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茂名市2014年第一次高考模拟考试(理数)


茂名市 2014 年第一次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;

如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回。 参考公式:①柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ②锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1、若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}, 则集合 A∩B=( A. { x -1< x <1} B. { x -2< x <1} C. { x -2< x <2} ) C.第三象限 ) 条件 D.非充分非必要 ) D.56 ) D.第四象限 ) D. { x 0< x <1}

2、在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限

3、设条件 p : a ? 0 ;条件 q : a 2 ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的( A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分且必要

4、设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13, 则数列 {an } 前 8 项和为( A.128 B.80 C.64

(1,- 2) 5、顶点在原点,准线与 x 轴垂直,且经过点 的抛物线方程是(
A. y 2 ? ?2 x B. y 2 ? 2 x C. x 2 ? 2 y D. x 2 ? ?2 y

1

6、某程序框图如图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是( A. f ( x) ? x
2

开始



输入函数

f ( x)


C. f ( x) ? ex

1 B. f ( x ) ? x D. f ( x) ? sin x

f ( x) ? f ( ? x) ? 0


7、已知函数 f ( x) ? lg x -sinx,则 f ( x) 在(0,+∞)上 的零点个数为( ) A.2 B.3

f ( x) 存在零点?
C. 4 D. 无数个 是
输出函数



8、 定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A, B, M ? x, y ? 是f ? x ? 图 象上任意 一点, 其中

f ( x)

结束

???? ? ???? ??? ? ??? ? x ? ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ?[0,1]? ,向量ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ,若不等式 MN ? k 恒成
立,则称函数 f ? x ? 在? a, b? 上“k 阶线性近似”. 若函数 y ? x ? 性近似” ,则实数 k 的取值范围为( A. ?0, ? ?? B. ?1 , ? ?? ) C. ? ? 2, ? ??

1 在 ?1, 2? 上“k 阶线 x

?3 ?2

? ?

D. ? ? 2, ? ??

?3 ?2

? ?

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题(本题共 6 小题,第 14、15 题任选一道作答,多选的按 14 小题给分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题)

? ? ? ? 9、已知 a ? (1,2) , b ? (k , ?2) ,若 a ? b ,则 k ?

10、右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体
的表面积 是___________ ...

11、 (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

12、已知函数 y ? x 2 与 y ? kx(k ? 0) 的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为

4 ,则 k=_______. 3

?x ? 0 ? 13、在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区 ? y ? ?n( x ? 4) ?

12 题图

域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an (n ? N ? ) . 则 a1 = ,经推理可得到 a n =
2



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计第一题的分)
14、 (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的参数方程为:?

? x ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的 ? y ? 1 ? 4t
.
B O A D C

极坐标方程为 ? ? 2cos ? , 则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为

15、 (几何证明选讲选做题) 已知圆 O 的半径为 3 ,从圆 O 外一 点 A 引 切线 AD 和割线 ABC ,圆心 O 到 AC 的距离为 2 2 , AB ? 3 ,则切 线 AD 的长为____________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过
程或演算步骤, ) 16、 (本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? 2b sin A 。 (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 3, c ? 5 ,求 ?ABC 的面积及 b .

(15 题图)

17、 (本小题满分 12 分) 某校高一年级 60 名学生参加数学竞赛,成绩全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩 分成以下 6 段:[40,50), [50, 60), [60, 70), [70,80), [80,90), [90,100] ,据此绘制了如 图所示的频率分布直方图. (1)求成绩在区间 [80,90) 的频率; (2) 从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生, 其中成绩在[90, 100]内的学生人 0.015 数为ξ ,求ξ 的分布列与均值.
0.005 0 分数 40 50 60 70 80 90 100 0.020 0.045 频率/组距

18、 (本小题满分 14 分) 设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (1) 若 {an } 为公比为 q 的等比数列, 写出并推导 Sn 的计算公式;
n (2)若 an ? 2 , bn ? n log 2 ( Sn ? 2) ,求证:

1 1 1 ? ? .... ? <1。 b1 b2 bn

3

19、 (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,AB∥DC, ?ABC ? 90 ,
0

且 PA ? AB ? BC ?

1 1 CD , EB ? PE 。 2 2

(1)求证:PD∥平面 AEC。 (2)求二面角 A ? CE ? P 的余弦值。

20、 (本小题满分 14 分) 已知双曲线 x
2

? y 2 ? 1的焦点与椭圆 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点重合,且该椭圆
a b

2

2

的长轴长为 4,M、N 是椭圆上的的动点. (1)求椭圆标准方程; (2)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 , 2

求证:存在定点 F1 , F2 ,使得 PF1 ? PF2 为定值,并求出 F1 , F2 的坐标; (3)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴的射影为 A ,连接 NA 并 延长交椭圆于点 B ,求证:以 NB 为直径的圆经过点 M 。

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x (a ? R且a ? 0) 2

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调递增区间; ( 2 )记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两 点.如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ?

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切 2

线平行于直线 AB ,则称函数 F ( x ) 存在“中值相依切线” ,试问:函数 f ( x) 是否存在“中 值相依切线” ,请说明理由.

4

参考答案
5

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 D
4

2 B
y

3 A

4 C

5 B

6 D

7 B

8 C

3

提示: 7 、如图,可知答案为 B. 2
m(x) = 1
1

h(x) = log(x)
x
4 2 2 4 6 8 10 12

g(x) = sin(x)
1

8、由题意知,点 M , N2 的横坐标相等,由 MN ? k 恒成立,即 k ? MN 的最大值, 由 N 在线段 AB 上,得 A(1, 0), B(2, ) ,因此 AB 的方程为 y ?
3 4

???? ?

???? ?

???? ? 1 3 3 x 1 3 由图象可知: MN ? x ? ? ( x ? 1) ? ? ( ? ) ? ? 2 ,故选 C x 2 2 2 x 2
5

3 2

3 ( x ? 1) , 2

二 填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9 、4; 10 、 12? ;

11 、 ? 20 ;

12 、2



13、6,(第一空 2 分),6n(第二空 3 分) ; 14、

3 5 5

15、

15 ;

13 题第二问解析:由 x ? 0, y ? 0, 4n ? nx ? 0 ,得 0 ? x ? 4 ,所以 x ? 1或2或3 ,

,x ? 2, x ? 3 上,记直线 y ? 4n ? nx 为 l , 因此 Dn 内的整点在直线 x ? 1
l 与直线 x ? 1,x ? 2, x ? 3 的交点的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 ,
则 y1 ? 4n ? n ? 3n, y2 ? 4n ? 2n ? 2n, y3 ? 4n ? 3n ? n, ,所以得 an ? 6n (n ? N ? ) . 三、解答题(共 80 分) bn i s A 16、解: (1) 、? a ? 2 ,由正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ??????2 分

由于 sin A ? 0, ??????????????????????3 分
故有 sin B ? 1 2
???????????????????????4 分 ???????????????????????5 分

又? B是锐角,

? B ? 300 ????????????????????????6 分
(2)依题意得: S ?ABC ?

1 ac sin 300 2

????????????????7 分

5

1 1 15 3 ????????????8 分 ? ? 3 3 ? 5? ? 2 2 4

?由余弦定理b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B可得 ?????????????????9 分
2 0 b2 ? ( 3 3 2 )? 5 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 c o?? s 3 0??????????????10 分

=27+25-45=7????????????????????????????11 分

?b ? 7

??????????????????????????????12 分

17、解: (1)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

???????3 分

(2)由已知和(1)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 60 ? 0.1 ? 6 人, 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 60 ? 0.005 ? 10 ? 3 人,???????4 分 依题意,ξ 可能取的值为 0,1,2,3 ???????5 分
2 6 1 3

则P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

C C C 15 5 ? , P(? ? 1) ? ? , 3 C 42 C9 28

3 6 3 9

1 2 3 C6 C3 C3 3 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? ...................9分 3 3 C9 14 C9 84

所以ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

5 42

15 28

3 14

1 84

............................................................................10 分 则均值 Eξ = 0 ?

5 15 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 42 28 14 84

...............................12 分

(q ? 1) (q ? 1) ?na1 ?na1 ? ? n 18、解:(1) Sn ? ? a1 (1 ? q ) ? ???3 分 或Sn ? ? a1 ? an q (q ? 1) ? 1? q ? 1 ? q (q ? 1) ? ? a ?a q a (1 ? q n ) 或Sn ? 1 n 不写 q ? 1 (注:只要写对其中一个公式便算对,直接写 Sn ? 1 1? q 1? q 的扣 1 分)
证明:因为 Sn ? a1 ? a2 ? ..... ? an 所以 Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ..... ? a1qn?1 ① ??????????????????4 分 将①式乘以公比 q ,可得 qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ..... ? a1q n ② ??????5 分 ①-②得: (1 ? q) Sn ? a1 ? a1q n ????????????????????6 分

6

所以当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) ????????????????????7 分 1? q

当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a1 ? ..... ? a1 ? na1 ?????????????????8 分

(q ? 1) ?na1 ? 因此 Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ??????????????????????9 分 ( q ? 1) ? 1? q ?
(注:由于证明等比数列前 n 项和 S n 公式的方法比较多,其它方法按相应的步骤给分) (2)证明:因为 an ? 2n , 所以 a1 ? 2 , Sn ? a1 ? a2 ? .... ? an ?

a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2n ) ? ? 2n ?1 ? 2 ?????10 分 1? q 1? 2

所以 bn ? n log2 (Sn ? 2) ? n log2 (2n?1 ? 2 ? 2) ? n(n ? 1) ??????????11 分 因此

1 1 1 1 ? ?( ? ) ????????????????????13 分 bn n(n ? 1) n n ?1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? .... ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ..... ? ( ? ) ? 1? ? 1 ????14 分 b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

19、解: (1)连结 BD,交 AC 于点 M,连结 EM, 1 BM AB 1 ∵AB∥DC, AB ? CD , ∴ ? ? ??1 分 2 MD CD 2 又 ∵

BE 1 ? , ∴ PE 2

BM BE ? MD PE

????2 分 ??????3 分 ??4 分

∴ 在△BPD 中, PD // EM

? PD ? 平面AEC, EM ? 平面AEC
∴ PD ∥平面 EAC

??????????5 分

(2)方法一:以 A 为原点, AB, AP 所在直线分别为 y 轴、 z 轴,如图建立空间直角坐标系. ????? 6 分

设 PA ? AB ? BC ? a ,则 A? 0,0,0 ? , B ? 0, a,0? , C ? a, a,0? ,

? 2a a ? P ? 0,0, a ? , E ? 0, , ? . ? 3 3?

????? 7 分

7



n1 ? ( x, y,1) 为平面 EAC 的一个法向量,

?ax ? ay ? 0, ? 则 n1 ? AC , n1 ? AE ,∴ ? 2ay a , ? ? 0. ? 3 ? 3
解得 x ? 设

1 1 1 1 , y ? ? ,∴ n1 ? ( ,? ,1) . 2 2 2 2

?????9 分 ,

n2 ? ( x ' , y ' ,1) 为平面 PBC 的一个法向量,则 n2 ? BC
??? ?

n2 ? BP ,

又 BC ? ? a,0,0? , BP ? (0, ?a, a) ,∴ ? 解得 x ' ? 0, y ' ? 1 ,∴ n2 ? (0,1,1)

??? ?

?ax ' ? 0,
' ??ay ? a ? 0,



?????11 分

? cos? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

3 . 6

?????13 分

∴二面角 A ? CE ? P 的余弦值为

3 . ?????14 分 6

方法二:在等腰 Rt ?PAB 中,取 PB 中点 N ,连结 AN , 则 AN ? PB . ?????6 分

∵面 PAB ⊥面 PCB ,面 PAB ? 面 PCB = PB , ∴ AN ? 平面 PBC . ?????7 分 、NH ? CE ,

N ? C E 在平面 PBC 内, 过 N 作 NH ? 直线 CE 于 H , 连结 AH , 由A
得 CE ? 平面 ANH ,故 AH ? CE . ∴ ?AHN 就是二面角 A ? CE ? P 的平面角. ?????9 分

在 Rt ?PBC 中,设 CB ? a , PB ?

1 2 a, PA2 ? AB2 ? 2a , BE ? PB ? 3 3
?????10 分

NE ?

1 2 11 PB ? a , CE ? CB 2 ? BE 2 ? a, 6 6 3

由 NH ? CE , EB ? CB 可知: ?NEH ∽ ?CEB , ∴

NH CB ? , NE CE

代入解得: NH ?

a . 22

?????12 分

8

在 Rt ?AHN 中, AN ? ∴ tan ?AHN ?

2 a, 2
?????13分

AN 1 3 . ? 11 , cos ?AHN ? ? NH 11 ? 1 6

∴二面角 A ? CE ? P 的余弦值为 20、 (1)解:由题设可知:双曲线 x 所以椭圆中的 c ? 2,

3 . 6
2

?????14分

? y 2 ? 1的焦点为 (? 2,0) ,

????1 分

又由椭圆的长轴为 4 得 a ? 2, 故b ? a ?c ? 2
2 2 2

?????????????2 分

故椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1 4 2

?????????????3 分

(2)证明:设 P( xp , yP ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 OP ? OM ? 2ON 可得:

??? ?

???? ?

????

? xP ? x1 ? 2 x2 .............① ? ? yP ? y1 ? 2 y2
由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

???????????????????4 分

1 可得: 2

y1 y2 1 ? ? ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0............② ??????????????5 分 x1 x2 2
2 2 2 2 2 2 由① ② 可得: xP ? 2 yP ? ? x1 ? 2 x2 ? ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? ? ( x1 ? 2 y1 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ?6 分 2 2

2 2 2 M、N 是椭圆上,故 x1 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ?4
2 xP y2 ? P ? 1 ????????????????????7 分 20 10

2 2 故 xP ? 2 yP ? 20 ,即

由椭圆定义可知存在两个定点 F 1 (? 10,0), F 2 ( 10,0) ,使得动点 P 到两定点距离和为 定值 4 5 ; ??????????????????????????8 分; (3)证明:设 M ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由题设可知 x1 ? 0, y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? 0, x1 ? x2 , A( x1 ,0), N (? x1 , ? y1 ) ??????9 分

9

由题设可知 l AB 斜率存在且满足 k NA ? k NB ?

y1 y ?y ? 2 1 .??③ 2 x1 x2 ? x1

kMN ? kMB ? 1 ?

y1 y2 ? y1 ? ? 1.........④ ???????????????????10 分 x1 x2 ? x1

将③ 代入④ 可得:

kMN ? kMB ? 1 ?

2 2( y2 ? y1 ) y2 ? y1 ( x 2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) …⑤ ? ?1 ? 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

??11 分

点 M , B 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,故 4 2

kMN ? kMB ? 1 ?

2 2 ( x2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 4?4 ? 2 ? 0 ???????????12 分 2 2 x2 ? x1 x2 ? x12

所以 kMN ? kMB ? 1 ? 0?kMN ? kMB ? ?1? MN ? MB ????????????13 分 因此以 NB 为直径的圆经过点 M ????????????????????14 分

21、解: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) .

1分

1 a( x ? 1)( x ? ) 1 a ?????????2 分 由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x x 1 当 a ? ?1 时, ? ? 1 , 显然函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增;?????3 分 a 1 1 当 a ? ?1 时, ? ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; a a 1 ? 函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增,???????????4 分 a
综上所述:①当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; ②当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增;???5 分 (2)假设函数 f ( x) 存在“中值相依切线” 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? ln x1 ?

1 a

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 .????6 分 2 2

10

k AB

2 2 y2 ? y1 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) ? ? x2 ? x1 x2 ? x1

1

?

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 2

???????????????7 分

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率

k ? f ' ( x0 ) ? f ' (

x1 ? x2 a( x1 ? x2 ) 2 )? ? ? a ?1 2 x1 ? x2 2

??????????8 分

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) ????9 分 x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
x

x 2( x2 ? x1 ) 2( x2 ? 1) ln x2 ? ln x1 2 ? 化简可得: , 即 ln 2 = ???????10 分 1 x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 ? x2
x1 ?1



2(t ? 1) 4 x2 ? 2? ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? ,????????????11 分 t ?1 t ?1 x1

ln t ?

4 ? 2. t ?1

令 g (t ) ? ln t ?

4 , ???????????????????12 分 t ?1

1 4 (t ? 1)2 g '(t ) ? ? . ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2
因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增, ????????????13 分 显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x) 不存在“中值相依切线”???????14 分

11


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茂名市 2015 年第一次高考模拟考试 数学理试题 一、选择题(40 分) 1、设全 集 U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,5},B={2, 4, 6},则(CU A) B...

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