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2013全国高中数学联赛山东赛区预赛试题及答案


2013 全国高中数学联赛山东赛区预赛试题
2013 年 9 月 7 日
一、填空题(本大题共 10 个小题,每小题 8 分) (1)函数 y ? 4cos x ? cos 2 x( x ? R) 的值域是 (2)已知复数 z 满足 z ? 1 ,则 z 2 ? z ? 1 的最大值为 . .
N

9:30——11:30

/>A

(3)如图,在 ?ABC 中,点 O 为 BC 的中点,过点 O 的直线分别交 直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 、 N ,若 AB ? mAM , AC ? nAN , 则 m ? n 的值为 .
M

??? ?

???? ?

????

????

B

O

C

(4)如果关于 x 的不等式 x ? a ? x ? x ? 1 的解集是 R ,则 a 的取值范围是 (5)已知正数 a, b, c 满足 4a ? b ? abc ,则 a ? b ? c 的最小值为 (6)对任意实数 x ,恒有 log a (sin x ? cos x) 2 ? ?2 成立,则 a 的取值范围是 .





(7) 已知 A ? B ? C ? {a, b, c, d , e} ,A ? B ? {a, b, c} ,c ? A ? B ? C , 则符合上述条件的 { A, B, C} 共有 组.

( 8 ) 已 知 函 数 f ( x) 定 义 在 R 上 , 对 任 意 的 x ? R , f ( x ? 1006) ?

1 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) , 且

f (? 1 0 0 5? )

(9)用五种不同颜色给三棱台 ABC ? DEF 六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个 端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有 种. (10) 假设实数 b, c 满足 b2 ? c2 ? 1 , f (x) ?x ? s x c cs x 且 a b i n ?o 则 a 的取值范围是 . 二、解答题(本大题共 4 题,共 70 分) (11)(本小题共 15 分)如图所示,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AD ? 1 , AB ? 2 , AA1 ? c , 若对角线 BD1 上存在一点 P 使得 PB1 ? PC1 ,求 c 的取值范围.
A1
D1

3 ,则 f (2013) = 4



的图象上存在两条切线互相垂直,

C1

P D
B1

C

A

B

(12) (本小题共 15 分)已知椭圆 求该平行四边形面积的最大值.

x2 y2 ? ? 1 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 , F2 , 4 3

(13) (本小题共 20 分)已知数列 {an } 满足: Sn ? 1 ? an (n ? N * ) ,其中 S n 为 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)试求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

1 1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Pn ,求证: Pn ? 2n ? . ? 1 ? an 1 ? an ?1 5

(14) (本小题共 20 分)假设 n, a, b 均为正整数,且 n ? a ? b , p 是一素数, n, a, b 的 p 进制表示分别 为n ?

? ni pi , a ? ? ai pi , b ? ? bi pi ,其中 0 ? ni , ai , bi ? p ?1, i ? 0,1, 2,?, s ,证明:
i ?0 i ?0 i ?0

s

s

s

(Ⅰ)若 n ?

?d p , d
i i ?0 i

s

i

? 0, i ? 0,1, 2, s, ,且对整数 j (0 ? j ? s) , ? di pi ? ? ( p ? 1) pi ,则 ?
i? j i? j

[

s n ] ? ? di p i ?1 ,这里 [ x] 表示不超过 x 的最大整数. pj i? j

(Ⅱ) p ? 数.

n! n! , p ? ?1 ? ∣ ? ? ? {i ai ? bi ? ni , i ? 0,1, 2,?, s} ,这里 A 表示集合 A 中元素的个 a !b ! a !b !


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