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2016年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)(解析版)


山东省临沂市 2016 年高考数学一模试卷(文科)(解析版)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 U={0,1,2,3,4},M={1,3},N={1,2,4},则为(?uM)∩N( A.{1,3,4} 2.如果复数 z= A.|z|=2 B.{0,2,4} ,则( ) C

.{2,4} D.{3,4} )

B.z 的实部为 1

C.z 的虚部为﹣1 D.z 的共轭复数为 1+i 3.命题? m∈[0,1],则 A.? m∈[0,1],则 的否定形式是( )

B.? m∈[0,1],则 D.? m∈[0,1],则 )

C.? m∈(﹣∞,0)∪(1,+∞),则 4.“α= ”是 sin(α﹣β)=cosβ“的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料 如表所示: X y 11 5 10.5 6 10 8 9.5 10 9 11

由此表可得回归直线方程 =﹣3.2x+ ,据此模型预测零售价为 5 元时,每天的销售量为 ( )

A.23 个B.24 个 C.25 个 D.26 个 6.下列函数中,既是奇函数又在区间(﹣1,1)上单调递减的函数是( A.f(x)=sinx B.f(x)=2cosx+1 C.f(x)=2x﹣1 D. ) )

7.一个几何体的三视图如图所示,根据图中数据,该几何体的体积是(

A.

B.3π

C.4π

D.

8.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1),若点 M(x,y)为平面区域 个动点,则 ? 的取值范围是( C.[0,2] ) D.[﹣1,2]

,上的一

A.[﹣1,0] B.[0,1] 9.已知 a 是常数,函数

的导函数 y=f′(x)的图象如图 )

所示,则函数 g(x)=|ax﹣2|的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

10.双曲线 心率为( A.

﹣ )

=1 的渐近线方程与圆(x﹣

)2+(y﹣1)2=1 相切,则此双曲线的离

B.2

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡对应题号的位置位 置.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.函数 y=(x+a)ex 在 x=0 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直,则 a 的值为 12.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 ,则角 C= 13.将函数 f(x)的图象向左平移 则 f(x)的解析式为 . . 的图象, .

个单位长度后,得到

14.如图所示的程序框图,当 a1=1,k=2016 时,输出的结果为



15.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,则

的最小值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.把答 案填在答题卡上的相应位置. 16.(12 分)(2016?临沂一模)某校组织学生参加数学竞赛,共有 15 名学生获奖,其中 10 名男生和 5 名女生,其成绩如茎叶图所示(单位:分).规定:成绩在 80 分以上者为一 等奖,80 分以下者为二等奖,已知这 5 名女生的平均成绩为 73. (I)求男生成绩的中位数及 m 的值; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法,从一等奖和二等奖学生中共选取 5 人,再从这 5 人中选取 2 人,求至少有 1 人是一等奖的概率. 17. =sin (12 分) (2016?临沂一模) 已知函数 f (x) (ωx﹣ (ω>0)的周期为 π. (I)求 ω 的值; (Ⅱ)若 x∈[0, ],求 f(x)的最大值与最小值. ) +cos (ωx﹣ ) ﹣2sin2

18.(12 分)(2016?临沂一模)在正三角形 ABC 中,E,F,P 分别是 AB,AC,BC 边上 的点满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1),将△AEF 折起到△A1EF 的位置上, 连接 A1B,A1C(如图 2) (I)求证:FP∥面 A1EB; (Ⅱ)求证:EF⊥A1B.

19.(12 分)(2016?临沂一模)已知正数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 ( I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)符号[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[log23]=1,[log25]=2.记 ,求数列 的前 n 和 Tn. .



20.(13 分)(2016?临沂一模)已知函数 ( I)证明:函数 f(x)在[1,e]上存在唯一的零点; (Ⅱ)若 g(x)≥af(x)在[1,e]上恒成立,求 a 的取值范围. 21.(14 分)(2016?临沂一模)已知椭圆 C1: 其短轴的下端点在抛物线 x2=4y 的准线上. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为



(Ⅱ)设 O 为坐标原点,M 是直线 l:x=2 上的动点,F 为椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的 垂线与以为 OM 直径的圆 C2 相交于 P,Q 两点,与椭圆 C1 相交于 A,B 两点,如图所示.? ①若 PQ= ,求圆 C2 的方程;

②?设 C2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S1,S2,若 S1=λS2,求 λ 的取值范围.

2016 年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.已知集合 U={0,1,2,3,4},M={1,3},N={1,2,4},则为(?uM)∩N( A.{1,3,4} B.{0,2,4} C.{2,4} D.{3,4} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由全集 U 及 M,求出 M 的补集,找出 M 补集与 N 的交集即可. 【解答】解:∵U={0,1,2,3,4},M={1,3},N={1,2,4}, ∴?uM={0,2,4}, 则(?uM)∩N={2,4}, 故选:C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.如果复数 z= A.|z|=2

,则(



B.z 的实部为 1

C.z 的虚部为﹣1 D.z 的共轭复数为 1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【分析】直接利用复数的除法运算化简,求出复数的模,然后逐一核对选项即可得到答案. 【解答】解:由 z= 所以 = ,

,z 的实部为﹣1,z 的虚部为﹣1,

z 的共轭复数为﹣1+i, 故选 C. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3.命题? m∈[0,1],则

的否定形式是(



A.? m∈[0,1],则

B.? m∈[0,1],则 D.? m∈[0,1],则

C.? m∈(﹣∞,0)∪(1,+∞),则 【考点】命题的否定.

【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 【解答】解:因为全称命题是否定是特称命题,所以,命题? m∈[0,1],则 否定形式是:? m∈[0,1],则 故选:D. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题否定关系,是基础题. 的

4.“α=

”是 sin(α﹣β)=cosβ“的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】α= ? sin(α﹣β)=cosβ,反之不成立,例如取 α= ? sin(α﹣β)=cosβ,反之不成立,例如取 α= . .

【解答】解:α= ∴α=

”是 sin(α﹣β)=cosβ 的充分不必要条件.

故选:A. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属 于基础题.

5.某产品在某零售摊位的零售价 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料 如表所示: X y 11 5 10.5 6 10 8 9.5 10 9 11

由此表可得回归直线方程 =﹣3.2x+ ,据此模型预测零售价为 5 元时,每天的销售量为 ( )

A.23 个B.24 个 C.25 个 D.26 个

【考点】线性回归方程. 【分析】求出数据中心,代入回归方程得出 【解答】解: ∴8=﹣3.2×10+ ,∴ =40. ,将 x=5 代入回归方程得出答案. =10, =8.

∴回归方程为 =﹣3.2x+40. 当 x=5 时, 故选:B. 【点评】本题考查了线性回归方程的特点,属于基础题. =﹣3.2×5+40=24.

6.下列函数中,既是奇函数又在区间(﹣1,1)上单调递减的函数是( A.f(x)=sinx B.f(x)=2cosx+1 C.f(x)=2x﹣1 D.



【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】根据奇函数、偶函数的定义,正弦函数的单调性,指数函数的图象,奇函数图象的 对称性,以及复合函数、对数函数和反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误,从而找 出正确选项. 【解答】解:A.f(x)=sinx 在(﹣1,1)上单调递增,∴该选项错误; B.f(x)=2cosx+1 是偶函数,不是奇函数,∴该选项错误; C.f(x)=2x﹣1 的图象不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误; D.解 得,﹣1<x<1,且 ;

∴f(x)为奇函数; ; 在(﹣1,1)上单调递减,y=lnx 单调递增; ∴f(x)在(﹣1,1)上单调递减,∴该选项正确. 故选:D. 【点评】考查奇函数、偶函数的定义,奇函数图象的对称性,指数函数的图象,以及对数函 数、反比例函数及复合函数的单调性.

7.一个几何体的三视图如图所示,根据图中数据,该几何体的体积是(



A.

B.3π

C.4π

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由三视图可知: 该几何体是由上下两部分组成, 上面是一个圆锥, 下面是一个圆柱. 即 可得出. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成,上面是一个圆锥,下面是一个 圆柱. ∴该几何体的体积=π×12×3+ 故选:A. 【点评】本题考查了三视图的有关计算、圆锥与圆柱的体积计算公式,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题. = .

8.已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1),若点 M(x,y)为平面区域 个动点,则 ? 的取值范围是( C.[0,2] ) D.[﹣1,2]

,上的一

A.[﹣1,0] B.[0,1]

【考点】简单线性规划的应用;平面向量数量积的运算. 【分析】先画出满足约束条件 ? 分析比较后,即可得到 ? 的平面区域,求出平面区域的角点后,逐一代入 的取值范围. 的平面区域如下图所示:

【解答】解:满足约束条件

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1,y=1 时, 当 x=1,y=2 时, 当 x=0,y=2 时, 故 ? ? ? ? =﹣1×1+1×1=0 =﹣1×1+1×2=1 =﹣1×0+1×2=2

和取值范围为[0,2]

解法二: z= ? =﹣x+y,即 y=x+z

当经过 P 点(0,2)时在 y 轴上的截距最大,从而 z 最大,为 2. 当经过 S 点(1,1)时在 y 轴上的截距最小,从而 z 最小,为 0. 故 ? 和取值范围为[0,2]

故选:C 【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用,其中画出满足条件的平面区域,并将三 个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式,进而判断出结果是解答本题的关键.

9.已知 a 是常数,函数 所示,则函数 g(x)=|ax﹣2|的图象可能是( )

的导函数 y=f′(x)的图象如图

A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图象变换. 【分析】求出原函数的导函数,由导函数的图象得到 a>1,然后利用指数函数的图象平移 得答案. 【解答】解:∵ ∴f′(x)=x2+(1﹣a)x﹣a, 由函数 y=f′(x)的图象可知 ∴a>1, 则函数 g(x)=|ax﹣2|的图象是把函数 y=ax 向下平移 2 个单位,然后取绝对值得到,如图. 故可能是 D. 故选:D. , ,

【点评】本题考查指数式的图象平移,考查了导数的综合运用,是中档题.

10.双曲线 心率为( A.

﹣ )

=1 的渐近线方程与圆(x﹣

)2+(y﹣1)2=1 相切,则此双曲线的离

B.2

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. d=r, 【分析】 设出双曲线的渐近线方程为 y= x, 运用直线和圆相切的条件: 化简可得 b= a,由 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到所求值. 【解答】解:设双曲线 的一条渐近线方程为 y= x,

由渐近线与圆 可得圆心( 即为 化为 b= a,

相切, ,1)到渐近线的距离为 1, =1,

可得 c= 即有 e= =2. 故选:B.

=2a,

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用点到直线的距离公式,考查直线和圆相 切的条件:d=r,考查运算能力,属于中档题.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡对应题号的位置位 置.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.函数 y=(x+a)ex 在 x=0 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直,则 a 的值为 0 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 求函数的导数, 根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系 进行求解即可. 【解答】解:∵函数 y=(x+a)ex 在 x=0 处的切线与直线 x+y+1=0 垂直, ∴函数 y=(x+a)ex 在 x=0 处的切线斜率 k=1, ∵f′(x)=(x+a+1)ex, ∴f′(0)=(a+1)e0=a+1=1, 得 a=0, 故答案为:0. 【点评】 本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义, 根据条件建立方程关系是解决 本题的关键.

12.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 ,则角 C= .

【考点】两角和与差的余弦函数;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得 cosC= ,可得角 C 的值. 【解答】解:△ABC 中,∵ ﹣b, ,∴ =a

∴a2+b2﹣c2=ab,∴cosC=

= ,∴C=



故答案为:



【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.

13.将函数 f(x)的图象向左平移

个单位长度后,得到

的图象,

则 f(x)的解析式为 f(x)=﹣2cos2x . 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由条件利用诱导公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:由题意可得,把 得到 f(x)=2sin[2(x﹣ )+ ]=2sin(2x﹣ 的图象向右平移 个单位长度后,

)=﹣2cos2x 的图象,

故答案为:f(x)=﹣2cos2x. 【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础 题.

14.如图所示的程序框图,当 a1=1,k=2016 时,输出的结果为



【考点】程序框图. 【分析】题目给出了当型循环结构框图,首先引入累加变量 s 和循环变量 i,由判断框得知, 算法执行的计算并输出 S= +…+ 的值,用裂项法即可计算求值.

【解答】解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出 S= +…+ 的值,

由于 S= = . .

+…+

= (1﹣ ) + (

) +… (

=1﹣ )

故答案为:

【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构,当型循环结构是先判断再执行,若满足条 件进入循环,否则结束循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算,如累加、累积等,在 循环结构中框图中,特别要注意条件应用,如计数变量和累加变量等.

15.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,则 【考点】基本不等式.

的最小值为



【分析】由题意可得(2x+y)+y=2,整体代入可得 本不等式可得. 【解答】解:∵x>0,y>0,且 x+y=1, ∴2x+2y=2,即(2x+y)+y=2, ∴ = (5+ 当且仅当 = ( + = )[(2x+y)+y] )≥ (5+2 )=

= (5+

+

),由基

即 2x+y=2y 即 y=2x= 时取等号.

故答案为: . 【点评】 本题考查基本不等式求最值, 整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题 的关键,属中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.把答 案填在答题卡上的相应位置. 16.(12 分)(2016?临沂一模)某校组织学生参加数学竞赛,共有 15 名学生获奖,其中 10 名男生和 5 名女生,其成绩如茎叶图所示(单位:分).规定:成绩在 80 分以上者为一 等奖,80 分以下者为二等奖,已知这 5 名女生的平均成绩为 73. (I)求男生成绩的中位数及 m 的值;

(Ⅱ)如果用分层抽样的方法,从一等奖和二等奖学生中共选取 5 人,再从这 5 人中选取 2 人,求至少有 1 人是一等奖的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数. 【分析】(Ⅰ)利用中位数、平均值的意义即可得出; (Ⅱ)利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)男生成绩的中位数为 ∵这 5 名女生的平均成绩为 73, ∴ (65+66+77+(70+m)+85)=73, 解得 m=2, (Ⅱ)由题意知一等奖获得者有 6 人,二等奖获得者为 9 人, 则用分层抽样的选取的一等奖人数为 选取的二等奖的人数为 ×5=2 人,记为 A1,A2, =80,

=3 人,记为 B1,B2,B3.

从这 5 人中选 2 人的所以可能情况为: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2, B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共 10 种, 这 10 个基本事件是等可能性的, 其中至少有 1 人是至少有 1 人是一等奖的结果有 7 种, ∴至少有 1 人是一等奖的概率 P= 【点评】 本题考查了由茎叶图求数据的平均数及古典概型的概率计算, 熟练掌握茎叶图是解 答问题的关键.

17. =sin (12 分) (2016?临沂一模) 已知函数 f (x) (ωx﹣ (ω>0)的周期为 π. (I)求 ω 的值; (Ⅱ)若 x∈[0, ],求 f(x)的最大值与最小值.

) +cos (ωx﹣

) ﹣2sin2

【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用.

【分析】(I)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性得出 结论. (Ⅱ)由 x∈[0, ],利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)的值域. )+cos(ωx﹣ ﹣2? =π,∴ω=2. )∈[﹣ ,1], )﹣2sin2

【解答】解:(I)∵函数 f(x)=sin(ωx﹣ =sinωxcos = ﹣cosωxsin +cosωxcos

+sinωxsin

sinωx+cosωx﹣1=2sin(ωx+ ],则 2x+

)﹣1(ω>0)的周期为 ∈[ , ],∴sin(ωx+

(Ⅱ)若 x∈[0, ∴f(x)=2sin(ωx+

)﹣1 的值域为[﹣2,1].

【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性,正弦函数的定义域和值域,属于 中档题.

18.(12 分)(2016?临沂一模)在正三角形 ABC 中,E,F,P 分别是 AB,AC,BC 边上 的点满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图 1),将△AEF 折起到△A1EF 的位置上, 连接 A1B,A1C(如图 2) (I)求证:FP∥面 A1EB; (Ⅱ)求证:EF⊥A1B.

【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. EB=CF: FA=CP: PB=1: 2, 【分析】 (Ⅰ) 由 AE: 得 FP∥BE, 由此能证明 FP∥平面 A1EB. (Ⅱ)设正三角形 ABC 的边长为 3,则 AE=1,AF=2,由余弦定理得 EF= 得 EF⊥AB,又 EF⊥A1E,EF⊥BE,由此能证明 EF⊥A1B. 【解答】证明:(Ⅰ)∵正三角形 ABC 中,E,F,P 分别是 AB,AC,BC 边上的点满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2, ∴FP∥BE, ,由勾股定理

又 BE? 平面 A1EB1,FD?平面 A1EB, ∴FP∥平面 A1EB. (Ⅱ)设正三角形 ABC 的边长为 3,则 AE=1,AF=2, ∵∠EAF=60°,∴EF2=AE2+AF2﹣2AE?AFcos∠EAF=1+4﹣2×1×2×cos60°=3, ∴EF= ,

在△ABF 中,AF2=AE2+EF2,∴EF⊥AE,∴EF⊥AB, 则在图 2 中,有 EF⊥A1E,EF⊥BE, ∴EF⊥面 A1EB, 又∵A1B? 面 A1EB1,∴EF⊥A1B.

【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养.

19.(12 分)(2016?临沂一模)已知正数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 ( I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)符号[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[log23]=1,[log25]=2.记 ,求数列 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(I)由 ,当 n=1 时,4a1= +1,化为 的前 n 和 Tn.



=0,解

得 a1.当 n≥2 时,化为:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,由于 an>0,可得 an﹣an﹣1=2.利 用等差数列的通项公式即可得出. (II)由(I)可知:an=2n﹣1,可得 得: 数列 = =[log2(n+1)],利用[x]的定义可

=n.再利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 的前 n 和 Tn.

【解答】解:(I)∵ ∴当 n=1 时,4a1= +1,化为

, =0,解得 a1=1. ,化为:(an+an﹣1)(an﹣an

当 n≥2 时,4(Sn﹣Sn﹣1)=
﹣1

+2an+1﹣

﹣2)=0,

∵an>0,∴an﹣an﹣1=2. ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (II)由(I)可知:an=2n﹣1,可得 由[x]的定义可知:b2=[log23]=1,b4=[log25]=2,…, ∴ = =n. 的前 n 和 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n?2n, =[log2(n+1)],

∴数列

2Tn=22+2×23+…+(n﹣1)×2n+n?2n+1, ∴﹣Tn=2+22+…+2n﹣n?2n+1= ∴Tn=(n﹣1)?2n+1+4. 【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、新 定义函数[x]的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. ﹣n?2n+1=(1﹣n)?2n+1﹣4,

20.(13 分)(2016?临沂一模)已知函数 ( I)证明:函数 f(x)在[1,e]上存在唯一的零点; (Ⅱ)若 g(x)≥af(x)在[1,e]上恒成立,求 a 的取值范围.



【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,得到函数的单调性,求出 f(1)f(e)<0,证出结论即 可; (Ⅱ)问题转化为 x+ ﹣alnx≥0 在[1,e]上恒成立,令 h(x)=x+ ﹣alnx,x∈[1,

e],通过讨论 a 的范围,结合函数的单调性求出 a 的具体范围即可. 【解答】解:(Ⅰ)证明:∵f(x)=lnx﹣ ,x∈[1,e],

则 f′(x)= +

>0 在[1,e]恒成立,

则 f(x)在[1,e]递增, 又 f(1)=﹣1<0,f(e)=1﹣ >0,即 f(1)?f(e)<0, ∴函数 f(x)在[1,e]上存在唯一的零点; (Ⅱ)由 g(x)≥af(x)在[1,e]上恒成立, 则 x+ ≥a(lnx﹣ ),即 x+ 令 h(x)=x+ ﹣alnx≥0 在[1,e]上恒成立,

﹣alnx,x∈[1,e],

则 h′(x)= ∵x∈[1,e],∴x+1>0,



①1+a≥e 即 a≥e﹣1 时,h′(x)≤0,h(x)在[1,e]递减, h(x)min=h(e)=e+ ﹣a,由 h(x)min≥0,得:a≤ ,

即 e﹣1≤a≤



②1+a≤1 即 a≤0 时,h′(x)≥0,h(x)在[1,e]递增, h(x)min=h(1)=2+a≥0,解得:a≥﹣2, 此时:﹣2≤a≤0; ③1<1+a<e,即 0<a<e﹣1 时, 在[1,a+1)上,h′(x)<0,h(x)递减, 在(a+1,e]上,h′(x)>0,h(x)递增, ∴h(x)min=h(a+1)=a+2﹣aln(a+1), ∵1<1+a<e,∴0<ln(a+1)<1, ∴a+2﹣aln(1+a)>a+2﹣a=2>0, 即 h(x)min>0 恒成立, ∴0<a<e﹣1 符合题意, 综上,a 的取值范围是[﹣2, ].

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道 综合题.

21.(14 分)(2016?临沂一模)已知椭圆 C1: 其短轴的下端点在抛物线 x2=4y 的准线上. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

=1(a>b>0)的离心率为



(Ⅱ)设 O 为坐标原点,M 是直线 l:x=2 上的动点,F 为椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的 垂线与以为 OM 直径的圆 C2 相交于 P,Q 两点,与椭圆 C1 相交于 A,B 两点,如图所示.? ①若 PQ= ,求圆 C2 的方程;

②?设 C2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S1,S2,若 S1=λS2,求 λ 的取值范围.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率为 ,其短轴的下端点在抛物线 x2=4y 的准线上,列出方程

组求出 a,b,由此能求出椭圆 C1 的方程. (Ⅱ)①设 M(2,t),则 C2 的方程为(x﹣1)2+(y﹣ )2=1+ 结合已知条件能求出圆 C2 的方程. ②由①知 PQ 方程为 2x+ty﹣2=0,(t≠0),代入椭圆方程得(8+t2)x2﹣16x+8﹣2t2=0, t≠0,由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想,能求出 λ 的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆 C1: 在抛物线 x2=4y 的准线上, =1(a>b>0)的离心率为 ,其短轴的下端点 ,由此利用圆的性质



,解得 a=

,b=c=1,

∴椭圆 C1 的方程为



(Ⅱ)①由(Ⅰ)知 F(1,0),设 M(2,t),则 C2 的圆心坐标为(1, ), C2 的方程为(x﹣1)2+(y﹣ )2=1+ ,

直线 PQ 方程为 y= (x﹣1),(t≠0),即 2x+ty﹣2=0,(t≠0)

又圆 C2 的半径 r=

=



由(

)2+d2=r2,得(

)2+

=



解得 t2=4,∴t=±2, ∴圆 C2 的方程为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2 或(x﹣1)2+(y+1)2=2. ②由①知 PQ 方程为 2x+ty﹣2=0,(t≠0),



,得(8+t2)x2﹣16x+8﹣2t2=0,t≠0,

则△=(﹣16)2﹣4(8+t2)(8﹣2t2)=8(t4+4t2)>0, , ,

|AB|=

=

=2

×



∴ S1=πr2= ∵S1=λS2,

=

=







=

=



当 t=0 时,PQ 的方程为 x=1,|AB|= |OM|×|AB|= ,

,|OM|=2, =π,

∴ ∵S1=λS2,





=

=

=

=



= ,|OM|=2,



当直线 PQ 的斜率不存在时,PQ 方程为 x=1,|AB|= ∴S2= |OM|×|AB|= . ,S1= =π,

综上,



【点评】本题考查椭圆方程、圆的方程的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想的合理运用.


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