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2016高考数学必修三、四(含答案)


2016 年高考必修三与四试题精选 一、选择题
1 ,则 cos2θ = 3 4 1 1 4 (A) ? (B) ? (C) (D) 5 5 5 5 ? ? ? ? ? 2、已知向量 a ? (1, m), a=(3, ?2) ,且 (a + b) ? b ,则 m=(
1、若 tanθ = (A)-8 3、若 cos( (B)-6 (C)6 ) (D) ?

(D)8



3 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? ( 4 5 1 1 7 (A) (B) (C) ? 5 5 25

?

开始

7 25

输入a

4、执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

k=0,b=a

5、某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图 所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分 组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30). 根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是

a??

1 1? a

k=k+1

a=b 是 输出k



结束

(A)56

(B)60

(C)120

(D)140

6、从区间 ?0,1? 随机抽取 2 n 个数 x1 , x2 ,?, xn , y1 , y2 ,?, yn ,构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,?, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得
到的圆周率 ? 的近似值为

2m n 1 7、已知非零向量 m,n 满足 4│m│=3│n│,cos<m,n>= .若 n⊥(tm+n) ,则实数 t 的值为 3 9 9 (A)4 (B)–4 (C) (D)– 4 4
(A) (B) (C) (D)

4n m

2n m

4m n

8、若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移

k? 2 k? (C) x ? 2
(A) x ?

? 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( 12 ? k? ? ? (k ? Z ) (B) x ? ? (k ? Z ) 6 2 6 ? k? ? ? ( k ? Z ) (D) x ? ? (k ? Z ) 12 2 12
? ? (B) y ? 2sin(2 x ? ) (C) y ? 2sin(2 x+ ) 3 6



9、函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6

? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

10、为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 (A)

1 1 2 5 (B) (C) (D) 3 2 3 6

11、设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期 A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 π 1 12、将函数 y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后,所得图像对应的函数为 π (A)y=2sin(2x+4) π π π (B)y=2sin(2x+3) (C)y=2sin(2x–4) (D)y=2sin(2x–3)

13、将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 个单位长度得到点 P ' , 3 4


?

若 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,则(

A. t ?

1 ? , s 的最小值为 2 6 1 ? , s 的最小值为 2 3

B. t ?

? 3 , s 的最小值为 6 2

C. t ?

D. t ?

? 3 , s 的最小值为 3 2

14、某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( 1 (A) 3 1 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 4 ) (D)120
0



15、已知向量 BA ? ( , (A)30
0

1 3 3 1 ) , BC ? ( , ), 则 ? ABC=( 2 2 2 2
0

(B) 45

(C) 60

0

16、已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为( )

(A) ?

5 8

(B)

1 8

(C)

1 4

(D)

11 8

? ? 17、 已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
图像的对称轴,且 f ( x ) 在 ( ( A ) 11 7 (D)5

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点,x ? 为 y ? f ( x) 2 4 4
) (C)

π 5π , ) 单调,则 ? 的最大值为( 18 36
(B)9

二、填空题
18、sin 7500 = 。

19、从 2、3、8、9 任取两个不同的数值,分别记为 a、b,则 log b 为整数的概率=
a



20、已知向量 a=(1, 3), b ? ( 3,1) ,则 a 与 b 夹角的大小为_________.

21、已知向量 a=(1,–1),b=(6,–4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为________.

22、设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b| =|a| +|b| ,则 m=

2

2

2

.

23、已知 θ 是第四象限角,且 sin(? ?

?
4

)?

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4

.

24、如图,已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,?1),P 是曲线 y = 1- x2 上 一个动点,则 OP ? BA 的取值范围是 .

2016 年高考必修三与四试题精选 三、解答题
25、已知函数 f(x)=4tanxsin(

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)- 3 .

(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ?

? ? , ]上的单调性. 4 4

26、下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量。参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (ti ? t )2 ? (yi ? y)2
i ?1 i ?1

n

n

? ,b ?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

27、某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费, 超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费, 从该 市随机调查了 10000 位居民, 获得了他们某月的 用水量数据,整理得到如下频率分布直方图: (I)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米, w 至少定为多少? (II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的 人均水费.

28、某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机 器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这 种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损零件上所 需的费用(单位:元) , 表示购机的同时购买的易损零件数. (I)若 =19,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5,求 的最小值; (III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损 零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购 买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?

29、某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转 盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x,y.奖励规则如下: ① 若 xy ? 3 ,则奖励玩具一个; ②若 xy ? 8 ,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (I)求小亮获得玩具的概率; (II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理 由.

30、设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间; (II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到的图 象向左平移

π π 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 3 6

2016 年高考必修三与四试题精选

1 1、若 tanθ = 3 ,则 cos2θ =

4 (A) 5 ?
【答案】D 【解析】

1 (B) 5 ?

1 (C) 5

4 (D) 5

1 1 ? (? ) 2 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 2 2 3 ? 4 .故选 D. 试题分析: cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? (? 1 ) 2 5 3 ? ? ? ? ? 2、已知向量 a ? (1, m), ) a=(3, ?2) ,且 (a + b) ? b ,则 m=(
(A)-8 【答案】D 【解析】 试题分析:向量 a ? b ? (4,m ? 2) ,由 (a ? b) ? b 得 4 ? 3 ? (m ? 2) ? (?2) ? 0 ,解得 m ? 8 , 故选 D. 考点: 平面向量的坐标运算、数量积. 3、若 cos( (B)-6 (C)6 (D)8

? ?

? ?

?

3 ? ? ) ? ,则 sin 2? ? ( ) 4 5 1 1 7 (A) (B) (C) ? 5 5 25

?

(D) ?

7 25

【答案】D 【解析】

? ?? 7 ?? ? ?3? 2 ?? 试题分析: cos ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? , 25 ?? ?4 ? ?5? ? ?4
且 cos ? 2 ?

2

? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? cos ? ? 2? ? ? sin 2? ,故选 D. ?? ?2 ? ? ?4

考点:三角恒等变换. 4.执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

开始

输入a

k=0,b=a

a??

1 1? a

k=k+1

a=b 是 输出k



结束
【答案】B

考点:算法与程序框图 5、某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频率分布直 方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25), [25,27.5),[27.5,30).根据直方图,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数 是 (A)56 (B)60 (C)120 (D)140

【答案】D

考点:频率分布直方图 6、从区间 ?0,1? 随机抽取 2 n 个数 x1 , x2 ,…, xn , y1 , y2 ,…, yn ,构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得
到的圆周率 ? 的近似值为 (A) 【答案】C 【解析】 试题分析: 利用几何概型, 圆形的面积和正方形的面积比为 选 C. 7、已知非零向量 m,n 满足 4│m│=3│n│,cos<m,n>= (A)4 【答案】B (B)–4 (C)

4n m

(B)

2n m

(C)

4m n

(D)

2m n

S圆 S正方形

?

? R2
4R
2

?

4m m , 所以 ? ? . n n

9 4

1 .若 n⊥(tm+n) ,则实数 t 的值为 3 9 (D)– 4

考点:平面向量的数量积 8、若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移

k? 2 k? (C) x ? 2
(A) x ? 【答案】B
[]

? 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( 12 ? k? ? ? (k ? Z ) (B) x ? ? (k ? Z ) 6 2 6 ? k? ? ? ( k ? Z ) (D) x ? ? (k ? Z ) 12 2 12



【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 将 函 数 y ? 2sin 2 x 的 图 像 向 左 平 移

y ? 2sin 2( x ? x?

?
6

?

k? , k ? Z ,故选 B. 2

) ? 2sin(2 x ? ) ,则平移后函数的对称轴为 2 x ? ? ? k? , k ? Z ,即 12 6 6 2

?

?

?

?

? 个 单 位 得 12

考点: 三角函数的图象变换与对称性. 9、 函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3

? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6
? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3
【答案】A

10 为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种 花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】C

考点:古典概型 11、 设函数 f ( x) ? sin x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期
2

A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 【答案】B

π 1 12、将函数 y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后,所得图像对应的函数为 π π π π (A)y=2sin(2x+4) (B)y=2sin(2x+3) (C)y=2sin(2x–4) (D)y=2sin(2x–3) 【答案】D

考点:三角函数图像的平移 13、将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 个单位长度得到点 P ' , 3 4


?

若 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,则(

A. t ?

1 ? , s 的最小值为 2 6 1 ? , s 的最小值为 2 3

B. t ?

? 3 , s 的最小值为 6 2
? 3 , s 的最小值为 3 2

C. t ?

D. t ?

【答案】A

考点:三角函数图象平移 14、某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车, 且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 1 (A) 3 【答案】B 1 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 4

15、已知向量 BA ? ( , (A)30 【答案】A 【解析】
0

uuv

v 1 3 uuu 3 1 ) , BC ? ( , ), 则 ? ABC= 2 2 2 2
(B) 45
0

(C) 60

0

(D)120

0

1 3 3 1 ??? ? ??? ? ? ? ? BA ? BC 2 2 2 2? 3, ? ??? ? ? 试题分析: 由题意, 得 cos ?ABC ? ??? 所以 ?ABC ? 30? , 1? 1 2 | BA || BC |
故选 A. 考点:向量夹角公式. 16、已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ? BC 的值为( (A) ? 【答案】B 【解析】 试题分析:设 BA ? a , BC ? b ,∴ DE ? ) (D)

5 8

(B)

1 8

(C)

1 4

11 8

???? 3 ???? 3 ? ? 1 ???? 1 ? ? AC ? (b ? a ) , DF ? DE ? (b ? a ) , 2 2 2 4 ??? ? ???? ???? 1? 3 ? ? 5? 3? AF ? AD ? DF ? ? a ? (b ? a ) ? ? a ? b ,∴ 2 4 4 4 ??? ? ??? ? ? ? ? 5 3 2 5 3 1 AF ? BC ? ? a ? b ? b ? ? ? ? ,故选 B. 4 4 8 4 8

??? ?

?

??? ?

?

????

考点:向量数量积

? ? 17、 已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
图像的对称轴,且 f ( x ) 在 ( (A)11 【答案】B

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点,x ? 为 y ? f ( x) 2 4 4

π 5π , ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36
(C)7 (D)5

(B)9

考点:三角函数的性质

18、sin 7500 =



1 【答案】 2
【解析】 试题分析:由三角函数诱导公式 sin 750? ? sin(720? ? 30?) ? sin 30? ? 考点:三角函数诱导公式 19、 从 2、 3、 8、 9 任取两个不同的数值, 分别记为 a、 b, 则 log b 为整数的概率= a 。

1 . 2

【答案】 【解析】

1 6

2 试题分析:从 2,3,8,9 中任取两个数记为 a , b ,作为作为对数的底数与真数,共有 A4 ? 12

个不同的基本事件,其中为整数的只有 log 2 8,log3 9 两个基本事件,所以其概率 P ? 考点:古典概型. 20、已知向量 a=(1, 3), b ? ( 3,1) ,则 a 与 b 夹角的大小为_________. 【答案】 30 ?.

2 1 ? . 12 6

考点: 向量数量积与夹角公式,数形结合 21、已知向量 a=(1,–1),b=(6,–4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为________. 【答案】 ?5 【解析】 试题分析:

? ? ? ? ? ta ? b ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? , ta ? b ? a ? ? 6 ? t , ?4 ? t ? ? ?1, ?1? ? 2t ? 10 ? 0 ,解得 t ? ?5

?

?

考点:平面向量的数量积 22、设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m= 【答案】 ?2 【解析】
2 2 2 试题分析:由 | a ? b | ?| a | ? | b | ,得 a ? b ,所以 m ?1 ? 1? 2 ? 0 ,解得 m ? ?2 .

.

考点:向量的数量积及坐标运算

23、已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+

)=

,则 tan(θ–

)=

.

【答案】 【解析】

试题分析:由题意,

解得

所以 考点:三角变换



uu u r uur 24.如图,已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,?1),P 是曲线 y = 1- x2 上一个动点,则 OP ×BA 的取

值范围是

.

【答案】 [?1, 2]

? ) 【解析】 试题分析: 由题意,设 P(cos? , sin , ? ? [0, π] ,则 OP ? (cos ? ,sin ? ) ,又
??? ? ??? ? ??? ? BA ? (1,1) , 所以 OP ? BA ? cos ? ? sin ? ? ? 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] . 4

??? ?

考点:1.数量积的运算;2.数形结合的思想. 25、已知函数 f(x)=4tanxsin(

?
2

? x )cos( x ?

?
3

)- 3 .

(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ? 【答案】 (Ⅰ) ? x x ?

? ? , ]上的单调性. 4 4

? ?

?

? ? ? ?? ? k? , k ? Z ? , ?. (Ⅱ)在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 2 ? 12 4 ? ?

?? ? ? ? , ? ? 上单调递减. ? ? 4 12 ?

? ?? ? 解:令 z ? 2 x ? 3 , 函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ??
由?

?

?

? 2

? 2k? ,

?

? ? 2k? ? , k ? Z . 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? , k ? Z . 12

设 A ? ??

? ? 5? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? , B ? ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ,易知 A ? B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ? 4 4? ? 12 ?

所以, 当 x ? ? ? 递减.

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? 时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 ? ? , ? ? 上单调 ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4 12 ?

考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 考点:几何概型 26、 (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(I)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (II)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化 处理量。 参考数据:

?y
i ?1

7

i

? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

【答案】 (Ⅰ)理由见解析; (Ⅱ)1.82 亿吨.

9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103, 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92 . ? ? y ?b a
? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y ? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 考点:线性相关与线性回归方程的求法与应用. 27.(本小题 13 分) 某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费, 超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费,从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们某 月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:

(I) 如果 w 为整数, 那么根据此次调查, 为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米, w 至少定为多少? (II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的人 均水费. 【答案】 (Ⅰ)3; (Ⅱ)10.5 元.

所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85 %,用水量不超过 2 立方米的居民占 45 %. 依题意, w 至少定为 3 . (II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表: 组号 分组 频率 1 2 3 4 5 6 7 8

? 2, 4?
0.1

? 4,6?
0.15

? 6,8?
0.2

?8,10?
0.25

?10,12?
0.15

?12,17?
0.05

?17,22?
0.05

? 22, 27?
0.05

根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:

4 ? 0.1 ? 6 ? 0.15 ? 8 ? 0.2 ? 10 ? 0.25 ? 12 ? 0.15 ? 17 ? 0.05 ? 22 ? 0.05 ? 27 ? 0.05 ? 10.5 (元) .
考点:频率分布直方图求频率,频率分布直方图求平均数的估计值. 28、 (本小题满分 12 分)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一 易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此 搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所 需的费用(单位:元) , 表示购机的同时购买的易损零件数. (I)若 =19,求 y 与 x 的函数解析式; (II)若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于 0.5,求 的最小值; (III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损 零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购 买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?

【答案】 (I) 【解析】

(II)19; (III)19. ;

(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46,不大于 19 的频率为 0.7,故 的最小值为 19. (Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800,因此这 100 台机器在购买

易损零件上所需费用的平均数为 . 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件,则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4000,10 台的费用为 4500,因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平

均数为

.

比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 考点:函数解析式、概率与统计 29、 (本小题满分 12 分) 某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两 次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x,y.

奖励规则如下: ② 若 xy ? 3 ,则奖励玩具一个; ②若 xy ? 8 ,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (I)求小亮获得玩具的概率; (II)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

【答案】 (? )

5 .( ? )小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 16

试题解析:用数对 ? x, y ? 表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间 ? 与点集

S ? ?? x, y ? | x ? N , y ? N ,1 ? x ? 4,1 ? y ? 4?一一对应.因为 S 中元素个数是 4 ? 4 ? 16, 所
以基本事件总数为 n ? 16.

( ? )记“ xy ? 3 ”为事件 A . 则事件 A 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ? 2,1? , ?3,1? , 所以, P ? A ? ?

5 5 , 即小亮获得玩具的概率为 . 16 16

( ? )记“ xy ? 8 ”为事件 B , “ 3 ? xy ? 8 ”为事件 C . 则事件 B 包含的基本事件共有 6 个,即 ? 2,4? , ?3,3? , ?3,4?? 4,2? , ? 4,3? , ? 4,4 ? , 所以, P ? B ? ?

6 3 ? . 16 8

则事件 C 包含的基本事件共有 5 个,即 ?1,4? , ? 2,2? , ? 2,3? , ?3,2? , ? 4,1? , 所以, P ? C ? ? 因为

5 . 16

3 5 ? , 8 16

所以,小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点:古典概型 30、 (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间; (II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到的图 象向左平移

π π 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值. 3 6

【答案】 ( ? ) f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ? k ? Z ? , (或 12 ? ?

( k? ?

?
12

, k? ?

5? )?k ? Z ? ) 12

( ? ) 3.

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?
?
12

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12

所以, f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? (或 ( k? ?

? ?

, k? ?

5? ? ?k ? Z ?, 12 ? ?

?
12

, k? ?

5? ) ?k ? Z ? ) 12

考点:1.和差倍半的三角函数;2.三角函数的图象和性质; 3.三角函数的图象和性质.


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