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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修3)练习:3章基础知识测试]


第三章基础知识测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时间 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.抛掷一只骰子,落地时向上的点数是 5 的概率是( 1 A. 3 1 C. 5 [答案] D [解析]

掷一次骰子相当于做一次试验,因为骰子是均匀的,它有 6 个面,每个面朝上 1 的机会是均等的,故出现 5 点的可能性是 . 6 2.下列结论正确的是( ) 1 B. 4 1 D. 6 )

A.事件 A 的概率 P(A)必有 0<P(A)<1 B.事件 A 的概率 P(A)=0.999,则事件 A 是必然事件 C.用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人治疗,结果有 380 人有明显的疗效,现有胃 溃疡的病人服用此药,则估计其明显疗效的可能性为 76% D.某奖券中奖率为 50%,则某人购买此券 10 张,一定有 5 张中奖 [答案] C [解析] A,B 明显不对,C 中,380÷ 500=76%,正确.D 中,购买此券 10 张,可能 一张也不中奖. 3.两根电线杆相距 100 m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线标 10 m 之内时,电线杆 上的输电设备将受损,则电线遭受雷击时设备受损的概率为( A.0.1 C.0.05 [答案] B 10×2 [解析] 概率 P= =0.2. 100 4. 在区间(10,20]内的所有实数中, 随机取一个实数 a, 则这个实数 a<13 的概率是( 1 A. 3 3 C. 10 [答案] C 1 B. 7 D. 7 10 ) B.0.2 D.0.5 )

?10,13?的区间长度 3 [解析] 这是一个与长度有关的几何概型.所求的概率 P= = . ?10,20]的区间长度 10 5. 有 100 张卡片(从 1 号到 100 号), 从中任取 1 张, 取到卡片是 7 的倍数的概率是( 7 A. 50 7 C. 48 [答案] A 1 2 [解析] 令 1≤7k≤100(k∈Z),则 ≤k≤14 ,所以 k=1,2,?,14.即在 1~100 中共有 7 7 7 14 个 7 的倍数,故所求概率 P= . 50 6.某产品的设计长度为 20 cm,规定误差不超过 0.5 cm 为合格品,今对一批产品进行 测量,测得结果如下表: 长度(cm) 件数 则这批产品的不合格率为( 5 A. 80 17 C. 20 [答案] D 5+7 3 [解析] P= = . 20 5+68+7 7.(2014· 辽宁文,6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2, BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) ) 7 B. 80 D. 3 20 19.5 以下 5 19.5~20.5 68 20.5 以上 7 7 B. 100 15 D. 100 )

π A. 2 π C. 6 [答案] B [解析] 总面积 2×1=2. π 2 π 1 π 半圆面积 ×π×12= .∴p= = . 2 2 2 4

π B. 4 π D. 8

8.将一枚均匀的硬币先后抛掷两次,至少出现一次正面向上的概率是( 1 A. 2 3 C. 4 [答案] C 1 B. 4 D.1

)

[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反, 3 反)4 种可能的结果,至少出现一次正面向上包含了 3 个基本事件,故所求概率为 . 4 9.已知某运动员每次投篮命中的概率为 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三 次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随 机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 431 966 191 925 271 932 812 458 569 683 257 393 027 556 488 730 113 537 989 )

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A.0.35 C.0.20 [答案] B B.0.25 D.0.15

[解析] 由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有:191、271、932、 5 1 812、393,共 5 组随机数,故所求概率为 = =0.25. 20 4 10.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC, CB 的长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为( 1 A. 6 2 C. 3 [答案] C [解析] 本题考查几何概型问题. 由题意如图 )

1 B. 3 4 D. 5

8 2 知点 C 在 C1C2 线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于 32cm2, ∴P= = . 12 3 注意几何概型用长度刻画. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上)

11.袋中装有 100 个大小相同的红球、白球、黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的 概率分别是 0.4 和 0.35,那么黑球共有________个. [答案] 25 [解析] 可求得摸出黑球的概率为 1-0.4-0.35=0.25,袋中共有 100 个球,所以黑球 有 25 个. 1 12.如图所示,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为 a 3 1 与 a,高为 b.向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________. 2

[答案]

5 12

11 1 5 [解析] S 矩形=ab,S 梯形= ( a+ a)· b= ab, 23 2 12 5 ab S梯形 12 5 故所投的点落在梯形内部的概率为 = = . S矩形 ab 12 13.(2014· 广东文,12)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概 率为________. [答案] 2 5

[解析] 本题考查古典概型. 基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d)(c,e),(d, 4 2 e)共 10 个,含 a 的有 4 个,故概率为 = .写全基本事件个数是解决问题的关键. 10 5 14.设集合 P={-2,-1,0,1,2},x∈P 且 y∈P,则点(x,y)在圆 x2+y2=4 内部的概率 为________. [答案] 9 25

[解析] 以(x,y)为基本事件,用列表法或坐标法可知满足 x∈P 且 y∈P 的基本事件有 25 个, 且每个基本事件发生的可能性都相等. 点(x, y)在圆 x2+y2=4 内部, 则 x, y∈{-1,1,0}, 用列表法或坐标法可知满足 x∈{-1,1,0}且 y∈{-1,1,0}的基本事件有 9 个.所以点(x,y) 在圆 x2+y2=4 内部的概率为 9 . 25

15.有 5 根木棍,它们的长度分别是 3,4,6,7,9,从中任取 3 根,能搭成一个三角形的概 率是________.

[答案]

7 10

[解析] 从长度为 3,4,6,7,9 的 5 根木棍中任取 3 根,基本事件总数为 10,其中事件“不 3 能构成三角形”用 A 表示,有长度为 3,4,7;3,4,9;3,6,9 的三种情况,所以 P(A)= ,故 10 7 P( A )=1-P(A)= . 10 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示: 射击次数 n 击中 10 环的次数 m m 击中 10 环的频率 n (1)计算表中击中 10 环的各个频率; (2)这名运动员射击一次,击中 10 环的概率约为多少? [解析] (1)填表如下: 射击次数 n 击中 10 环的次数 m m 击中 10 环的频率 n 10 8 0.8 20 17 0.85 50 47 0.94 100 87 0.87 200 182 0.91 500 452 0.904 10 8 20 17 50 47 100 87 200 182 500 452

(2)这名运动员射击一次,击中 10 环的概率约为 0.9. 17.(本小题满分 12 分)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)所得点数之和是 3 的概率是多少? (3)所得点数之和是 3 的倍数的概率是多少? [解析] (1)先后抛掷两枚骰子,第一枚骰子出现 6 种结果,对其每一种结果,第二枚又 有 6 种可能结果,于是一共有 6×6=36(种)不同的结果. (2)所得点数之和为 3 记为事件 A, 共有两种结果: “第一枚点数为 1, 第二枚点数为 2” 和“第一枚点数为 2,第二枚点数为 1”,故所求概率为 2 1 P(A)= = . 36 18 (3)第一次抛掷,向上的点数为 1,2,3,4,5,6 这 6 个数中的某一个,第二次抛掷时都可以有 两种结果,使两次向上的点数和为 3 的倍数(例如第一次向上的点数为 4,则当第二次向上 的点数为 2 或 5 时,两次的点数之和都为 3 的倍数),于是共有 6×2=12(种)不同的结果. 因为抛掷两枚骰子得到的 36 种结果是等可能出现的, 记“向上的点数之和是 3 的倍数” 12 1 为事件 B,则事件 B 的结果有 12 种,故所求的概率为 P(B)= = . 36 3

18.(本小题满分 12 分)某城市为了发展地铁,事先对地铁现状做一份问卷调查,为此, 成立了地铁运营发展指挥部,下设 A,B,C 三个工作组,其分别有组员 24 人、24 人、12 人.为搜集意见,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个工作组抽取 5 名工作人员来完成. (1)求从三个工作组分别抽取的人数; (2)问卷调查搜集意见结束后,若从抽取的 5 名工作人员中再随机抽取 2 名进行汇总整 理,求这 2 名工作人员没有 A 组工作人员的概率. [解析] (1)三个工作组的总人数为 24+24+12=60, 5 1 样本容量与总体中个体数的比为 = , 60 12 所以从三个工作组分别抽取的人数为 2,2,1. (2)设 A1,A2 为从 A 组抽得的 2 名工作人员,B1,B2 为从 B 组抽得的工作人员,C1 为从 C 组抽得的工作人员. 若从这 5 名工作人员中随机抽取 2 名,其所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1, B2),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 10 种, 其中没有 A 组工作人员的结果有(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 3 种,所以所求的 3 概率 P= . 10 19. (本小题满分 12 分)设点(p, q)在|p|≤3, |q|≤3 中按均匀分布出现, 试求方程 x2+2px -q2+1=0 的两根都是实数的概率. [解析] 基本事件总数的区域 A 的测度为正方形的面积,即 A 的测度=62=36. 由方程 x2+2px-q2+1=0 的两根都是实数 Δ=(2p)2-4(-q2+1)≥0, ∴p2+q2≥1. ∴当点(p,q)落在如右图所示的阴影部分时,方程的两根均为实数, 由图可知,区域 B 的测度=S 正方形-S⊙O=36-π, 36-π ∴原方程两根都是实数的概率是 P= . 36 20.(本小题满分 13 分)设 x∈(0,4),y∈(0,4). (1)若 x∈N*,y∈N*,以 x,y 作为矩形的边长,记矩形的面积为 S,求 S<4 的概率; (2)若 x∈R,y∈R,求这两数之差不大于 2 的概率. [解析] (1)若 x∈N*, y∈N*, 则(x, y)所有的结果为(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),(3,2),(3,3)共 9 个,满足 S<4 的(x,y)所有的结果为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) 5 共 5 个,故 S<4 的概率为 . 9 (2)所有结果的区域为 Ω={(x,y)|0<x<4,0<y<4},两数之差不大于 2 的所有的结果的区 域为 A={(x,y)|0<x<4,0<y<4,|x-y|≤2},

42-22 3 则 P(A)= 2 = . 4 4 21.(本小题满分 14 分)某单位要在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人分别担任周六、周 日的值班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排 1 人,每人最多排一天). (1)一共有多少种安排方法? (2)其中甲、乙 2 人都被安排的概率是多少? (3)甲、乙两人中至少有 1 人被安排的概率是多少? [解析] (1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务,安排乙担任周日值班任务,则所 有的安排情况如下:甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁 乙,丁丙,共有 12 种安排方法. (2)由(1)知在甲、乙、丙、丁 4 人中安排 2 人的结果是有限个,属于古典概型.甲、乙 2 人都被安排的情况包括:甲乙,乙甲,共 2 种,所以甲、乙 2 人都被安排(记为事件 A)的 2 1 概率 P(A)= = . 12 6 (3)方法一:“甲、乙 2 人中至少有 1 人被安排”与“甲、乙 2 人都不被安排”这两个 事件是对立事件,因为甲、乙 2 人都不被安排的情况包括:丙丁,丁丙,共 2 种,则甲、乙 2 1 两人都不被安排的概率为 = ,所以甲、乙 2 人中至少有 1 人被安排(记为事件 B)的概率 12 6 1 5 P(B)=1- = . 6 6 方法二:甲、乙 2 人中至少有 1 人被安排的情况包括:甲乙,甲丙、甲丁,乙甲,乙丙, 乙丁,丙甲,丙乙,丁甲,丁乙,共 10 种,所以甲、乙 2 人中至少有 1 人被安排(记为事件 10 5 B)的概率 P(B)= = . 12 6


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