tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题


2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一.选择题
1. 如果集合 A.B 同时满足 A ? B ? ?1.2.3.4? A ? B ? ?1 ? , A ? ?1?, B ? ?1? 就称有序集对 。这里的有序集对 ? A, B ? 意指当 A ? B , ? A, B ? 和? B, A? 是不同的集 ? A, B? 为“好集对” 对,那么“好集对”一共有

( )个。

A

64

B

8

C
?x

6

D

2
)

2.设函数 f ? x ? ? lg 10

?

? 1? , 方程f ? ?2 x ? ? f ?1 ? 2 x ? 的解 为(

A.log2 ? lg 2? ?1

B.lg ?log2 10? ?1

C .lg ?lg 2? ?1

D. log2 ?log2 10? ?1

3.设 A ? 100101102? 499500 是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺 序排列而成那么 A 除以 126 的余数是( )

A

78

B

36

C

6

D

0
为 垂 足 . 项 为

4. 在 直 角 ? ABC 中 ,

?C ? 90? , CD 为 斜 边 上 的 高 ,D
.
k

AD ? a, BD ? b, CD ? a ? b ? 1







?uk ?





uk ? a k ? a k ?1b ? a k ? 2b 2 ? ? ? ? ?1? b k , k ? 1, 2,3,? , 则( )

A. u2008 ? u2007 ? u2006 C. 2007 u2008 ? 2008u2007
顺序排成一个新的数列

B. u2008 ? u2007 ? u2006 D. 2008 u2008 ? 2007u2007

5.在正整数构成的数列 1.3.5.7……删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到大的

?an ?

, 易 见 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 7a ,4 ?

么 9 a5, ? ?那 13

a2007 ? ____________ A.
6.设

9597

B. 1 59 5

C 2831

.

D 2 7 5 9.

A ? 1 ? cos30 + 1+cos70 + 1+cos110 +? 1+cos870 B ? 1 ? cos30 + 1-cos70 + 1-cos110 +? 1-cos870
2- 2
2

则 A: B ? ?

?

A.

B.

2+ 2
2

C.

2-1

D.

2+1

7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有______________种. 8.设 n ? 2007 ,且 n 为使得 an =

?

2- 2 ? i 2+ 2 取实数值的最小正整数,则对应此 n 的

?

n

an 为
1

9. 若 正 整 数 n 恰 好 有 4 个 正 约 数 , 则 称 n 为 奇 异 数 , 例 如 6,8,10 都 是 奇 异 数 . 那 么 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇异数有_____________________个. 10. 平行六面体

ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1中 , 顶点 A 出发的三条棱 AA 1, AB, AD 的长度分别为
?

2,3,4,且两两夹角都为 60 那么这个平行六面体的四条对角线 AC1 , BD1 , DB1 , CA 1 的长度(按 顺序)分别为___________________
1 2 11.函数 f ? x ? , g ? x ? 的迭代的函数定义为 f ? ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ? ? x ? ? f

? f ? x ? ? ,?

f?

n?

? x? ?

f f?

?

n ?1?

? x ? ? , g ?1? ? x ? ? g ? x ? , g ? 2? ? x ? ? g ? g ? x ? ? ,? g ? n? ? x ? ? g ? g ?n?1? ? x ? ?

其中 n =2,3,4…

? f ?9? ? x ? ? g ? 6? ? y ? ? ? ?9? ? 6? 设 f ? x ? ? 2x ? 3, g ? x ? ? 3x ? 2 ,则方程组 ? f ? y ? ? g ? z ? 的解为_________________ ? ?9? ? 6? ? ? f ? z ? ? g ? x?
12.设平行四边形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2, BD ? 2 3, 则平行四边形 ABCD 绕直线

AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________

三.解答题
13.已知椭圆 ? :3x2 ? 4 y 2 ? 12 和点 Q ? q,0? , 直线 l过Q且与?交于A, B 两点(可以重合). 1)若 ?AOB 为钝角或平角( O 为原点),

q ? 4, 试确定 l 的斜率的取值范围.

2)设 A 关于长轴的对称点为 A1 , F为椭圆的右焦点, q ? 4, 试判断 A1和F , B 三点是否共 线,并说明理由. 3)问题 2)中,若 q ? 4, 那么A 1, F , B 三点能否共线?请说明理由. 14. 数 列

?xn?

由 下 式 确 定 :

xn?1 ?

xn , n ? 1,2,3,?, x1 ? 1 , 试 求 2 2 xn ?1

l x g2 0整数部分 k ?? 0 7

a 的最大整数,即 a 的整数部分.) l x g ? (注 2 ?a 0 ?.表示不大于 0 7

15. 设给定的锐角 ? ABC 的三边长 a, b, c,正实数x, y, z 满足
2 2

ayz bzx cxy ? ? ? p, 其中 p x y z
2

为给定的正实数 , 试求 s ? ? b ? c ? a? x ?? c ? a ? b ? y ?? a ? b ? c ? z 的最大值,并求出当

s 取此最大值时, x, y, z 的取值.

2

2008 年安徽高中数学竞赛初赛试题
一、选择题
1.若函数 y ? f ? x ? 的图象绕原点顺时针旋转 (A) g ? x ? ? f ?1 ? ? x ? (C) g ? x ? ? ? f ?1 ? ? x ?
? 后,与函数 y ? g ? x ? 的图象重合,则( ) 2

(B) g ? x ? ? f ?1 ? x ? (D) g ? x ? ? ? f ?1 ? x ?

2.平面中,到两条相交直线的距离之和为 1 的点的轨迹为( ) (A)椭圆 (B)双曲线的一部分 (C)抛物线的一部分 ? ? 3.下列 4 个数中与 cos1 ? cos 2 ? ? ? cos 2008? 最接近的是( ) (A)-2008 (B)-1 (C)1 (D)2008 4.四面体的 6 个二面角中至多可能有( )个钝角。 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5.

(D)矩形

1 1 写成十进制循环小数的形式 其循环节的长度为( ? 0.000498?625498?625? , 2008 2008

)

(A)30

(B)40

(C)50
2008

(D)60 )个是偶数。

6.设多项式 ?1 ? x ? (A)127

? a0 ? a1 x ? ? ? a2008 x2008 ,则 a0 , a1 ,?, a2008 中共有(

(B)1003

(C)1005

(D)1881

二、填空题
7.化简多项式

k ?m

?C C
k n

n

m k

x k ?m ?1 ? x ?

n?k

?

8.函数 f ? x ? ?

3 ? 5sin x 的值域为 5 ? 4 cos x ? 3sin x

9.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 0, an ?

a1 ? an?1 , ? n ? 2 ? ,且具有最小正周期 2008,则 a1 ? 1 ? a1an?1

10.设非负数 a1 , a2 ,?, a2008 的和等于 1,则 a1a2 ? a2a3 ? ?? a2007 a2008 ? a2008 a 1 的最大值 为 11.设点 A ?1,1? , B、 C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, 当直线 BC 的方程为
2 2

? ABC 时,

的面积最大。 12.平面点集 G ?

??i, j ? | i ? 1,2,?, n; j ? 1,2,?, n? ,易知 G 可被 1 个三角形覆盖(即各
2

点在某个三角形的边上) , G3 可被 2 个三角形覆盖,则覆盖 G2008 需要
3

个三角形。

三、解答题
13.将 6 个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各 2 个)随机放入 3 个盒子中,每 个盒子中恰好放 2 个小球,记? 为盒中小于颜色相同的盒子的个数,求? 的分布。

14.设 a1 ? 1, an ? ? nan ?1 ? , ? n ? 2 ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数。证明:无论 a1 取

?

?

何正整数时,不在数列 ?an ? 的素数只有有限多个。

15.设圆 O1 与圆 O2 相交于 A,B 两点,圆 O3 分别与圆 O1 ,圆 O2 外切于 C,D,直线 EF 分 别与圆 O1 ,圆 O2 相切于 E,F,直线 CE 与直线 DF 相交于 G,证明:A,B,G 三点共线。

4

2009 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题

二.解答题(共 86 分)
9. (21 分) 已知平行四边形 ABCD 满足 ? BAD> 90 ,向四
?

边 形 外 部 做 ? DCE 和 ? BCF 使 得 ? EDC= ? CBF, ? DCE= ? BFC, 连接 EF, 向 ? CEF 外部作 ? EFG 使得 ?AEF ? ?GEF ? EFG= ? CFB, ? FEG= ? CED.证明:

5

10.(21 分)设正项数列 ?an ? 满足 a1 =1, a 2 ? 2 , a n ? 公式

an?2 , n ? 3 。求数列 {an } 的通项 a n ?1

11, (22 分)求方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x 的所有解,其中 ?a ? 表示不超过 a 的最大整数 2 3 7

?x? ?x? ?x? ? ? ? ? ? ?

12. (22 分)假设平面点集 S 具有性质: (1)任意三点不公线; (2)任意两点距离各不相等。 对于 S 中两点 A,B,若存在 C ? S 使得, AC ? AB ? BC, 则称 AB 是 AB 的一条中边。 对于 S 中三点 A,B,C,若 AB,AC,BC 都是 S 的中边,则称三角形 ABC 是 S 的中边三角形。求 最小的 n 使得任意具有性质(1) (2)的 n 元平面点集 S 中一定存在中边三角形。

6

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
1.函数 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? x 2 的值域是 2.函数 y ? .

的图象与 y ? e x 的图象关于直线 x ? y ? 1 对称. . .

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于

x2 y2 ? ? 1 与双曲线 xy ? 1 相切,则 t ? 4.设椭圆 t ?1 t ?1
5.设 z 是复数,则 | z ? 1| ? | z ? i | ? | z ? 1| 的最小值等于
3 2

.

6.设 a , b , c 是实数,若方程 x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列, 则 a , b , c 应满足的充分必要条件是 .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7. 设 O 是 ?ABC 的 内 心 , AB ? 5 , AC ? 6 , BC ? 7 , OP ? xOA ? yOB ? zOC ,
0 ? x, y, z ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 . .

二、解答题(共 86 分)
9.(20 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?

2 , n ? 2 .求 an 的通项公式. 1 ? an ?1

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n ? n ? 24 可被 2010 整除.
2

7

11.(22 分)已知 ?ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ? A , ? B , ?C 的平 分线与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ?ABC 的面积小于 ?DEF 的面积.

12. (22 分) 桌上放有 n 根火柴, 甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取, 第一次可取走至多 n ? 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最 后一根火柴者获胜.问:当 n ? 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

8

2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)
1.以 X 表示集合 X 的元素个数. 若有限集合 A, B, C 满足 A ? B ? 20 , B ? C ? 30 ,

C ? A ? 40 ,则 A ? B ? C 的最大可能值为
2. 设 a 是正实数. 若 f ( x ) ? 则a ? 3. 已知实系数多项式 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满足 f (1) ? 2 ,f (2) ? 4 ,f (3) ? 6 , 则 f (0) ? f (4) 的所有可能值集合为 4. 设展开式 (5x ? 1) n ? a0 ? a1 x ? ? ? an x n,n ? 2011 . 若 a2011 ? max( a0 , a1 ,?, an ) ,则 n ? 5.在如图所示的长方体 ABCD ? EFGH 中,设 P 是矩 形 EFGH 的中心, 线段 AP 交平面 BDE 于点 Q . 若 第5题

x 2 ? 6ax ? 10 a 2 ? x 2 ? 2ax ? 5a 2 ,x ? R 的最小值为 10,

AB ? 3 ,AD ? 2 ,AE ? 1 , 则 PQ ?

.

6.平面上一个半径 r 的动圆沿边长 a 的正三角形的外侧 滚动,其扫过区域的面积为 . 第6题 7.设直角坐标平面上的点 ( x, y ) 与复数 x ? y i 一一对应. 若点 A, B 分别对应复数 z , z ( z ? R ) ,则直线 AB 与 x 轴的交点对应复数 (用 z 表示).
?1

8.设 n 是大于 4 的偶数. 随机选取正 n 边形的 4 个顶点构造四边形,得到矩形的概率 为 .

二、解答题(第 9—10 题每题 22 分,第 11—12 题每题 21 分,共 86 分)
9. 已知数列 {an } 满足 a1 ? a 2 ? 1, a n ? 1 ?

a1 ? ? ? a n ?2 (n ? 3) ,求 an 的通项公式. 4

9

10.已知正整数 a1 , a2 ,?, an 都是合数,并且两两互素,求证:

1 1 1 1 ? ??? ? . a1 a 2 an 2

11.设 f ( x) ? ax3 ? bx ? c ( a, b, c 是实数) ,当 0 ? x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? 1. 求 b 的最大 可能值.

2 2 12. 设点 A(?1,0),B(1,0),C (2,0) ,D 在双曲线 x ? y ? 1 的左支上,D ? A , 直线 CD 2 2 交双曲线 x ? y ? 1 的右支于点 E . 求证:直线 AD 与 BE 的交点 P 在直线 x ?

1 上. 2

10

2012 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一.填空题(每题 8 分,共 64 分)
1. 设函数 f ?x ? ? arcsin(cos ( x)) ,则 f ( f ( f ( x))) 的最小正周期为 2. 设实数 x,y 满足 x 2 ? 8x ? y 2 ? 6 y ? 24 ? 0 ,则 x-2y 的最大值为
2? 3? 4? 5? ? cos ? cos ? cos ? (用数字作答) 11 11 11 11 11 4. 设两点 C,D 在以线段 AB 为直径的半圆弧上,线段 AC 和线段 BD 相交与点 E,

3. cos

?

? cos

AB=10,AC=8,BD= 5 2 ,则三角形 ABE 的面积为 5. 设 两 个 椭 圆
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和 ? ?1 有公共的焦 t 2 ? 2t ? 2 t 2 ? t ? 2 2t 2 - 3t ? 5 t 2 ? t - 7

点,则 t= 6. 如图,设正四棱锥 P-ABCD 的体积为 1,E,F,G,H 分别 是线段 AB,CD,PB,PC 的中点, 则多面体 BEG-CFH 的体 积为

7. 不超过 2012 且与 210 的最大公约数是 1 的正整数共有



8. 设随机变量 X~N(1,2),Y~N(3,4)。若 P( X ? 0) ? P(Y ? a), 则 a = 二.解答题(第 9~10 题每题 25 分,第 11~12 题每题 18 分,共 86 分)
9.已知三角形 ABC 的周长是 1,且 sin 2 A ? sin 2 B ? 4 sin A sin B 。 (1)证明:三角形 ABC 是直角三角形; (2)求三角形 ABC 面积的最大值。

11

10.设无穷数列 ?a n ? 满足 a 1 =1, a n ? a n ?1 ? (1)当 n ? 2 时, an ?

1 a n ?1

(n ? 2) 。证明:

2n ;

(2)不存在实数 C 使得 an ?

2n ? C 对所有的 n 都成立

11.设 n ? 2 ,m 是正整数。求所有满足 f x 2 ? 1 ? f ( x) 2 ? 1 的 n 次实系数多项式 f ( x)
m

?

?

12.设 n ? 2 。 对平面上任意 n 个向量 a1, a2 ,?, an , , 以 M 表示满足 i<j 且 ai ? a j ? 0 的实数对 (i,j)

n2 的个数。证明: M ? 。 3

12

2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷 一.填空题(每题 8 分,共 64 分)
1.函数 f ( x) ? | x +1|+| x -1|+ 4 - x 2 的值域是 2.方程 sin(2013 兀 x)= x 2013 的实数根为 3.化简 sin 12? sin 48? sin 54? = (用数字作答)

4.设数列{ a n }满足 a 1 ? a 2 ? 1 , a n ? 3a n ?1 ? a n ? 2 (n ? 3) ,则 a 2013 ?

? ? 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 5 5.设Δ ABC 的外接圆圆心 P 满足 ,则 cos ?BAC = z ?1 y 6.设复数 z=x+yi 满足 的实部和虚部之比为 3 ,其中 i 是虚数单位,x,y ? R ,则 的 z ?1 x
最大值为 7.设 1 ? x ? x 2

?

?

150

=

?c x
k ?0 k

300

k

,其中 c 0 ,..., c300 是常数,则

?c
k ?0

300

3k

=

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为

二.解答题(第 9-10 每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分)
9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧面长为 2,求其体积和内切球的半径.

10.求所有函数 f : R ? R ,使得对任意的 x,y 都有

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy且x 2 ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? x 2

1

1

13

11.设 a,b,c 是不全为 0 的实数, 求 F= F 取最大值和最小值?

ab ? bc ? c 2 的取值范围, a,b,c 分别满足什么条件时, a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

2 ( 1 ? an ?1) a1 ? 1, a2 ? 2, an ? (n ? 3) 12.设数列{ an }满足 an ? 2

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:对任意的正整数 k, a2 k ?1 和

a2 k 都是整数. 2

14


推荐相关:

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题 1....


2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007-2015年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解_学科竞赛_高中教育_教育专区。...1 . 2 2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷 一.填空题(每题 8 分,共...


2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案

2007年安徽省高中数学联赛初赛试卷和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学联赛初赛试卷 (考试时间:2007 年 9 月 8 日 9:30—11:30) 一....


2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题 1. 如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1.2.3.4?...


2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛答案

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛答案 07 年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题 1...


2007安徽省高中数学竞赛初赛试题

1 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题 1.如果集合 A.B 同时满足 A ∪ B = {1.2.3.4} A ∩ B = {1} , A ≠ {1} , B ≠ {1} 就...


2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题 1.如果集合 A.B 同时满足 A B ? ?1....


2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷

2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题(考试时间:2013 年 9 月 14 日上午 9:00——11:30) 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) ? ...


2008年安徽高中数学竞赛初赛试题及答案

2008年安徽高中数学竞赛初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年安徽...? a 2007 a 2008 ? a2008 a1 的最大值 为 11.设点 A ? 1,1 ? , ...


2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年安徽省高中...a2a3 ? ? a2007 a2008 ? a2008a1 的最大值为 4 11,设点 A(1,1),...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com