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2015-2016学年高中数学 2.3.1等比数列的概念及通项公式练习 苏教版必修5


2.3.1

等比数列的概念及通项公式

1.从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫等比数 列,这个常数叫做等比数列的公比. 2.等比数列{an}的通项公式 an=a1·q
2

n-1

(q≠0).

3.如果 a、G、b 三个数满足

G =ab.则 G 称为 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的性质. (1)若{an}为等比数列,则 an=am q
n- m



(2)若{an}为等比数列,且 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq; (3)若{an}为等比数列,则 a2,a5,a8 也成等比数列; (4)若{an}为等比数列,且公比为 q,则 a1a2,a2a3,a3a4 也成公比等于 q 的等比数列.
2

?基础巩固 一、选择题 1.数列 a,a,a,…a,…(a∈R)必为(D) A.等差数列但不是等比数列 B.等比数列但不是等差数列 C.即是等差数,又是等比数列 D.以上都不正确 解析:a=0 时为等差数列,a≠0 时为等比且等差数列. 2.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a5,a2=1,则 a1=(B) A. 1 2 B. 2 2
2

C. 2

D.2

2 a2 1 2 4 2 8 2 解析:由已知得 a1q ·a1q =2(a1q ) ,即 q =2,∵q>0,∴q= 2,a1= = = . q 2 2 3.(2013·江西卷)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于(A) A.-24 B.0 C.12 D.24 解析: 由(3x+3) =x(6x+6)? x=-3(x=-1 舍去). 该数列为-3, -6, -12, -24, …. 4.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为(B) ①{an}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列
2 2

1

?1? ③? ?也是等比数列 ④{ln an}也是等比数列 ?an?

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

解析:考查等比数列定义,其中①②③为真. 5.公比为 2 的正项等比数列{an},a3a11=16,则 a5=(A) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:a3a11=16? a7=16? a7=4,而 a5q =a7, ∴a5=1. 二、填空题 6.已知等比数列{an }为递增函数,若 a1>0,且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比
2 2

q=________.
解析:∵2(an+an+2)=5an+1, ∴2an(1+q )=5anq? q=2. 答案:2 1 2 7.若等比数列{an}满足 a2a4= ,则 a1a3a5=________. 2 解析:利用等比数列的性质求解. ∵数列{an}为等比数列, 1 2 2 ∴a2·a4=a3= ,a1·a5 =a3. 2 1 2 4 ∴a1a3a5=a3= . 4 1 答案: 4 8.等比数列{an}中,已知 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=________. 36 1 2 2 解析:∵a3+a4=q (a1+a2),∴q = = . 324 9 1 4 ∴a5+a6=q (a1+a2)= ×324=4. 81 答案:4 三、解答题 9.正项递增的等比数列{an}中,前三项的积为 27,前三项的平方和为 91,求通项公式. 解析:由?
?a1·a2·a3=27, ? ? ?a1+a2+a3=91,
2 2 2 2



2

?a1·a1q·a1q =27, ? ?a1=1, ? ? 2 ?? 2 2 2 4 ? ? ?a1+a1q +a1q =91 ?q=3.

2

∴an=3

n-1

(n∈N ).

*

10.已知三个数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成等比数列,已知这三个数 的和为 6,求这三个数. 解析:由已知,可设这三个数为 a-d,a,a+d, ∵(a-d)+a+(a+d)=6,∴a=2. 这三个数可以表示为 2-d,2,2+d. (1)若 2 为等比中项,则 2 =(2-d)(2+d), 解得 d=0,此时,三个数为 2,2,2. (2)若(2-d)为等比中项,则(2-d) =2(2+d). 解得 d=6 或 d=0,此时三数为-4,2,8 或 2,2,2. (3)若(2+d)为等比中项,则(2+d) = 2(2-d). 解得 d=-6 或 d=0,此时三数为 8,2,-4 或 2,2,2. 综上可知,三个数为-4,2,8 或 8,2,-4 或 2,2,2. ?能力升级 一、选择题 11.已知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值等于(A) A.5 B.10
2 2 2 2

C.15 D.20
2 2

解析:a2a4=a3 ,a4a6= a5,故得(a3+a5) =25,又 an>0,∴a3+a5=5. 12.设{an}是由正数组成的等比数列,且 a5·a6=81,则 log3a1+log3a2+…+log3a10 的值是(C) A.5 B.10 C.20 D.40

解析:log3a1+log3a2+…+log3a10 =log3(a1·a2·a3·…·a10)=log3(a5·a6) =log381 =log33 =20. 13.在正 项等比数列{an}中,a3= 2-1,a5= 2+1,则 a3+2a2a6+a3a7=(C) A.4 B.6 C.8 D.4 2 解析:∵a3a7=a5,a2a6=a3a5,
2 2 5 20 5

3

∴a3+2a2a6+a3a7=a3+2a3a5+a5=(a3+a5) =( 2-1+ 2+1) =(2 2) =8. 二、填空题 14.已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,且实数列 1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 的值为________. 解析:a1+a2=1+4=5,b2=1×4,故 b2=±2. 但 b2=1×q >0,∴b2=2,故 5 答案: 2 15.(2014· 广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 1n a1 +1n a2+…+1n a20=____________. 解析:利用等比数列的性质化简已知条件,利用对数的运算法则化简待求式,整合化简 结果求值. 因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e ,所以 a10a11=e . 所以 ln a1 + ln a2 +…+ ln a20 = ln (a1a2 … a20) = ln[a1a20 · (a2a19)·…·(a10a11)] = ln(a10a11) =10ln(a10a11)=10ln e =50ln e=50. 答案:50 三、解答题 16.已知等比数列{an }各项均为正数,且 2a1+3a2=1 ,a3=9a2a6. (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Sn. 1 q= , ? ? 3 ?a =9a a , ? ?a =9a , ? 解析:(1)由? ?? ?? ? 1 ?2a +3a =1 ? ?2a +3a q=1 a= . ? ? 3
2 3 2 6 2 2 3 2 4 1 1 1 1 2 10 5 5 5 5 2 2

3

2

2

2

2

2

a1+a2 b2

a1+a2 5 = . b2 2

n ?1? * ∴an=? ? (n∈N ). ?3? n ?1? (2)bn=log3an=log3? ? =-n,{bn}是等差数列, ?3?
∴bn 的前 n 项和 Sn=

n(-1-n)
2

1 =- n(n+1). 2

4


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