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2014北京丰台高考一模数学理(解析)


丰台区 2013—2014 学年度第二学期期中练习 2014.3 高 三 数 学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的 4 个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)设集合 A ? {x ? R | ?1 ? x ? 1} , B ? {x ? R | x( x ? 3) ? 0} ,则 A B

等于( ) . A. {x ? R | ?1 ? x ? 3} B. {x ? R | 0 ? x ? 3} { x ? R | ? 1 ? x ? 0} C. D. {x ? R | 0 ? x ? 1} (2)在极坐标系中,点 A(1, π ) 到直线 ? cos ? ? 2 的距离是( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3)执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( 8 29 A. B. 5 12 5 13 C. D. 3 8 ) .

(4)已知函数 f ( x ) 是定义在 [?6, 6] 上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则下列各式中一定成 立的是( ) . A. f (0) ? f (6) B. f (-3) ? f (-2) f ( ? 1) ? f (3) C. D. f (-2) ? f (1) (5)“ m ? n ? 1 ”是 “ log m 2 ? log n 2 ”的( ) . A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (6)某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选 1 人参加该行业全国技能大赛.经过 6 轮选拔,甲、乙 两人成绩突出,得分情况如茎叶图所示.若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲 , x乙 ,则下列说法正确的是 ( ) . x A. 甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 (7)棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三 视图如图所示,那么该几何体的体积是( ) . 14 A. B. 4 3 10 C. D. 3 3 (8) 如果某年年份的各位数字之和为 7 , 我们称该年为“七巧年”. 例如, “ ” 2014 7 今年年份 的各位数字之和为 ,所以今年恰为 七巧年 .那么从 2000 年到 2999 年中“七巧年”共有( ) . A. 24 个 B. 21 个 C. 19 个 D. 18 个

2 1 1 主视图 侧视图

1

1

2

俯视图

1 / 13

第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. sin ? ? cos ? (9)已知 tan ? ? 2 ,则 的值为_______________. sin ? ? cos ? (10)已知等比数列 {an } 中, a3 ? a5 ? 8 , a1a5 ? 4 ,则
a13 = a9



(11)如图,已知圆的两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延长线上一 点,且 DF ? CF ? 2 , AF : FB : BE ? 4 : 2 :1 .若 CE 与圆相切,则线 段 CE 的长为 . (12)已知点 F , B 分别为双曲线 C :

D A B F C E

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点和虚轴 2 a b 端点, 若线段 FB 的中点在双曲线 C 上, 则双曲线 C 的离心率是_______.

2

2

(13)已知平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点, AM ? m AB , AN ? nAD ( m ? n ? 0 ) ,若 MN // BE , n 则 =______________. m
??t ? x ? t, ? x 2 ? y 2 ? 1 ? 0, ? (14)设不等式组 ? 表示的平面区域为 M ,不等式组 ? 表示的平面区域为 N .在 2 ? ?y ? 0 ?0 ? y ? 1 ? t M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率的最大值是_________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分) π 2 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin x ? 1 . 3 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; π (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 2

2 / 13

(16) (本小题共 13 分) 年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某地区老龄人共有 35 万,随机调查了该地区 700 名老龄 人的健康状况,结果如下表: 0 健康指数 2 1 ?1 60 岁至 79 岁的人数 250 260 65 25 15 80 岁及以上的人数 20 45 20 其中健康指数的含义是: 2 表示“健康”, 1 表示“基本健康”, 0 表示“不健康,但生活能够自理”, ?1 表 示“生活不能自理”. (Ⅰ)估计该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率. (Ⅱ)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于 1.2 ,则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该 地区老龄人健康指数 X 分布列,并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.

3 / 13

(17) (本小题共 14 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是棱 AB 上的动点. (Ⅰ)求证: DA1 ? ED1 ; AE (Ⅱ)若直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45? ,求 的值; AB (Ⅲ)写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置(结论不要求证明) .

4 / 13

(18) (本小题共 13 分) 已知曲线 f ( x) ? ax ? e x (a ? 0) . (Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

5 / 13

(19) (本小题共 14 分) x2 y 2 3 如图,已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过左焦点 F (? 3,0) 且斜率为 k 的直线交椭圆 a b 2 E 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 M ,直线 l : x ? 4ky ? 0 交椭圆 E 于 C , D 两点. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求证:点 M 在直线 l 上; (Ⅲ)是否存在实数 k,使得三角形 BDM 的面积是三角形 ACM 的 3 倍?若存在,求出 k 的值;若不存 在,说明理由.

6 / 13

(20) (本小题共 13 分) 从数列 {an } 中抽出一些项,依原来的顺序组成的新数列叫数列 {an } 的一个子列. (Ⅰ)写出数列 {3n ? 1} 的一个是等比数列的子列; (Ⅱ)若 {an } 是无穷等比数列,首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 0 且 q ? 1 ,则数列 {an } 是否存在一个子列为无穷 等差数列?若存在,写出该子列的通项公式;若不存在,证明你的结论.

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丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(一) 2014.3 数学(理科)答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D C A C A D B B 答案 二、填空题 1 2 7 9. 10. 9 11. 12. 5 13. 2 14. 3 ? 2 三、解答题 15.解: ? ? (Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? cos 2 x 3 3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 ? 3( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 ? ? ? 3(sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 3 3 ? ? 3 sin(2 x ? ) ——————————————————————————————————5 分 3 所以 f ( x ) 的最小正周期为 π.————————————————————————————7 分 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) 3 ? π π 4π π π π 4π π 因为 x ? [0, ] , 所以 2 x ? ? [ , ] , 当 2x ? ? , 即 x ? 时, 函数 f ( x ) 取最大值 3 , 当 2x ? ? , 2 3 3 3 3 2 3 3 12 3 π 即 x ? 时,函数 f ( x ) 取最小值 ? . 2 2 3 ? 所以,函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 ,最小值为 ? .——————————————13 分 2 2 16.解:
250 ? 260 ? 65 23 ? , 250 ? 260 ? 65 ? 25 24 23 所以该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 .——————————————5 分 24 (Ⅱ)该地区老龄人健康指数 X 的可能取值为 2 , 1 , 0 , ?1 ,其分布列为(用频率估计概率) : 0 X 2 1 ?1 P 270 305 85 40 700 700 700 700 270 305 85 40 ?1 ? ?0 ? ? ( ? 1 ) ? ?1 . 1 5 EX ? 2 ? 700 700 700 700 “ EX ? 1.2 因为 ,所以该地区不能被评为 老龄健康地区”.———————————————13 分 C (0,1, 0) ,D1 (0,1, 2) , 17. 解: 以 D 为坐标原点, 建立如图所示的坐标系, 则 D (0, 0, 0) ,A(1, 0, 0) , B (1,1, 0) , A1 (1,0,1) ,设 E (1, m, 0) (0 ? m ? 1)

(Ⅰ)该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为

8 / 13

z

(Ⅰ)证明: DA1 ? (1,0,1) , ED1 ? (?1, ?m,1)
DA1 ? ED1 ? 1? (?1) ? 0 ? (?m) ? 1? 1 ? 0 所以 DA1 ? ED1 ————————————————————4 分
A1

D1 B1

C1

(Ⅱ)设平面 CED1 的一个法向量为 v ? ( x, y, z ) ,则
? ?v ? C D 1 ?0 ,而 CD1 ? (0, ?1,1) , CE ? (1, m ? 1,0) ? ?0 ? ?v ? C E ?? y ? z ? 0, 所以 ? 取 z ?1 , 得 y ? 1 , x ?1? m , ? x ? (m ? 1) y ? 0,
D A E B C y



x

v ? (1 ? m,1,1) .

因为直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45? ,所以 sin 45? ?| cos ? DA1 , v ?| 所以

| DA1 ? v | | DA1 | ? | v |

?

|2 ? m| 2 2 1 ? ,所以 ,解得 m ? .—————11 分 2 2 2 2 2 m ? 2m ? 3

6 ,此时点 E 在 A 点处.——————14 分 2 18.解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,—1) . f ?( x) ? a ? e x , f ?(0) ? a ? 1 , 所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a—1)x—1.———————————————4 分 (Ⅱ) (1)当 a》0 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a . 因为 f ?( x) ? a ? e x 在 (??, ?? ) 上为减函数, 所以在 (??,ln a) 内 f ?( x) ? 0 ,在 (ln a, ??) 内 f ?( x) ? 0 , 所以在 (??,ln a) 内 f ( x ) 是增函数,在 (ln a, ??) 内 f ( x ) 是减函数, 所以 f ( x ) 的最大值为 f (ln a) ? a ln a ? a

(Ⅲ)点 E 到直线 D1C 距离的最大值为

因为存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e . (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? a ? e x 《0 恒成立,函数 f ( x ) 在 R 上单调递减,
1 1 而 f ( ) ? 1 ? e a ? 0 ,即存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ? 0 . a 综上所述, a 的取值范围是(—∞,0)∪[e,+∞)————————————————————13 分 c 3 19. 解: (Ⅰ)由题意可知 e ? ? , c ? 3 ,于是 a ? 2, b ? 1 . a 2 x2 所以,椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 程.——————————————————————3 分 4 (Ⅱ)设 A( x1 , y 1 ) , B( x2 , y 2 ) , M ( x0 , y 0 ) ,

? y ? k( x ? 3) ? 2 即 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 . ? x ? y2 ? 1 ? ? 4

x1 ? x2 ?4 3k 2 ?8 3k 2 3k , , y0 ? k ( x0 ? 3) ? 2 , x ? ? 0 2 2 4k ? 1 2 4k ? 1 4k ? 1 ?4 3k 2 3k 于是? M ( 2 , ). 4k ? 1 4 k 2 ? 1 ?4 3k 2 3k 因为 ? 4k ? 2 ? 0 ,所以 M 在直线 l 上. —————————————————8 分 2 4k ? 1 4k ? 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等, 若?BDM 的面积是?ACM 面积的 3 倍, 则|DM|=3|CM|,因为|OD|=|OC|,于是 M 为 OC 中点, ;

所以, x1 ? x2 ?

9 / 13

设点 C 的坐标为 ( x3 , y3 ) ,则 y0 ?
1 2 4k ? 1
2

? x ? ?4ky 1 y3 ? .因为 ? x 2 ,解得 y3 ? ? . 2 2 4k 2 ? 1 ? ? y ?1 ?4

于是

?

3|k| 1 2 2 ,解得 k ? ,所以 k ? ? .————————————————14 分 4k 2 ? 1 8 4

20. 解: (Ⅰ) an ? 22 n ?1 (若只写出 2,8,32 三项也给满分) .————————————4 分 所以 an ? q n ?1 . (1)当 0 ? q ? 1 时, an ? q n ?1 ∈(0,1],且数列 {an } 是递减数列, 所以 ?bn ? 也为递减数列且 bn ∈(0,1], d ? 0 , b 令 b1 ? (n ? 1)d ? 0 ,得 n ? 1 ? 1 ? 1 , d 即存在 n ? N * (n ? 1) 使得 bn ? 0 ,这与 bn ∈(0,1]矛盾. (2)当 q ? 1 时, an ? q n ?1 ≥1,数列 {an } 是递增数数列, 所以 ?bn ? 也为递增数列且 bn ≥1, d ? 0 . 因为 d 为正的常数,且 q ? 1 , 令 bk ? a p ( p ? m) ,则 bk ?1 ? a p ?1 ,
p ?1 m ?1 因为 a p ?1 ? a p ? q (q ? 1) ? q (q ? 1) ? d = bk ?1 ? bk ,

(Ⅱ)证明:假设能抽出一个子列为无穷等差数列,设为 ?bn ? ,通项公式为 bn ? b1 ? (n ? 1)d .因为 a1 ? 1 ,

所以存在正整数 m 使得 am ?1 ? am ? q m?1 (q ? 1) ? d .

所以 a p ?1 ? a p ? bk ?1 ? bk ,即 a p ?1 ? bk ?1 ,但这与 bk ?1 ? a p ?1 矛盾,说明假设不成立. 综上,所以数列 {an } 不存在是无穷等差数列的子列.—————————————————13 分

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丰台区 2014 年高三年级第二学期统一考试(一) 2014.3 数学(理科)选填解析
一、 选择题 1. 【答案】D 【解析】解: B ? {x ? R | x( x ? 3) ? 0} ? {x | 0 ? x ? 3} 又 A ? {x ? R | ?1 ? x ? 1} 所以 A B ? {x | 0 ? x ? 1} 故答案选 D. 2. 【答案】C 【解析】解:因为 A(1, π ) ,所以 x ? 1? cos π ? ?1 , y ? 1 ? sin π ? 0 ,所以 A 对应的直角坐标为 (?1, 0) ; 由 ? cos ? ? 2 ,得 x ? 2 ,所以 A 到直线的距离为 3 . 故选 C. 3. 【答案】A 【解析】解:列表法: i 0
x

1 2

1

2 3 2

3 5 3

4 8 5

5

循环结束

故选 A 4. 【答案】C 【解析】因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f (?1) ? f (1) , 又 f (3) ? f (1) ,则 f (3) ? f (?1) ,即 f (?1) ? f (3) . 故选 C 5. 【答案】A 【解析】解:因为 m ? n ? 1 ,则 log 2 m ? log 2 n ? 0 ,所以 即“ m ? n ? 1 ” ? “ log m 2 ? log n 2 ” 另一方面,若 log m 2 ? log n 2 ? 0 ,即
1 1 ? ? 0 ,所以 log 2 n ? log 2 m ? 0 ,则 n ? m ? 1 log 2 m log 2 n
1 1 ? ,即 log m 2 ? log n 2 . log 2 m log 2 n

即“ log m 2 ? log n 2 ”推不出“ m ? n ? 1 ”. 所以“ m ? n ? 1 ”是 “ log m 2 ? log n 2 ”充分不必要条件. 故答案选 A. 6. 【答案】D

70 ? 3 ? 80 ? 2 ? 90 ? 1 ? 2 ? 8 ? 9 ? 5 ? 6 ? 2 ? 82 , 6 70 ? 1 ? 80 ? 3 ? 90 ? 2 ? 8 ? 6 ? 8 ? 8 ? 1 ? 3 262 x乙 ? ? 6 3 所以 x甲 ? x乙 , 由图知,乙的数据更集中,所以乙的成绩稳定; 故选 D
【解析】解:由茎叶图,知 x甲 ?

7. 【答案】B 【解析】由三视图知,几何体如图所示,其体积为正方体体积
11 / 13

1 的一半,即 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 . 2 故选 B.

8. 【答案】B 【解析】解:依题意,只需个位、十位,百位数字之和为 5 即可. 又 5 ? 5 ? 0 ? 0 ? 4 ?1? 0 ? 3 ? 2 ? 0 ? 3 ?1?1 ? 2 ? 2 ?1 1 ? 3 个; 当后三位数字为 5 、 0 、 0 或 3 、 1 、 1 或 2 、 2 、 1 时,各有 A3 当后三位数字为 4 、 1 、 0 或 3 、 2 、 0 时,各有 A33 ? 6 个; 所以共有 3 ? 3 ? 6 ? 2 ? 21 个. 故选 B. 二、 解答题 1 9. 【答案】 3 【解析】解:
1 故答案为 . 3

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? ? . sin ? ? cos ? tan ? ? 1 3

10.【答案】 9
2 ? 4 ,又 a3 ? a5 ? 8 【解析】解:因为 {an } 为等比数列,所以 a1a5 ? a3 ?a3 ? 2 ?a3 ? ?2 所以 ? 或? (舍) , ?a5 ? 6 ?a5 ? 10 a5 2 所以 q ? ? 3 , a3 a13 ? q4 ? 9 . 所以 a9 故答案为 9 .

11.【答案】

7 2 【解析】解:因为 AF : FB : BE ? 4 : 2 :1 ,可设 BE ? k , FB ? 2k , AF ? 4k ; 1 由相交弦定理,得 DF ? CF ? AF ? BF ,所以 8k 2 ? 2 ,所以 k ? , 2 7 2 2 由切割线定理,得 EC ? EB ? EA ? k ? 7k ? 7k ? . 4 7 所以 EC ? . 2 7 故答案为 2

12.【答案】 5
c b 【解析】解:不妨设 F (c, 0) , B(0, b) ,则 FB 的中点为 ( , ) , 2 2 c c2 b2 又因为线段 FB 的中点在双曲线 C 上,则 2 ? 2 ? 1 ,解得 ? 5 a 4a 4b 故答案为 5 .
12 / 13

13.【答案】 2 N 与 D 重合时, 【解析】 解: 如图, 显然当 M 为 AB 中点, MN // BE . 1 此时 n ? 1, m ? . 2 n 所以 ? 2 . m 故答案为 2 . 14.【答案】
2 π

? x2 ? y 2 ? 1 ? 0 【解析】 画出不等式组 ? 表示的平面区域, 如图所示, ?y ? 0 ? ??t ? x ? t, 不等式组 ? 表示的区域为阴影部分, 2 ? ?0 ? y ? 1 ? t

由几何概型的知识,在 M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率
2t 1 ? t 2 4t 1 ? t 2 4 t 2 ? 1 ? t 2 2 2 ? ? ? ? 为 时取等号. π π π 2 π ,当且仅当 t ? 2 2 2 故答案为 . π

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