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江苏省江阴市山观高级中学2016届高考数学一轮复习 概率 第3课时 相互独立事件同时发生的概率教学案


第 3 课时
基础过关

相互独立事件同时发生的概率

1.事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率 ,这样的两个事件叫独立事件. 2.设 A,B 是两个事件,则 A·B 表示这样一个事件:它的发生,表示事件 A,B ,类 似地可以定义事件 A1·A2·??An. 3.两个相互独立事件 A,B 同时发生的概率,等于

每个事件发生的概率的积,即 P(A·B) = 一般地, 如果事件 A1 , A2 ,?? , An 相互独立, 那么: P(A1· A2??An)= . 4.n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么 k k 在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 Pn ( k ) ? Cn P ( 1 ? P )n ?k . 典型例题 例 1. 如图所示,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1 、 N 2 ,当元件 A、B、C 都正 常工作时, 系统 N1 正常工作, 当元件 A 正常工作且元件 B、 C 至少有 1 个正常工作时系统 N 2 正 常工作,已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.8、0.9、0.9,分别求系统 N1 、 N 2 正常 工作时的概率.

解:分别记元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C, 由已知条件 P( A ) ? 0.80,P( B ) ? 0.90,P( C ) ? 0.90 (Ⅰ)因为事件 A、B、C 是相互独立的,所以,系统 N1 正常工作的概率
P 1 ? P( A ? B ? C ) ? P( A ) ? P( B ) ? P( C ) ? 0.80 ? 0.90 ? 0.90 ? 0.648

故系统 N1 正常工作的概率为 0.648.

(Ⅱ)系统 N 2 正常工作的概率
P2 ? P( A ) ? ?1 ? P B ? C ? ? P ? A ? ? ?1 ? P B ? P C ? , ? ? ? ? ? P B ? 1 ? P ? B ? ? 1 ? 0.90 ? 0.10,

?

?

? ? ? ?

P C ? 1 ? P ? C ? ? 1 ? 0.90 ? 0.10, ? P2 ? 0.80 ? ?1 ? 0.10 ? 0.10? ? 0.80 ? 0.99 ? 0.792.

? ?

? ?

故系统正常工作的概率为 0.792. 变式训练 1. 有甲、乙两地生产某种产品,甲地的合格率为 90%,乙地的合格率为 92%,从两 地生产的产品中各抽取 1 件,都抽到合格品的概率等于 ( ) A.112% B.9.2% C.82.8% D.0.8% 解:C 例 2. 箱内有大小相同的 20 个红球,80 个黑球,从中任意取出 1 个,记录它的颜色后再放回 箱内,进行搅拌后再任意取出 1 个,记录它的颜色后又放回,假设三次都是这样抽取,试回 答下列问题: ①求事件 A:“第一次取出黑球,第二次取出红球,第三次取出黑球”的概率; ②求事件 B:“三次中恰有一次取出红球”的概率. 解:(①
48 16 ;② 125 125

变式训练 2:从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出 1 个红球的概率是 ,从两袋

1 3

1 2

-1-

中各摸出 1 个球,则 等于

2 3

( )

A.2 个球不都是红球的概率 B.2 个球都是红球的概率 C.至少有 1 个红球的概率 D.2 个球中恰好有 1 个红球的概率 解:C 例 3. 两台雷达独立工作,在一段时间内,甲雷达发现飞行目标的概率是 0.9,乙雷达发现目 标的概率是 0.85,计算在这一段时间内,下列各事件的概率: (1)甲、乙两雷达均未发现目标; (2)至少有一台雷达发现目标; (3)至多有一台雷达发现目标 解:①0.015; ②0.985; ③0.235 变式训练 3:甲、乙、丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率为 ,甲、乙、丙三人都做对 的概率是
1 1 ,甲、乙、丙三人全做错的概率是 . 24 4 1 2

(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率. 解: ① , 或 , ;②
1 3 1 4 1 4 1 3
11 24

例 4. 有三种产品,合格率分别为 0.90,0.95 和 0.95,各取一件进行检验. (1)求恰有一件不合格的概率; (2)求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.01) 解:设三种产品各取一件,抽到的合格产品的事件分别为 A、B 和 C (Ⅰ)因为事件 A、B、C 相互独立,恰有一件不合格的概率为
P A? B ?C ? P A? B ?C ? P A? B ?C

?

? ?

? P ? A? ? P ? B ? ? P C ? P ? A ? ? P B ? P ? C ? ? P A ? P ? B ? ? P ? C ? ? 0.90 ? 0.95 ? 0.05 ? 0.90 ? 0.05 ? 0.95 ? 0.10 ? 0.95 ? 0.95 ? 0.176

? ?

? ?

? ?

?

? ?

答:恰有一件不合格的概率为 0.176. (Ⅱ)解法一:至少有两件不合格的概率为

P A? B ?C ? P A? B ?C ? P A? B ?C ? P A? B ?C ? 0.90 ? 0.052 ? 2 ? 0.10 ? 0.95 ? 0.05 ? 0.10 ? 0.052 ? 0.012
答:至少有两件不合格的概率为 0.012. 解法二:三件都合格的概率为:

?

? ?

? ?

? ?

?

P ? A ? B ? C ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ?C ? ? 0.90 ? 0.952 ? 0.812
由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为 0.176,所以至少有两件不合格的概率为
1? ? ? P ? A ? B ? C ? ? 0.176? ? ? 1 ? ? 0.812 ? 0.176? ? 0.012 答:至少有两件不合格的概率为 0.012.

-2-

变式训练 4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等 品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 , 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零 件不是一等品的概率为
2 1 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .①分别求甲、 12 9 1 4

乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检 验,求至少有一个一等品的概率. 解:① , , ;② 小结归纳 1.当且仅当事件 A 与事件 B 互相独立时,才有 P ? AB ? ? P ? A? ? P ? B ? ,故首先要搞清两个事件的 独立性. 2.独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位,这种试验的结果只有两种,我们主要研究
n ?k k k 在 n 次独立重复试验中某事件发生 k 次的概率:Pn ? k ? ? Cn , 其中 P 是 1 次试验中某 P ?1 ? P ?

1 3

1 4

2 3

5 6

n n?k k k 事件发生的概率, 其实 Cn 正好是二项式 ? 的展开式中的第 k+1 项, 很自然 P ?1 ? P ? ??1 ? P ? ? P ? ?

地联想起二项式定理.

-3-


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