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(全国卷)2014届高考数学 专题阶段评估模拟卷3 数列、推理与证明、算法初步 文


专题阶段评估(三)

数列、推理与证明、算法初步

——————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第 Ⅱ卷可在各题后直接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 题号 答案 一、选择题(本大题共 12

小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2013·江西卷)等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于( A.-24 C.12 B.0 D.24 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2.(2013·深圳调研)等差数列{an}中,已知 a5>0,a4+a7<0,则{an}的前 n 项和 Sn 的 最大值为( A.S7 C.S5 ) B.S6 D.S4
*

3.在数列{an}中,a1=2i(i 为虚数单位),(1+i)an+1=(1-i)an(n∈N ),则 a2 012 的值 为( ) A.-2 C.2 B.0 D.2i

4.在等差数列{an}中,首项 a1=120,公差 d=-4,若 Sn≤an(n≥2),则 n 的最小值为 ( ) A.60 C.70 B.62 D.72

5.(2013·吉林长春调研测试)执行如图所示的程序框图,若输出的 k=5,则输入的整 数 p 的最大值为( )

A.7

B.15
1

C.31

D.63

6.(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, 则 m=( A.3 C.5
2 *

) B.4 D.6

7.已知函数 y=anx (an≠0,n∈N )的图象在 x=1 处的切线斜率为 2an-1+1(n≥2,n∈ N ),且当 n=1 时其图象过点(2,8),则 a7 的值为( A. 1 2 B.7 D.6 )
2 2 2 *

)

C.5

8.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=1 ,S2=2 ,S3=3 ,?,推断:

Sn=n2
B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对? x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇 函数 C.由圆 x +y =r 的面积 S=π r ,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=π ab D.由(1+1) >2 ,(2+1) >2 ,(3+1) >2 ,?,推断:对一切 n∈N ,(n+1) >2
* 2 1 2 2 2 3 * 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

n

9. 设数列{an}满足 a1+2a2=3, 且对任意的 n∈N , 点列{Pn(n, an)}恒满足 PnPn+1=(1,2), 则数列{an}的前 n 项和 Sn 为( )

? 4? A.n?n- ? ? 3? ? 2? C.n?n- ? ? 3?
∈[-1,3],则输出的 s 属于( A.[-3,4] C.[-4,3] )

? 3? B.n?n- ? ? 4? ? 1? D.n?n- ? ? 2?

10.(2013·全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图,如果输入的 t

B.[-5,2] D.[-2,5]

11.(2013·山东莱芜模拟)已知数列{an},{bn}满足 a1=b1 =3,an+1-an= =( ) A.9 C.9
2 012

bn+1 * =3,n∈N ,若数列{cn}满足 cn=ban,则 c2 013 bn

B.27 D.27

2 012

2 013

2 013

12.(2013·河北教学质量监测)已知数列{an}满足 an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,

2

记 Sn=a1+a2+?+an,则下列结论正确的是( A.a100=-1,S100=5 C. a100=-3,S100=2

)

B.a100=-3,S100=5 D.a100=-1,S100=2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=________. 14.(2013·广东惠州调研)阅读如图所示的程序框图.若输入 n=5,则输出 k 的值为 ________. 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 二 17 18 19 20 21 22 总 分

15.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2π r,二维测度(面积)S=π r ,观察发现 S′ 4 2 3 =l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4π r ,三维测度(体积)V= π r ,观察发现 V′ 3 =S.则由四维空间中“超球”的三维测度 V=8π r ,猜想其四维测度 W=________. 16.(2013·安徽卷)如图,互不相同的点 A1,A2,?,An,?和 B1,B2,?,Bn,?分 别在角 O 的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均 相等,设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2013·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,
3

2

S5=-5.

3

(1)求{an}的通项公式; (2)求数列?
? ? ?的前 n 项和. ?a2n-1a2n+1?

1

18.(本小题满分 12 分)已知在递增等差数列{an}中, a1=2,a1,a3,a7 成等比数列,{bn} 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2
n+1

-2.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设 cn=abn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

19.(本小题满分 12 分)已知等比数列{an}满足 an+1+an=9·2 (1)求数列{an}的通项公式;

n-1

,n∈N .

*

(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N 恒成立,求实数 k 的 取值范围.

*

20.(本小题满分 12 分)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|.

4

21. (本小题满分 13 分)(2013·陕西质量检测)已知数列{2 (1)求数列{an}的通项公式;
?1? |an| (2)设 bn= ,求数列? ?的前 n 项和.

n-1

·an}的前 n 项和 Sn=1- . 2

n

n

?bn?

22. (本小题满分 13 分)已知点集 L={(x, y)|y=m·n}, 其中 m=(2x-2b,1), n=(1,1 +2b),点列 Pn(an,bn)在点集 L 中,P1 为 L 的轨迹与 y 轴的交点,已知数列{an}为等差数列, 且公差为 1,n∈N . (1)求数列{an},{bn}的通项公式; → (2)求OPn·OPn+1 的最小值; (3)设 cn= 5
*

n·an|pnpn+1|

(n≥2),求 c2+c3+c4+?+cn 的值.

详解答案 一、选择题

5

1.A 由题意知(3x+3) =x(6x+6),即 x +4x+3=0,解得 x=-3 或 x=-1(舍去), 所以等比数列的前 3 项是-3,-6,-12,则第四项为-24. 2.C ∵?
?a4+a7=a5+a6<0 ? ? ?a5>0

2

2

,∴?

?a5>0 ? ? ?a6<0



∴Sn 的最大值为 S5. 3.A ∵(1+i)an+1=(1-i)an, ∴
2 an+1 1-i ?1-i? = = =-i,故{an}是以 2i 为首项,-i 为公比的等比数 an 1+i ?1+i??1-i? 2 012-1

列,∴a2 012=2i×(-i)

=2i×(-i)

4×502+3

=2i×i=-2.

?n-1??n-2? 4. B 若 Sn≤an(n≥2), 则 Sn-1≤0(n≥2), 即 Sn-1=(n-1)×120- ×4 2 =-2n +126n-124≤0,即 n -63n+62≥0,即(n-1)(n-62)≥0,解得 n≥62. 5.B 由程序框图可知:①S=0,k=1;②S=1,k=2;③S=3,k=3;④S=7,k=4; ⑤S=15,k=5.第⑤步后 k 输出,此时 S=15≥p,则 p 的最大值为 15,故选 B. 6.C ∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. 又 Sm=
2 2

m?a1+am? m?a1+2?
2 = 2

=0,

∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5. 7.C 由题知 y′=2anx,∴2an=2an-1+1(n≥2,n∈N ), 1 ∴an-an-1= ,又 n=1 时其图象过点(2,8), 2 ∴a1×2 =8,得 a1=2, 1 ∴{an}是首项为 2,公差为 的等差数列, 2
2 *

n 3 an= + ,得 a7=5.故选 C.
2 2 8. A 注意到, 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论, 且注意到数列{an}是等差数列, 其前 n 项和 Sn=

n?1+2n-1?
2

=n ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确.

2

9. A 设 Pn+1(n+1,an+1),则 PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2),即 an+1-an=2,所以数 1 ? 4? 列{an}是以 2 为公差的等差数列.又因为 a1+2a2=3,所以 a1=- ,所以 Sn=n?n- ?. 3 ? 3? 10.A 因为 t∈[-1,3],当 t∈[-1,1)时,s=3t∈[-3,3);当 t∈[1,3]时,s=4t

6

-t =-(t -4t)=-(t-2) +4∈[3,4],所以 s∈[-3,4]. 11.D 由已知条件知{an}是首项为 3,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为 3,公 比为 3 的等比数列,∴an=3n,bn=3 ,又 cn=ban=3 ,∴c2 013=3
n
3n 3×2 013

2

2

2

=27

2 013

,故选 D.

12.A 依题意 an+2=an+1-an=-an-1,即 an+3=-an,an+6=-an+3=an,故数列{an}是 以 6 为周期的数列, ,a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0.注意到 100 =6×16+4,因此有 a100=a4=-a1=-1,S100=16(a1+a2+?+a6)+(a1+a2+a3+a4)=a2 +a3=a2+(a2-a1)=2×3-1=5,故选 A. 二、填空题 13.解析: 20. 方法二:a3+a8=2a3+5d=10,3a5+a7=4a3+10d=2(2a3+5d)=2×10=20. 答案: 20 14.解析: 执行程序框图可得 n=5,k=0;n=16,k=1;n=49,k=2;n=148,k =3;n=148×3+1>150,循环结束,故输出的 k 值为 3. 答案: 3 15.解析: 依题意猜想其四维测度的导数 W′=V=8π r ,故可得 W=2π r . 答案: 2π r
4 3 4

方法一:a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=2×10=

16.解析: 设 OAn=x(n≥3),OB1=y,∠O=θ , 1 记 S△OA1B1= ×1×ysin θ =S, 2 1 那么 S△OA2B2= ×2×2ysin θ =4S, 2

S△OA3B3=4S+(4S-S)=7S,
?,

S△OAnBn= x·xysin θ =(3n-2)S,
1 ×x×xysin θ =

1 2

S△OAnBn 2 ∴ = S△OA2B2 1 x2 3n-2

×2×2ysin θ 2

?3n-2?S , 4S

∴ = ,∴x= 3n-2. 4 4 即 an= 3n-2(n≥3). 经验证知 an= 3n-2(n∈N ). 答案: an= 3n-2 三、解答题
7
*

17.解析: (1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+
? ?3a1+3d=0, 由已知可得? ?5a1+10d=-5. ? ? ?a1=1, ?d=-1. ?

n?n-1? d.
2

解得?

故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 1

a2n-1a2n+1 ?3-2n??1-2n?



1

1 ? 1? 1 - = ? ?, 2?2n-3 2n-1? 从而数列?
? ? ?的前 n 项和为 ?a2n-1a2n+1?

1

1 1 ? 1? 1 1 1 1 n - + - +?+ - = . ? ? - 1 1 1 3 2 n - 3 2 n - 1 2? ? 1-2n 18.解析: (1)∵a1,a3,a7 成等比数列,∴a3=a1·a7, 设等差数列{an}的公差为 d,则(2+2d) =2(2+6d),d>0, ∴d=1,an=n+1. 又 Sn=2
n+1
2 2

-2,b1=S1=2,当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=2

n+1

-2-2 +2=2 ,经检验,n

n

n

=1 适合此式, ∴bn=2 . (2)∵cn=abn=2 +1, ∴Tn=(2+1)+(2 +1)+?+(2 +1) =(2+2 +?+2 )+n =2
n+1
2 2

n

n

n

n

-2+n.

19.解析: (1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵an+1+an=9·2 ∴q=
n-1

,n∈N ,∴a2+a1=9,a3+a2=18,

*

a3+a2 18 = =2, a2+a1 9

∴2a1+a1=9,∴a1=3. ∴an=3·2
n-1

,n∈N .

*

(2)由(1)知 Sn=
n

a1?1-qn? 3?1-2n? n = =3(2 -1), 1-q 1-2
n-1

∴3(2 -1)>k·3·2

1 -2,∴k<2- n-1. 3·2

1 令 f(n)=2- n-1,则 f(n)随 n 的增大而增大, 3·2 1 5 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = .∴k< . 3 3 3
8

5? ? ∴实数 k 的取值范围为?-∞, ?. 3? ? 20.解析: (1)由题意得,a1·5a3=(2a2+2) ,由 a1=10,{an}为公差为 d 的等差数 列得,d -3d-4=0, 解得 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11(n∈N )或 an=4n+6(n∈N ). (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11, 所以当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn 1 2 21 =- n + n; 2 2 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11 1 2 21 = n - n+110. 2 2 综上所述, |a1|+|a2|+|a3|+?+|an| 1 21 ? ?-2n + 2 n, n≤11, =? 1 21 ? ?2n - 2 n+110, n≥12.
2 2 * * 2 2

21.解析: (1)由题意可知:Sn-1=1- 又2 ∴2
n-1

n-1
2

(n≥2),

·an=Sn-Sn-1,

n-1

1 ·an=- . 2

1 1 -n ∴an=- n=-2 (n≥2).∴a1=- . 2 2 1 1 又 S1=1- = , 2 2 ∴a1≠S1, 1 ? ? , ?n=1? ∴an=?2 ? ?-2-n. ?n≥2? |an| 2 1 (2)由题意知 bn= = = n (n≥2), n n 2 ·n 1 n ∴ =n·2 (n≥2).
-n

bn

9

1 1 ∵ = =2, b1 |a1| 1 n ∴ =n·2 (n≥1).

bn

?1? ′ 设? ?的前 n 项和为 Sn , ?bn?


则 Sn =1×2+2×2 +3×2 +?+n·2 , 2Sn =1×2 +2×2 +3×2 +?+(n-1)·2 +n·2 ∴Sn -2Sn =1×2+2 +2 +?+2 -n·2 ∴-Sn =(1-n)·2 ∴Sn =(n-1)·2
′ ′ ′ ′ 2 3 ′ 2 3 4

2

3

n

n

n+1


n n+1

n

n+1

=2+2 +?+2 -n·2

2



n+1

-2,

n+1

+2.

22.解析: (1)由 y=m·n,

m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),得 y=2x+1,
即 L 的轨迹方程为 y=2x+1. ∵P1 为 L 的轨迹与 y 轴的交点, ∴P1(0,1),则 a1=0,b1=1, ∵数列{an}为等差数列,且公差为 1, ∴an=n-1(n∈N ), 代入 y=2x+1,得 bn=2n-1(n∈N ). (2)∵Pn(n-1,2n-1),∴Pn+1(n,2n+1), → ∴OPn·OPn+1=(n-1,2n-1)·(n,2n+1) 1 ?2 21 ? 2 =5n -n-1=5?n- ? - . ? 10? 20 ∵n∈N , → ∴当 n=1 时,OPn·OPn+1 有最小值,为 3. (3)当 n≥2 时,由 Pn(n-1,2n-1), 得 an·|PnPn+1|= 5(n-1),
* * *

cn= = = - , n·an·|PnPn+1| n?n-1? n-1 n

5

1

1

1

? 1? ?1 1? ? 1 -1?=1-1=n-1. ∴c2+c3+?+cn=?1- ?+? - ?+?+? ? n n ? 2? ?2 3? ?n-1 n?

10


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