞)

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由已知中 f ( )=0,且在(0,+∞)上单调递减,可得 f (﹣ )=0,且在区间 (﹣∞,0)上单调递减,分类讨论后,可得 xf(x)>0 的解集 【解答】解:∵函数 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f ( )=0, ∴f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减, ∵当 x<0,当﹣ <x<0 时,f(x)<0,此时 xf(x)>0 当 x>0,当 0<x< 时,f(x)>0,此时 xf(x)>0 综上 xf(x)>0 的解集为 故选 B 【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,体现了转化的数学思想,判断出 f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减是解题的关键.

9. (2014?埇桥区校级学业考试)如图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为四个几何体的三视图,根据 三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】三视图复原,判断 4 个几何体的形状特征,然后确定选项. 【解答】解:如图(1)三视图复原的几何体是放倒的三棱柱; (2)三视图复原的几何体是四棱锥; ( 3)三视图复原的几何体是圆锥; (4)三视图复原的几何体是圆台. 所以(1) (2) (3) (4)的顺序为:三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台. 故选 C. 【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查视图能力,是基础题. 10. (2015?大连模拟)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=2x ﹣1,则 f(1) 的值为( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可. 【解答】解:函数 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=2x ﹣1, 2 则 f(1)=﹣f(﹣1)=﹣(2×1 ﹣1)=﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用,函数值的求法,考查计算能力. 11. (2010?香坊区校级一模)用二分法求函数 f(x)=lgx+x﹣3 的一个零点,根据参考数据, 可得函数 f(x)的一个零点的近似解(精确到 0.1)为( ) (参考数据:lg2.5≈0.398, lg2.75≈0.439,lg2.5625≈0.409) A.2.4 B.2.5 C.2.6 D.2.56 【考点】二分法求方程的近似解. 【专题】计算题. 【分析】 本题考查的是二分法求方程的近似解的问题. 在解答时可以先根据函数的特点和所 给的数据计算相关的函数值,再结合零点存在性定理即可获得解答. 【解答】解:由题意可知:f(2.5)=lg2.5+2.5﹣3=0.398﹣0.5<0, f(2.5625)=lg2.5625+2.5625﹣3=0.409﹣0.4375<0, f(2.75)=lg2.75+2.75﹣3=0.439﹣0.25>0 又因为函数在(0,+∞)上连续,所以函数在区间(2.5625,2.75)上有零点. 故选 C. 【点评】 本题考查的是二分法求方程的近似解的问题. 在解答的过程当中充分体现了观察分 析数据的能力、问题转化的能力以及运算的能力.值得同学们体会反思.
2 2

12. (2015?山东模拟)函数 y=

的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】当 x>0 时, ,当 x<0 时, ,作出函数图象为 B. 【解答】解:函数 y= 当 x>0 时, 当 x<0 时, 的图象关于原点对称. 故选 B 【点评】本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质,考查了分段函数的图象及图象变换的 能力. 二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2014 秋?合肥校级期末)函数 f(x)= 的定义域为 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称. , ,此时函数图象与当 x>0 时函数

(﹣2,1] . 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题. 【分析】根据二次根式的定义可知 1﹣x≥0 且根据对数函数定义得 x+2>0,联立求出解集即 可. 【解答】解:因为 f(x)= ,根据二次根式定义得 1﹣x≥0①,根据对

数函数定义得 x+2>0② 联立①②解得:﹣2<x≤1 故答案为(﹣2,1] 【点评】 考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量 x 的取值范围. 会求不等 式的解集. 14. (2011 秋?成都期末)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图) ,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 2+ .

【考点】平面图形的直观图. 【专题】计算题. 【分析】求出直观图中,DC,BC,S 梯形 ABCD,然后利与用平面图形与直观图形面积的比是 ,求出平面图形的面积. 【解答】解:DC=ABsin 45°= ,BC=ABsin 45°+AD= ) = + , +1,

S 梯形 ABCD= (AD+BC)DC= (2+ S= S 梯形 ABCD=2+ .

故答案为:2+ 【点评】 本题考查斜二测画法, 直观图与平面图形的面积的比例关系的应用, 考查计算能力.

15. 已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有 3 个不同的实根,则

实数 k 的取值范围为 (1,2] . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】作图题;数形结合;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意作函数 f(x)的图象,由图象得到. 【解答】解:作函数 f(x)=f(x)= 的图象如图,

则由图象可知,1<k≤2, 故答案为(1,2]. 【点评】本题考查了分段函数的图象和作法和函数零点与图象的交点的关系,属于基础题.

16. 下面命题: ①幂函数图象不过第四象限; ②y=x 图象是一条直线; x ③若函数 y=2 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}; ④若函数 的定义域是{x|x>2},则它的值域是
2 0



⑤若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}, 其中不正确命题的序号是 ②③④⑤ . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】定义法;函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】根据函数的性质以及函数定义域值域等性质分别进行判断即可. 【解答】解:①幂函数图象不过第四象限,正确; ②y=x 图象是一条直线,错误,函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,函数的图象为 两条射线; x ③若函数 y=2 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|0<y≤1};错误 ④若函数 的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|0<y< };故错误;
2 0

⑤若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2},错误,当定义域为 {x|0≤x≤2}时,值域也是{y|0≤y≤4}, 故不正确命题的序号②③④⑤, 故答案为:②③④⑤ 【点评】本题主要考查命题的真假判断,利用函数的性质以及函数定义域,值域,单调性的 性质是解决本题的关键. 三、解答题(本题共 6 道小题,共 70 分) 17. (2008 秋?济南期末)计算下列各式: (1) ;

(2)



【考点】有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】 (1)将各项的底数化为幂的形式,利用指数的运算法则求解即可. (2)将 化为 3 的分数指数幂形式,将 lg25+lg4 利用对数的运算法则化为 lg100=2,

由对数的意义知为 2,结果可求出.

【解答】解: (1)原式=

= = =

(2)原式=

= = 【点评】本题考查指数和对数的运算法则、根式和分数指数幂的互化、对数恒等式等知识, 考查运算能力. 18. (2012 秋?荣成市期中) 已知函数 f (x) = <x<10},C={x∈R|x<a 或 x>a+1} (1)求 A, (?RA)∩B; (2)若 A∪C=R,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算;函数的定义域及其求法. 【专题】综合题;转化思想;对应思想;综合法. 【分析】 (1)先求出集合 A,化简集合 B,根据 根据集合的运算求, (CRA)∩B; (2)若 A∪C=R,则可以比较两个集合的端点,得出参数所满足的不等式解出参数的取值 范围. 【解答】解: (1)由题意 ,解得 7>x≥3,故 A={x∈R|3≤x<7}, 的定义域为集合 A, B={x∈Z|2

B={x∈Z|2<x<10}═{x∈Z|3,4,5,6,7,8,9}, ∴(CRA)∩B{7,8,9} (2)∵A∪C=R,C={x∈R|x<a 或 x>a+1} ∴ 解得 3≤a<6

实数 a 的取值范围是 3≤a<6 【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是理解集合运算的意义,能借助 数轴等辅助工具正确判断两个集合的关系及相应参数的范围, 本题中取参数的范围是一个难 点,易因为错判出错,求解时要注意验证等号能否成立.

19. (2014 秋?郑州期末)已知函数



(Ⅰ)若 g(x)=f(x)﹣a 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)试判断 f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (I)根据 f(x)表达式,得 g(x)= ,再根据奇函数的定义采用比较系数

法即可求出实数 a 的值. (II)设 0<x1<x2,将 f(x1)与 f(x2)作差、因式分解,得 f(x1)<f(x2) ,结合函数 奇偶性的定义得到函数 f(x)在(0,+∞)内是单调增函数. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴g(x)=f(x)﹣a= ∵g(x)是奇函数, ∴g(﹣x)=﹣g(x) ,即 解之得 a=1.…(5 分) (Ⅱ)设 0<x1<x2,则 = ∵0<x1<x2, ∴x1﹣x2<0,x1x2>0,从而 , (11 分) . (9 分) , ,…(2 分)

即 f(x1)<f(x2) . 所以函数 f(x)在(0,+∞)内是单调增函数. (12 分) 【点评】本题给出含有分式的基本初等函数,讨论函数的单调性与奇偶性质.着重考查了函 数的奇偶性的定义和用定义法证明单调性等知识,属于基础题. 20. (12 分) 根据市场调查,某商品在最近的 40 天内的价格 f(t)与时间 t 满足关系 ,销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t)= ﹣t+50(0≤t≤40,t∈N) ,设商品的日销售额的 F(t) (销售量与价格之积) , (Ⅰ)求商品的日销售额 F(t)的解析式; (Ⅱ)求商品的日销售额 F(t)的最大值. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)根据题设条件,由商品的日销售额 F(t)=f(t)g(t) ,能够求出 F(t)的 解析式. 2 2 (Ⅱ)当 0≤t<20,t∈N 时,F(t)=﹣t +30t+100=﹣(t﹣15) +1225.当 t=15 时,F(t) 2 2 max=1225;当 20≤t≤40,t∈N 时,F(t)=t ﹣92t+2100=(t﹣46) ﹣16,当 t=20 时,F(t) max=660.由此能求出商品的日销售额 F(t)的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)据题意,商品的日销售额 F(t)=f(t)g(t) ,





即 F(t)= (Ⅱ)当 0≤t<20,t∈N 时,



F(t)=﹣t +30t+1000=﹣(t﹣15) +1225, ∴当 t=15 时,F(t)max=1225; 当 20≤t≤40,t∈N 时, 2 2 F(t)=t ﹣92t+2100=(t﹣46) ﹣16, ∴当 t=20 时,F(t)max=660 综上所述,当 t=15 时, 日销售额 F(t)最大, 且最大值为 1225. 【点评】本题考查函数在生产实际中的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数 与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.解题 时要注意配方法的灵活运用. 21. (12 分) (2014 秋?平南县期末)已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5]. (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[﹣5,5]上是单调函数; (2)若 a≥1,用 g(a)表示函数 y=f(x)的最小值,求 g(a)的解析式. 【考点】二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据 f(x)在[﹣5,5]上是单调函数,得出﹣a≤﹣5 或﹣a≥5,求解即可. (2)根据题意得出当﹣5≤﹣a≤﹣1,当﹣a<﹣5 时,分类讨论求解即可. 2 【解答】解: (1)函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[﹣5,5]的对称轴为 x=﹣a, ∵f(x)在[﹣5,5]上是单调函数. ∴﹣a≤﹣5 或﹣a≥5, 得出:a≥5 或 a≤﹣5, (2)∵a≥1, ∴﹣a≤﹣1, 当﹣5≤﹣a≤﹣1, 即 1≤a≤5 时, 2 f(x)min=f(﹣a)=2﹣a , 即 a>5,f(x)min=f(﹣5)=27﹣10a, ∴g(a)= 【点评】本题考查了函数的性质,得出不等式组求解即可,关键是利用性质转化不等式组求 解,属于中档题. 22. (12 分) 函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .
2

2

2

(1)确定函数 f(x)的解析式; (2)试判断 f(x)在(﹣1,1)的单调性,并予以证明; (3)若 f(t﹣1)+f(t)<0,求实数 t 的取值范围. 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)由题意可得,f(﹣x)=﹣f(x) ,代入可求 b,然后由 而可求函数解析式 (2)对函数求导可得,f′(x)= ,结合已知 x 的范围判断导函数的正负即可判 可求 a,进

断函数 f(x)在(﹣1,1)上的单调性 (3)由已知可得 f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t) ,结合函数在(﹣1,1)上单调递增可求 t 的范围 【解答】 (1)解:∵函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) 即 ∴﹣ax+b=﹣ax﹣b ∴b=0 ∵ 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,



∴a=1 ∴

(2)证明:∵f′(x)=

∵﹣1<x<1 时,

>0

∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数 (没有学习导数的也可利用函数的单调性的定义) (3)解:∵f(t﹣1)+f(t)<0,且函数为奇函数 ∴f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t) , 由(2)知函数在(﹣1,1)上单调递增 ∴﹣1<t﹣1<﹣t<1

∴ 【点评】 本题主要考查了奇函数的定义的应用及待定系数求解函数的解析式, 及函数的单调 性在不等式的求解中的应用


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