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荷山中学2015届高三理科数学第三次月考


荷山中学 2015 届高三理科数学第三次月考
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.既是周期为 ? 的偶函数又在区间 (0, ) 上单调递减的函数是(

?

2

)

A. y ? sin x

B. y ? cos x C. y ? sin 2 x

D. y ? cos 2 x

2.已知集合 A ? x x 2 ? 1 ? 0 , B ? x x ? m ,若“ a ? A ”是“ a ? B ”的充分而不必要条件,则实 数 m 的取值可以是( A. 3.计算 ) B.

?

?

?

?

1 4
2 ?2

1 3


C. 1

D.

1 2

? ?sin x ? 2?dx ? (
B.4

A. 2

C.6

D. 8 ) D. 4

4.函数 f ( x) ? sin x ? lg x 的零点个数为( A. 1 B. 2 C. 3

2 5.列命题:①“ ? 实数 a ,使 a 为正整数” ;②命题“若 a ? 1 ,则不等式 ax ? 2ax ? a ? 3 ? 0 的解集 2 2 x 为 R ”的否定;③“若 a ? b ,则 a ? b ”的逆命题;④函数 f ( x) ? e ? 2 的零点落在区间 ( 0 , 1 )

内.其中正确的命题个数是( A.①④ B.①③

) C.②③

D.②④

6.已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图象关于直线 x ? ? A. 3 B. ? 3 C.

?
3

对称,则实数 a 的值为(



2

D. ? 2 )

7.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图像如右图所示,则函数 y ? log a ( x ? b) 的图像可能是(

A.

B.

C.

D.

8 . 函 数 f ( x) ? s i nx 在 区 间 ( 0 , 5 上 可 找 到 n (n ? 2) 个 不 同 数 x1 , x2 , ? ? , xn , 使 得 : ? )

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则自然数 n 的所有可能取值集合为( ? ? ?? ? x1 x2 xn
A. {2,3} B. {2,3,4} C. {2,3,4,5} D. {3,4,5,6}



9.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意实数 x 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ,当 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? x2 。若在区间 [?1,3] 内, g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有且只有 4 个零点,则实数 m 的取值范围是
A. [ ? , 0)

1 4

B. (? ,0)

1 4

C. (0, ]

1 4

D. (0, )

1 4

10.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点 P 所旋转 过的弧 AP 的长为 l ,弦 AP 的长为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图象大致是 ( )

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.在 (1 ? x)6 的展开式中,含 x 4 的项的系数是_________ 12.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 13.已知函数 f ( x ) ? ?

?
2

) 的图象如图所示,则 ? =

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 , 若 f (? x) ? f ( x) ? 2 f (1) ,则实数 x 的取值范围是___________ 2 2 x ? x , x ? 0 ? ?

3 14.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数

a 取值范围是______________

15.阅读下面材料: 由曲线 y ? sin x, x ?[0, ? ], 直线x ? 0, x ? ? 及 x 轴围成的封闭图形的面积为 2 ; 由曲线 y ? sin 2 x, x ? [0, 由曲线 y ? sin 3x, x ? [0,

? ?
2

], 直线x ? 0, x ? ], 直线x ? 0, x ?

? ?
2

及 x 轴围成的封闭图形的面积为 1 ; 及 x 轴围成的封闭图形的面积为

3

3

2 ; 3

据此猜想:由曲线 y ? A sin(? x ? ? ), (A ? 0, ? ? 0), x ? [0, 闭图形的面积为__________

? ? ] ,直线 x ? 0, x ? 及 x 轴围成的封 ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题纸 的相应位置. 16.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ae x . 2

(1)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若 f ( x) 在 R 上是减函数,求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) ; (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期以及单调递增区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值,并求出相应的 x 的值 ? 2? ?

18. (本题满分 13 分) 假设某班级教室共有 4 扇窗户,在每天上午第三节课上课预备铃声响起时,每扇窗户或被敞开或被关 闭,且概率均为 0.5 ,记此时教室里敞开的窗户个数为 X . (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭,班长就会将关闭的窗户全部敞开,否则维持原 状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为 Y ,求 Y 的数学期望.

19. (本题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A , 且 ? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 (Ⅰ)若 x1 ?

? ? 6 2

? ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 3

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 . 若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ex ? bx, g ( x) ? f ( x) ,其中 e 为自然对数的底数。

(Ⅰ)当 b ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 的最小值。 (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 有且仅有一个零点,求实数 b 的取值范围。 (III)当 b ? 0 时,判断函数 y ? g ( x) 在区间 (0, 2) 上是否存在极大值,若存在,求出极大值及 相应实数 b 的取值范围; 若不存在,请说明理由。

21.本题设有(1).(2).(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答, 满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 (Ⅰ)求矩阵 (Ⅱ)若曲线 ; : 在矩阵 对应变换作用下得到曲线 ,求曲线 的方程. ,记绕原点逆时针旋转 的变换所对应的矩阵为

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 XOY 中,以坐标原点 O 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? , 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? (t 为参数, ? y ? 1 ? t sin ?

) .

(Ⅰ)化曲线 的极坐标方程为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 经过点 ,求直线 被曲线 截得的线段

的长.


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