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2013年普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学文科A卷解析


2013 年普通高等学校招生全国统一考试广东卷数学文科 A 卷解析
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 锥体的体积公式: V ?
1 3 S h .其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 S ? { x | x ? 2 x ? 0, x ? R } , T ? { x | x ? 2 x ? 0, x ? R } ,则 S ? T ?
2 2

A. {0} 2.函数 f ( x ) ? A. ? 1, ? ? ) (

B. {0 , 2}
lg ( x ? 1) x ?1

C. { ? 2 , 0}

D. { ? 2, 0, 2}

开始 输入n

的定义域是 D. ? 1,1) ? (1, ? ? ) [

B. ? 1, ? ? ) C. ? 1,1) ? (1, ? ? ) ( [

i=1, s=1 i≤n 是 s=s+(i-1) 否 输出s 结束

3.若 i ( x ? yi ) ? 3 ? 4 i , x , y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A.2 4.已知 s in ( A. ?
2 5 5? 2

B.3
??) ? 1 5

C.4 ,那么 co s ? ?
1 5

D.5

B. ?

C.

1 5

D.

2 5

i=i +1

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是 A.1 B.2 C.4 D.7

图 1
2

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.
1 6

B.

1 3
2 2

C.

2 3

D. 1

1 正视图

1 侧视图

7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1 相切于第一象限的直线方程是
俯视图

A. x ? y ?

2 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ?
2 ? 0

图 2

C. x ? y ? 1 ? 0

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l / / ? , l / / ? ,则 ? / / ? C.若 l ? ? , l / / ? ,则 ? / / ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ? D.若 ? ? ? , l / / ? ,则 l ? ?

1

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0 ) ,离心率等于
x
2

1 2

,则 C 的方程是
x
2

A.

?

y

2

?1

B.
?

x

2

?

y

2

?1 3

C.
?

x

2

?

y

2

?1

D.

?

y

2

?1

3

4

4

4

2

4

3

10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
? ? ? ? ?
? ? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 { a n } 是首项为 1 ,公比为 ? 2 的等比数列,则 a 1 ? | a 2 | ? a 3 ? | a 4 |? 12.若曲线 y ? a x ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2



?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ? y ?1 ?



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 co s ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系, 则曲线 C 的参数方程为 15. (几何证明选讲选做题) 如图 3,在矩形 A B C D 中, A B ?
3 , B C ? 3 , B E ? A C ,垂足为 E ,则 E D ?





三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
? ? ? 2 cos ? x ? ?,x? R . 12 ? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ? 3 ?
2

(2) 若 c o s ? ?

? ? ? 3? ? ? ,? ? ? , 2 ? ? ,求 f ? ? ? ?. 5 6 ? ? 2 ? ?
3

17. (本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)
[8 0, 8 5) [8 5, 9 0 )

[9 0 , 9 5 )

[9 5,1 0 0 )

5

10

20

15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [9 0 , 9 5 ) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [8 0, 8 5) 和 [9 5,1 0 0 ) 的苹果中共抽取 4 个, 其中重量在 [8 0, 8 5) 的 有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [8 0, 8 5) 和 [9 5,1 0 0 ) 中各有 1 个的概率.

18. (本小题满分 13 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 A B C 中, D , E 分别是 A B , A C 边上的点, A D ? A E , F 是
B C 的中点,A F 与 D E 交于点 G , ? ABF 沿 A F 折起, 将 得到如图 5 所示的三棱锥 A ? B C F ,
A

其中 B C ?

2 2



(1) 证明: D E //平面 B C F ; (2) 证明: C F ? 平面 A B F ; (3) 当 A D ?
2 3

A
G E

时,求三棱锥 F ? D E G 的体积 V F ? D E G .
D G E

D F C

B

F 图 4

C

B

图 5

3

19. (本小题满分 14 分)
2 设各项均为正数的数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,满足 4 S n ? a n ? 1 ? 4 n ? 1, n ? N ? , 且 a 2 , a 5 , a 1 4 构

成等比数列. (1) 证明: a 2 ?
4 a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ? a n ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 a1 a 2 ? 1 a2 a3 ?? ? 1 a n a n ?1 ? 1 2



20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0 , c ? ? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 P A , P B ,其中 A , B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x 0 , y 0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 A B 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 A F ? B F 的最小值.
3 2 2

. P 设

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? x ? kx ? x
3 2

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ?k , ? k ? 上的最小值 m 和最大值 M .

4

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科 A 卷)解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

ACDCC

BABDB

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. 11. 1 5 12. a ?
1 2

13. 5

14.

? x ? 1 ? cos ? ? ? y ? s in ?

( ? 为参数) 15.

21 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 【解析】(1)
?? ? f ? ?? ? 3 ?
3 5

? ? ?? 2 cos ? ? ?? ? 3 12 ?
? 3? ? , 2? ? ? 2 ?

?? ? 2 cos ? ? ? 1 ? 4 ?
2

(2)? c o s ?
? ? ? ? f ?? ? ? = 6 ? ?

?

,

? ??

, s in ? ? ? 1 ? c o s ? ? ?

4 5



? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 4 ? ?

? ? ? 1 ? 2 ? cos ? cos ? s in ? s in ?? ? 4 4 ? 5 ?



17. (本小题满分 13 分) 【解析】 (1)苹果的重量在 ?90 , 95 ? 的频率为 (2)重量在 ?80 , 85 ? 的有 4 ?
5 5 +1 5 =1 个; 20 50 = 0 .4 ;

(3)设这 4 个苹果中 ?80 , 85 ? 分段的为 1, ?95 ,100 ? 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可能的 情况有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种;设任取 2 个,重量在 ?80 , 85 ? 和 ?95 ,100 中各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有(1,2) (1,3) (1,4)共 3 种,所以 P (A ) ?
3 6 ? 1 2

?
.

5

A

A

18. (本小题满分 13 分) 【解析】 (1)在等边三角形 A B C 中, A D ? A E
? AD DB ? AE EC
B
D

G

E

,在折叠后的三棱锥 A ? B C F 中

D

G

E

F

C

也成立,? D E / / B C ,? D E ? 平面 B C F ,
B C ? 平面 B C F ,? D E / / 平面 B C F ;
F 图 4 C
B 图 5

(2)在等边三角形 A B C 中, F 是 B C 的中点,所以 A F ? B C ①, B F ? C F ?
2 2
? BF ? CF ? F ? CF ? 平 面 ABF ;

1 2

.

? 在三棱锥 A ? B C F 中, B C ?

,? B C 2 ? B F 2 ? C F 2 ? C F ? B F ②

(3)由(1)可知 G E / / C F ,结合(2)可得 G E ? 平 面 D F G .
? V F ? DEG ? V E ? DFG ? 1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ? ? DG ? FG ?GF ? ? ? ?? ? ? ? ?3 2 ? 3 ? 3 2 3 2 3 ? 324 ?

19. (本小题满分 14 分)
2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4 a1 ? a 2 ? 5, a 22 ? 4 a1 ? 5 ,? a n ? 0 ? a 2 ?

4 a1 ? 5

2 (2)当 n ? 2 时, 4 S n ? 1 ? a n ? 4 ? n ? 1 ? ? 1 , 4 a n ? 4 S n ? 4 S n ? 1 ? a n ? 1 ? a n2 ? 4

2

a n ? 1 ? a n ? 4 a n ? 4 ? ? a n ? 2 ? ,? a n ? 0 ? a n ? 1 ? a n ? 2
2 2 2

? 当 n ? 2 时, ? a n ? 是公差 d ? 2 的等差数列.

? a 2 , a 5 , a 1 4 构成等比数列,? a 5 ? a 2 ? a 1 4 , ? a 2 ? 8 ? ? a 2 ? ? a 2 ? 2 4 ? ,解得 a 2 ? 3 ,
2

2

2 由(1)可知, 4 a1 ? a 2 ? 5 = 4,? a1 ? 1

? a 2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

? a n ? 是首项 a 1

? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ? a n ? 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1 .

(3)

1 a1 a 2

?

1 a2a3

?? ?

1 a n a n ?1

?

1 1?3

?

1 3?5

?

1 5?7

?? ?

1

? 2 n ? 1? ? 2 n ? 1?

?

1 ?? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 1 ?? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?? 1 ? 1 ? 1 ? 1? ? . ? 2 ? 2n ? 1? 2 ?

?

6

20. (本小题满分 14 分) 【解析】 (1)依题意 d
? 0?c?2 2 ? 3 2 2

,解得 c ? 1 (负根舍去)

? 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ;
2

(2)设点 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?
1 4 x ,得 y ? ?
2

1 2

x.

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 P A 的方程为 y ? y 1 ?

x1 2

( x ? x1 ) ,

即y ?

x1 2

x ? y1 ?

1 2

x1 .

2

∵ y1 ?

1 4

x1 , ∴ y ?
2

x1 2

x ? y1 .

∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

∴ y0 ?

x1 2

x 0 ? y1 .



同理, y 0 ?

x2 2

x0 ? y2 .


x 2

综合①、②得,点 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 A B 的方程为 y 0 ?
x 2 x 0 ? y ,即 x 0 x ? 2 y ? 2 y 0 ? 0 ;

x0 ? y .

(3)由抛物线的定义可知 A F ? y 1 ? 1, B F ? y 2 ? 1 , 所以 A F ? B F ? ? y1 ? 1 ? ? y 2 ? 1 ? ? y1 ? y 2 ? y 1 y 2 ? 1

联立 ?

?x ? 4y
2

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2

,消去 x 得 y 2
2

? ? 2 y0 ? x0

2

?y?

y0 ? 0
2



? y1 ? y 2 ? x 0 ? 2 y 0 , y1 y 2 ? y 0
2 2

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2

? A F ? B F ? y 0 ? 2 y 0 ? x 0 ? 1= y 0 ? 2 y 0 ? ? y 0 ? 2 ? ? 1

1? 9 ? = 2 y0 ? 2 y0 +5= 2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2

2

?

当 y0

? ?

1 2

时,

A F ? B F 取得最小值为

9 2

21. (本小题满分 14 分)

7

【解析】 f ? x ? ? 3 x ? 2 kx ? 1 :
' 2

(1)当 k ? 1 时 f ? x ? ? 3 x ? 2 x ? 1, ? ? 4 ? 1 2 ? ? 8 ? 0
' 2

? f

'

? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
' 2

(2)当 k ? 0 时, f ? x ? ? 3 x ? 2 kx ? 1 ,其开口向上,对称轴
x ? k 3

1 ,且过 ? 0 ,?
2

(i)当 ? ? 4 k ? 1 2 ? 4 ? k ?
'

3

??k ?

3 ? 0 ,即

?

? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ? k ? 上单调递增,

k

-k

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ? k ? ? ? k ? k ? k ? ? 2 k ? k .
3 3 3
2

x ?

k 3

k

(ii)当 ? ? 4 k ? 1 2 ? 4 ? k ? 3 ?? k ? 3 ? ? 0 ,即 k ? ? 3 时,令 f ? x ? ? 3 x ? 2 kx ? 1 ? 0
' 2

解得: x1 ?

k ?

k ?3
2

3

, x2 ?

k ?

k ?3
2

,注意到 k ? x 2 ? x1 ? 0 ,
2k 3 ? k ,从而 k ? x 2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结合图

3
1 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x 2 ? 像判断)
? m ? m in ? f ? k ? , f
3 2

, x1 ? x 2 ?

? x1 ? ? , M

? m ax ? f
2

? ? k ? , f ? x 2 ??
? f
2

? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x1 ? kx1 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x1 ? 1 ? ? 0

? x ? 的最小值 m

? f

?k ? ? k ,
2 2

? f

? x2 ? ?

f ? ? k ? ? x 2 ? kx 2 ? x 2 ? ? ? k ? k ? k ? k ? = ? x 2 ? k ? [ ? x 2 ? k ? ? k ? 1] ? 0
3 2 3

? f

? x ? 的最大值 M

? f

??k ? ?

?2k ? k
3 3

综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ? k ? ? ? 2 k ? k 解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ? x ? ? k , ? k ? ,都有
f ( x ) ? f ( k ) ? x ? kx ? x ? k ? k ? k ? ( x ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f
3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 2

?x? ?

f

?k ?
2 2

f ( x ) ? f ( ? k ) ? x ? kx ? x ? k ? k ? k ? ( x ? k )( x ? 2 kx ? 2 k ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) ? k ? 1] ? 0
3 故 f ? x ? ? f ? ? k ? ,而 f ( k ) ? k ? 0 , f ( ? k ) ? ? 2 k ? k ? 0

8

所以 f ( x ) m ax ? f ( ? k ) ? ? 2 k 3 ? k , f ( x ) m in ? f ( k ) ? k

9



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