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立体几何公理重要定理推论汇总(2008.4.22)


立体几何公理重要定理推论汇总 一、公理及其推论
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ? 作用: ① 用来验证直线在平面内; ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集合是

一条过这个 公共点的直线。 (那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) 符号语言: P ?? ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l 作用:① 用来证明两个平面是相交关系; ② 用来证明多点共线,多线共点。 公理 3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号语言: A, B, C不共线 ? A, B, C确定一个平面 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 符号语言: A ? a ? 有且只有一个平面?,使A ? a,a ? ? 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 符号语言: a ? b ? P ? 有且只有一个平面?,使a ? ?,b ? ? 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 符号语言: a // b ? 有且只有一个平面?,使a ? ?,b ? ? 公理 3 及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。 公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理) 。 符号语言:

a // b ? ? ? a // c c // b ?

图形语言:

作用:用来证明线线平行。

二、平行关系
公理 4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理) 。 (1) 符号语言:

a // b ? ? ? a // c c // b ?

图形语言:

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平 行。 ( 2)

a ??? ? 符号语言: b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

图形语言:

线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条 直线和交线平行。 (3)

? ? 符号语言: a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

a // ?

图形语言:

面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(4)

(a ? ? , b ? ? ), a ? b ? O ? ? a // ? ? ? ? // ? 符号语言: ? b // ? ?

图形语言:

面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。 (5)

? ? oo, ? ? ? ? // ? 符号语言: ? ? oo , ?
? // ? ? ? 符号语言: ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

图形语言:

面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (6)

图形语言:

面面平行的性质 1 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 (7)

? // ? ? ? ? a // ? 符号语言: a ???

图形语言:

面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面。 (8) 符号语言:

? // ? ? ?? a ? ? a ???

图形语言:

面面平行的性质 3 平行于同一个平面的两个平面平行。 (9) 符号语言:

? // ? ? ? ? ? // ? ? // ? ?

图形语言:

平行垂直关系图系

三、垂直关系
三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 (10)

? ? 符号语言: PO ? ? ? O ? ? a ? PA a ? ? 且 a ? AO ? ?

PA ? ?

图形语言:

三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的 射影垂直.(11)

? ? 符号语言: PO ? ? ? O ? ? a ? AO a ? ? 且 a ? PO ? ?

PA ? ?

图形语言:

线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平 面。 (12)

? ? l ? n ?? l ?? 符号语言: ( m ? ? , n ? ? ), m ? n ? B ? ?

l?m

图形语言:

线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 (13)

a // b ? ?b ?? 符号语言: a ? ? ? ?
a ??? ? a // b 符号语言: b ? ? ? ? a ??? ?a?b 符号语言: b ? ? ? ?

图形语言:

线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 (14)

图形语言:

线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(15)

图形语言:

面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 (16)

AB ? ? ? ??? ? ? 符号语言: AB ? ? ?

图形语言:

面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 (17)

? ?? ? ? ? ? ? ? CD 符号语言: ? ? AB ? ? AB ? ? 且AB ? CD ? ?

图形语言:

最小角定理 斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角,且有

cos ? ? cos ?1 ? cos ? 2 (其中 ? ,?1 ,? 2 如图中所示)

图形语言:


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