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甘肃省天水市秦安县第三中学2014-2015学年高二数学上学期盟校期末考试试题 理


2014—2015 学年度第一学期盟校期末联考 高 二 数 学(理科)
考生注意: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。 2. 请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个正确答案。 ) 1.如果 a<

b<0,那么( A.a-b>0 ) B.ac<bc C.

1 1 > a b


D.a <b

2

2

? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是 ( 2.已知命题 p: ? x ? R,使 tan x ? 1 A. ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 C. ?p:
3.对抛物线 y ? 4x2 ,下列描述正确的是( A.开口向上,焦点为 (0,1) C.开口向右,焦点为 (1, 0)

? x ? R,使 tan x ? 1 B. ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 D. ?p:


1 ) 16 1 D.开口向右,焦点为 (0, ) 16
B.开口向上,焦点为 (0,

4.一学校高中部有学生 2 000 人,其中高一学生 800 人,高二学生 600 人,高三学生 600 人. 现采用分层抽样的方法抽取容量为 50 的样本,那么高一、高二、高三各年级被抽取的学生人 数分别为( ) A.15,10,25 B.20,15,15 C.10,10,30 D.10,20,20 5.右边程序的输出结果为 ( ) A. 3,4 B. 7,7 C. 7,8 D. 7,11 X=3 Y=4 X=X+Y Y=X+Y ) PRINT X,Y

6、椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为(
2 2

A、 ?25

B、 25

C、 ?1

D、 1 )

7.从 12 个同类产品(其中 10 个是正品, 2 个是次品)中任意抽取 3 个的必然事件是( A. 3 个都是正品 B.至少有 1 个是次品 C.

3 个都是次品 D.至少有 1 个是正品
,则双曲线的渐近线方程为( )

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 8.若双曲线 9 b2

-1-

A.

B.

C.

D.

9. 观察新生婴儿的体重表,其频率分布直方图如图 2-1 所示,则新生婴儿体重在 [2 700,3 000)的频率为( )

A.0.001

B.0.1

图 2-1 C.0.2

D.0.3

?x ? 2 ? 11.若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ?
A、 [2,6] B、 [2,5]

, 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是





C、 [3,6]

D、 ( 3,5]

12.直线 心率等于( )

经过椭圆

的一个焦点和一个顶点,该椭圆的离

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上) 13.如图是一个程序框图,若开始输入的数字为 t=10,则输出结果为

-2-

16. 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 36 9

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 17.(10 分)已知命题 p : x ? x ? 6, q : x ? Z ,若“ p ? q ”与“ ? q ”同时为假命题,

求 x 的值。 18 .(12 分)抛掷两颗骰子,求: (1)点数之和出现 7 点的概率; (2)出现两个 4 点的概率. 19.(12 分)已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。 20(12 分) .某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为 4 800 立方米,深度为 3 米.池底 每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元.设池底长方形长为 x 米. (1)求底面积,并用含 x 的表达式表示池壁面积; (2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 21.(12 分)如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2,BD= 2 2 . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—CD—B 余弦值的大小;

?

?

?

?

P

A

D

B

C
-3-

22.(12 分)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题。并判断逆命题真假(不需写出理由)

-4-

2014—2015 学年度第一学期盟校期末联考 高 二 数 学(理科)参考答案 1.C 13. 140 2.C 3. B 14. 4. B 5.D 6.D 7.D 8.B 9.D 10.B 11.A 12.D

2 3

15. {X/X<1 或 X>3}

16. x+2y-8=0

17. (满分 10 分) 解:p ? q 与 “ ? q 同时为假命题, 所以 p 为真, ...... .... .......3 q 为假。 分故 ?

?x ? Z
2 ?| x ? x |? 6

......................................................6 分

x ? ?1,0,1,2 ......................10 分
18 .(满分 12 分) (1)由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子,共有 6×6=36 种结果,.............2 分 满足条件的事件是点数之和是 7,可以列举出所有的事件 (1,6)(2,5) 分 根据古典概型概率 1 6 公式得 ..........6 分 (3,4)(4,3)(5,2)(6,1),共有 6 种结果,.......4

(2)由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子,共有 6×6=36 种结果,........8 分 满足条件的事件是出现两个 4 点,可以列举出事件(4,4),共有 1 种结果.......10 分 根据古典概型概率公式 19. (满分 12 分) 1 36 得到 P= ..............12 分

解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6 得: c ? 2

?

?

?

?

2, a ? 3 所以 b ? 1

2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 ????5 分 9 1

⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ①, 9 1
????????7 分 ∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10

y ? x?2②

把②代入①得化简并整理得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0
2 又 AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 2 5 10 5

?10 分

???????????12 分

-5-

20(满分 12 分)解: (1)设水池的底面积为 S1,池壁面积为 S2,则 S1= 米)....2 池底长方形宽为

4 800 =1 600(平方 3

1 600 米,则.............4 x 1 600 1 600 S2=6x+6× =6(x+ ).....6 x x 1 600 )≥240 000+57 600=297 600.......8 x

(2)设总造价为 y,则

y=150×1 600+120×6(x+
当且仅当 x=

1 600 ,即 x=40 时取等号........9 x

所以 x=40 时,总造价最低为 297 600 元........11 答:当池底设计为边长 40 米的正方形时,总造价最低,其值为 297 600 元. ......12 21.(满分 12 分) 证: (1)以 A 为原点,AB、AD、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) 、D(0,2,0) 、P(0,0,2).??????1 分 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2.∴B(2,0,0) 、C(2,2, 0) , ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) ??????3 分

∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 , 即 BD⊥AP, BD⊥AC, 又 AP∩AC=A, ∴BD⊥平面 PAC. ?? 6分 解: (2)由(1)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 , 即?

?x ? 0 ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ,∴ ? ?y ? z ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0

故平面 PCD 的法向量可取为 n1 ? (0,1,1) ???8 分

∵PA⊥平面 ABCD,∴ AP ? (0,01 ) 为平面 ABCD 的法向量. 设二面角 P—CD—B 的大小为?,依题意可得 cos? ?

????10 分

n1 ? AP n1 ? AP

?

2 . ????12 分 2

-6-

22.(满分 12 分)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,不必说明理由。 证明: (1)解法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、B(3,- 6 ), ∴ OA ? OB ? 3 。 ???????????3 分 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.
2

? y 2 ? 2x 1 2 1 2 2 得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6. 又∵x1= y1 , x2= y2 , ? 2 2 ? y ? k ( x ? 3)
∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

1 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 4

???????7 分 ???????8 分
2
2

综上所述, 命题“......”是真命题.

解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 my =x - 3 与 y =2x 联 立 得 到 y -2my-6=0

OA ? OB =x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1) × (-6)+3m×
2m+9=3 ???8 分
2

B. 逆命题是: “设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB ? 3 ,那么该直线过点 T(3,0).”??????????10 分 逆命题为假命题。???????12 分

-7-


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