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三小时解答模拟测试试题一2012年全国高中数学联赛


三小时解答模拟测试试题一 2012 年全国高中数学联赛
1.三个等圆⊙O1,⊙O2,⊙O3,两两外切且均内切于⊙O,从⊙O 上任意一点向三个小圆引三条 切线,求证:其中必有一条切线长等于另两条切线长的和.

2.设 a,b,c∈(1,+∞),证明:2(

log b a log c b log a c 9 + + )≥ . a+b b+c c+a a+b+c

3.试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.

4、如图,已知三角形 ABC 的内心为 I,AC≠BC,内切圆与边 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F, S = CI I EF ,连结 CD 与内切圆的另一个交点为 M,过 M 的切线交 AB 的延长线于点 G.求证: (1) ?CDI ∽ ?DSI ; (2) GS ⊥ CI

5、设 a, b, c 是正整数,关于 x 的一元二次方程 ax + bx + c = 0 的两实数根的绝对值均小于
2

a + b + c 的最小值.

1 ,求 3

6.甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的 多 2 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得 分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 < p < 1 ) ,乙获胜的概 率为 q = 1 ? p .假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ξ 次结束,求 ξ 的期望 Eξ 的变化范围.

全国高中数学联赛竞赛 考试范围
全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高级中 学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增 加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是: 1.平面几何 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。 几何不等式。 几何极值问题。 几何中的变换:对称、平移、旋转。 圆的幂和根轴。 面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。 2.代数 周期函数,带绝对值的函数。 三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。 递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。 平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。 多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的 插值公式*。 n 次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代,简单的函数方程* 3. 初等数论 同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数 [x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。 4.组合问题 圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。 组合计数,组合几何 抽屉原理 容斥原理 极端原理 图论问题 集合的划分 覆盖 平面凸集、凸包及应用* 注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。


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