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002东北师大附属中学高三第一轮复习教案--命题及其关系,充分条件,必要条件


东北师大附中 2015-2016 高三数学第一轮复习【理教案】002

命题及其关系,充分条件,必要条件
一、知识梳理: (阅读教材选修 2-1 第 2 页—第 13 页) 1、 四种命题 (1 ) 、命题是可以 可以判断真假的语句 ,具有 “若 P,则 q 的形式; (2 ) 、一般地用 P 或 q 分别表示命题的条件或结论,用 p 或 q 分别表

示 P 和 q 的否定,于是四种命题的 形式就是: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题: (3)、四种命题的关系:

两个互为逆否命题的真假是相同的,原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。 2、 充分条件、必要条件与充要条件 (1) “若 p,则 q”为真命题,记 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 (2)如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,记作 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件,q 也是 p 的充要条件。 3、 判断充分性与必要性的方法: (一) 、定义法 (1 ) 、p ? q 且 q? p ,则 p 是 q 的

充分不必要条件 ;

(2 ) 、p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 必要不充分条件 ; (3 ) 、p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的 既不充分也不必要条件 ; (4 ) 、p ? q 且q ? p ,则 p 是 q 的 充要条件 ; (二) 、集合法:利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系,设满足条件 p 的元素构成集合 A,满足 条件 q 的元素构成集合 B; (1 ) 、若 A? B,则 p 是 q 的 充分条件 若B ? A,则 p 是 q 的必要条件; (2 ) 、若 A= B,则 p 是 q 的充要条件 ; (3 ) 、若 A≠ B,且 A? B,则 p 是 q 的充分不必要条件;q 是 p 的必要不充分条件; (4 ) 、若 A? B,且B ? A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 ;

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东北师大附中 2015-2016 高三数学第一轮复习【理教案】002

二、题型探究 探究一:四种命题的关系与命题真假的判断 例 1:[2014· 陕西卷] 原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|” ,关于其逆命题,否命题,逆否命题真 假性的判断依次如下,正确的是(B ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 例 2:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。 (1)等底等高的两个三角形是全等三角形; (2)若 ab=0,则 a=0 或 b=0。 解析: (1)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高。真命题; 否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等。真命题; 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等或不等高。假命题。 (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0。真命题; 否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0.真命题; 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0。真命题。 例 3:命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是(B) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f( -x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数 f( x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函 数.”答案:B

探究二:充分必要条件的判定 例 4:[2014 上海 15] 设 a , b ? R ,则“ a +b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的( ).

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【解析】B;由“ a ? 2 且 b ? 2 ”可以推出“ a +b ? 4 ”;由“ a +b ? 4 ”推不出“ a ? 2 且 b ? 2 ”,故选 B. 【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 探究三:利用充分、必要条件解决待定系数问题 例 5:已知 p: 1 ? 的取值范围。 解:P:-2≤ x ≤ 10; q:1-m≤ x ≤m+1 由题意可知:P 是 q 的充分不必要条件,所以 1 ? m < ?2 1 + m > 10 所以,{m|3<m<9}
x ?1 3

≤ 2,q:x 2 ? 2X + 1 ? m2 ≤ 0(m > 0),



p 是

q

的必要不充分条件,求实数 m

探究四:充要条件的探究与证明

例 6.求证方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a≤0 或 a=1.
分析:(1)讨论 a 的不同取值情况;

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(2)利用根的判别式求 a 的取值范围. 解答:充分性:当 a=0 时,方程变为 2x+1=0,其根为 x= ? 当 a=1 时,方程为 x +2x+1=0.其根为 x=-1, 方程只有一个负根。 当 a<0 时,Δ =4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 必要性:若方程 ax +2x+1=0 有且仅有一个负根。 当 a=0 时,适合条件。 当 a≠0 时,方程 ax +2x+1=0 有实根, 则 Δ =4(1-a)≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一个负根 x=-1.
2 2 2

1 ,方程只有一个负根; 2

1 <0,方程有一正一负根。 a

若方程有且仅有一负根,则 ? 1
2

?a ? 1 ? ∴a<0 ? 0 ? ?a

综上方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根的充要条件为 a≤0 或 a=1 注:(1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知证明条件成立是必要性; (2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。证明时,不要认为它是推理过程的“双 向书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件下的两次证明; (3)证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论。 三、方法提升 1、判断命题的真假要以真值表为依据,原命题与其逆否命题为等价命题,逆命题与否命题是同真同假,

2、判断条件时注意事项:
(1)条件已知证明结论成立是充分性,结论已知证明条件成立是必要性; (2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性。证明时,不要认为它是推理过程的“双向 书写”,而应该进行由条件到结论,由结论到条件下的两次证明; (3)证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪是条件,哪是结论。 (4)要善于将文字语言转化成符号语言进行推理,要注意等价命题的应用。 四、思想感悟:

。 五、课后作业: 一? 选择题: 1. (15 北京理科)设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的(A)

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A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】B 【解析】

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试题分析:因为 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .若“ m ∥ ? ”,则平面 ? 、? 可能相 交也可能平行,不能推出 ? //? ,反过来若 ? //? , m ? 的必要而不充分条件. 【考点】1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件.

? ,则有 m ∥ ? ,则“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”

2.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的(B) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由|x-1|<2 得-1<x<3.由 x(x-3)<0 得 0<x<3.因为“-1<x<3 成立”? “0<x<3 成立”,但“0<x<3 成立”?“-1<x<3 成立”.故选 B.评析:如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的必要不充分条件.
2 3.[ 15 年天津理科]设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的(A)

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.x <4 的必要不充分条件是(A) A.-2≤x≤2
2 2

B.-2<x<0

C.0<x≤2

D.1<x<3
2

解析:x <4 即为-2<x<2,因为-2<x<2?-2≤x≤2,而-2≤x≤2 不能推出-2<x<2,所以 x <4 的必要不充分条件 是-2≤x≤2.选 A. 5、[2013 年高考安徽卷] "a ? 0" “是函数 f (x)= (ax-1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的 (A) 充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】C【解析】 当 a=0 时, (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

f ( x) ?| x |? y ? f ( x)在(0, ? ?)上单调递增;当a ? 0且x ? 0时,f ( x) ? (?ax ? 1) x, y ? f ( x)在(0, ? ?)上单调递增.所以a ? 0是y ? f ( x)在(0, ? ?)上单调递增的充分条件.
相反,当y ? f ( x)在(0, ? ?)上单调递增 ? a ? 0 ,

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? a ? 0是y ? f ( x)在(0, ? ?)上单调递增的必要条件.
故前者是后者的充分必要条件。所以选 C 6、 (2013 年高考(北京卷) )“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的”(A) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.2013 年高考(陕西卷) )设 a, b 为向量, 则“ | a· b |?| a || b | ”是“a//b”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件 【答案】C 【解析】 a ? b ?| a | ? | b | ?cos?。 若 | a ? b |?| a | ? | b |? cos? ? ?1 , 则向量a与b的夹角为0或?,即a// b 为真; 相反,若 a // b ,则向量a与b的夹角为0或?,即 | a ? b |?| a | ? | b | 。 所以“ | a· b |?| a || b | ”是“a//b”的充分必要条件。 另:当向量a或b 为零向量时,上述结论也成立。所以选 C π 8.(2013 年高考(浙江卷) )已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ?R),则“f(x)是奇函数”是“φ=2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性,属于中档题 π 【答案解析】B 由 f(x)是奇函数可知 f(0)=0,即 cosφ=0,解出 φ=2+kπ,k?Z,所以选项 B 正确 9. 【2014 安徽】 “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的(B ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

10. 【2014 北京】设 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 " q ? 1" 是 "{an }" 为递增数列的(D)
A. 充分且不必要条件 C. 充分必要条件
1 积为 ”的(A) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 12. (15 年湖南理科)设 A,B 是两个集合,则” A ? B ? A ”是“ A ? B ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】C. 【解析】由题意得, A ? B ? A ? A ? B ,反之, A ? B ? A ? B ? A ,故为充要条件,选 C. 【考点】 :集合的关系. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B. 必要且不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

11.[2014· 福建卷] 6.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面



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