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2016高考数学理科全国2卷试题加解析


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 2

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

/>第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.
(1)已知 z ? (m ? 3) ? (m ? 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是

, (B) (?1, ? 3) 3) (C) (1, +?) (D) (-?, (A) (?31)
(2)已知集合 A ? {1, 2,3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ?

1, 2, 3} (D) {?1, 0, 1, 2, 3} , 2} (C) {0, (A) {1} (B) {1
(3)已知向量 a ? (1, m),b =(3, ?2) ,且 (a + b ) ? b ,则 m= (A)-8(B)-6
2 2

(C)6

(D)8

(4)圆 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a=

4 3 ? (A) 3 (B) 4 (C) 3 (D)2 ?
(5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动, 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24 (B)18 (C)12 (D)9

1

(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积 为 (A)20π (B)24π (C)28π (D)32π π (7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度,则评议后图象的对称 12 轴为 kπ π (A)x= – (k∈Z) 2 6 kπ π (B)x= + (k∈Z) 2 6 kπ π (C)x= – (k∈Z) 2 12 kπ π (D)x= + (k∈Z) 2 12 (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序 框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34

π 3 (9)若 cos( –α )= ,则 sin 2α = 4 5 7 (A) 25 1 (B) 5 1 (C)– 5 7 (D)– 25

(10) 从区间 0,1 随机抽取 2n 个数

? ?

x1 , x2 , x y y …,yn , …, n , 1 , 2 , 构成 n 个数对

? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似
值为

4n ( A) m

2n (B) m

4m (C) n

2m (D) n

x2 y 2 1 (11)已知 F1,F2 是双曲线 E 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,M F1 与 x 轴垂直,sin ?MF2 F1 ? ,则 3 a b
E 的离心率为 ( A) 2

(B)

3 2

(C) 3

(D)

?R ) ) 若 函 数 y ? x ? 1 与 y ? f ( x) 图 像 的 交 点 为 ( 12 ) 已 知 函 数 f ( x) ( x 满 足 f ( ? x) ? 2 ? f ( x ,
x
2

( x1, y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xm , ym ), 则 ? ( xi ? yi ) ?
i ?1

m

(A)0

(B)m

(C)2m

(D)4m

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分 4 5 (13)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b=. 5 13
(14)α、β 是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果 α∥β,m ? α,那么 m∥β. (4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号) (15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我 与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的 卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是。 (16)若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+2)的切线,则 b=。

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分)

,S7 ? 28. 记 bn = ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 an =1

?0.9? =0, ?lg99? =1 .
(I)求 b1,b11,b101 ; (II)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和.

3

18.(本题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的 出险次数的关联如下: 上年度出 险次数 保费 一年内出 险次数 概率 0 0.85a 0 0.30 1 a 1 0.15 2 1.25a 2 0.20 3 1.5a 3 0.20 4 1.75a 4 0.10

?5
2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

?5
0. 05

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF= 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ D?EF 的位置, OD? ? 10 . (I)证明: D ?H ? 平面 ABCD; (II)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

5 ,EF 交 BD 4

4

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E: MA⊥NA. (I)当 t=4, AM ? AN 时,求△AMN 的面积; (II)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上, t 3

(21)(本小题满分 12 分) (I)讨论函数 f (x) ?

x?2 x e 的单调性,并证明当 x >0 时, ( x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0; x?2

e x ? ax ? a g x) = ( x ? 0) 有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a) ,求函数 h(a) 的值域. (II)证明:当 a ? [0,1) 时,函数 ( x2

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 5

(22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:集合证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合),且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,E,F 四点共圆; (II)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积. (23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为(x+6)
2

+y2=25.
的极坐标方 AB ∣ = ,求 l

(I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 程; (II)直线 l 的参数方程是(t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点,∣ 的斜率。 (24)(本小题满分 10 分),选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x-∣+∣x+∣,M 为不等式 f(x) <2 的解集. (I)求 M; (II)证明:当 a,b∈M 时,∣a+b∣<∣1+ab∣。

参考答案: 6

1 A 13.

2 C

3 D

4 A 15.1 和 3 的公差为

5 B

6 C

7 B

8 C

9 D

10 C

11 A

12 B

21 13

14.??④

16. 1 ? ln 2 ,据已知有 ,解得

17.试题解析:(Ⅰ)设 所以 的通项公式为

(Ⅱ)因为 所以数列 的前 项和为

18.(Ⅰ)设 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 发生当且仅当一年内出险次数大于
1,故 (Ⅱ)设 大于 3,故 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”,则事件 发生当且仅当一年内出险次数



,故

因此所求概率为

(Ⅲ)记续保人本年度的保费为

,则

的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为

19.(I)由已知得



,又由



,故

.

7

因此

,从而

.由

,



.





.所以



.

于是







.



,而



所以

.

(II)如图,以 ,

为坐标原点, ,

的方向为 轴的正方向,建立空间直角坐标系 , , ,

,则 ,

, .设

是平面

的法向量,则

,即

,所以可以取

.设

是平面

的法向量,则

,即

,所以可以取

.于是



.因此二面角

的正弦值是

.

20.(I)设

,则由题意知

,当

时,

的方程为



.

由已知及椭圆的对称性知,直线

的倾斜角为

.因此直线

的方程为

.



代入



.解得



,所以

.

8

因此 (II)由题意

的面积 , , .

.

将直线

的方程

代入



.





,故

.

由题设,直线

的方程为

,故同理可得



由 当

得 时上式不成立,

,即

.

因此

.

等价于





.由此得 .

,或

,解得

.

因此 的取值范围是

21.(Ⅰ)

的定义域为

.

且仅当 因此当 所以

时, 时,

,所以



单调递增,

(II) 由(I)知, 因此,存在唯一 单调递增,对任意 使得 即 ,

9

当 当 因此

时, 时, 在

单调递减; 单调递增. 处取得最小值,最小值为

于是

,由

单调递增

所以,由



因为

单调递增,对任意

存在唯一的

使得

所以

的值域是

综上,当 22(I)因为

时, ,所以





的值域是

则有 所以 由此 (II)由 由 为 由此可得 所以 四点共圆, 斜边 的面积 的中点,知 是 面积 知 ,故 的 2 倍,即 四点共圆. ,连结 ,

因此四边形

10

23(I)由

可得

的极坐标方程

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得

于是







所以 的斜率为



.

24(I)



时,由



解得





时,



当 所以

时,由 的解集



解得 . 时,

.

(II)由(I)知,当

,从而

11

, 因此

12


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