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浙江省杭州地区重点中学2014-2015学年高二第一学期期中联考数学试题(文理合卷) Word版


浙江省杭州地区重点中学 2014-2015 学年高二第一学期期中联考数 学试题(文理合卷)
考生须知: 1.本卷满分 120 分,考试时间 100 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题

4 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是( ▲) A. 30? B. 45? C. 60? D. 120?

2.下列说法正确的是( ▲ ) A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球 3.已知两条直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0 和 l2 : (k ?1) x ? 2 y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k =( ▲) A.1 或-2 B.-1 或 2 C. 1 或 2 D.-1 或-2

4.直线 l 与直线 y ? 1 ,直线 x ? 5 分别交于 P,Q 两点,PQ 中点为 M(1,-1) ,则直线 l 的斜率是( ▲) A. ?

1 2

B.

1 2

C. 2

D.-2

5.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n C.若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? B.若 m / / n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D. 若 m / /? , ? ? ? ,则 m ? ?

6.如图是一个空间几何体的三视图,其正视图是一个边长为 2 的正三角形, 俯视图是一个斜边长

为 2 的等腰直角三角形,侧视图是一个两直角边长分别为 3 和 1 的直角三角形,则此几何 体的 体积为 ( ▲) A.

3 3

B.1

C.

3 2

D.2

7.若直线 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) 在两坐标轴上的截距相等,则 a, b, c 满足的条件是( ▲) A. a ? b B. | a |?| b | C. c ? 0或a ? b D. c ? 0或 a ? b

8.ABCD 为空间四边形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M、N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点, 则 MN 与( ▲) A. AC、BD 之一垂直 垂直 9.如图,三棱锥 P-ABC 的底面是正三角形,各条侧棱均相等,∠APB<60°.设动点 D、E 分 别在线段 PB、PC 上,点 D 由 P 运动到 B,点 E 由 P 运动到 C,且满足 DE∥BC,则下列结论正确的是 ( ▲) A.当点 D 满足 AD⊥PB 时,△ADE 的周长最小 B.当点 D 为 PB 的中点时,△ADE 的周长最小 C.当点 D 满足 PD ? B. AC、BD 都垂直 C.AC、BD 都不垂直 D. AC、BD 不一定

1 PB 时,△ADE 的周长最小 3

D.在点 D 由 P 运动到 B 的过程中,△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,P 为棱 AA ' 上一动点,Q 为 底面 ABCD 上一动点,M 是 PQ 的中点,若点 P,Q 都运动时, 点 M 构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是( ▲) A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D.球的一部分
B' P M A B D C

A' C'

D'

二.填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1, B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角为 ▲ . ▲ .

Q

12.已知长方体的三边长分别是 3,4,5,则它的外接球的表面积是

13.已知圆锥的底面半径为 1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长 为 ▲ . 14.如左下图,在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,底面 ABC 是正三角形, AA' ? 底面 ABC ,

且 AB =1, AA ' =2,则直线 BC ' 与平面 ABB 'A ' 所成角的正弦值为
A' C' B'



.

A
第 14题图

C B

15.已知一个三棱锥的各棱长都为 1,它的正视图是如右上图所视的等腰三角形,则该四面 体的侧视图 ... 面积为 ▲ .

16.已知实数 a、b、c 满足 a ? b ? c ? 0 则原点 O(0, 0) 到直线 ax ? by ? c ? 0 的距离的最 大值 为 ▲

.

17.若当 x ? (?1, ??) 时,k ( x ?1) ? x ? k ? 2 ?1 (k ? R) 恒成立, 则实数 k 的取值范围是 ▲ .

三、解答题:(共 4 小题,共 52 分,解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分 12 分)如图多面体中,正方形 ADEF 所在的平面与直角梯形 ABCD 所在的 平面垂直, 且 AD ? AB ?

1 CD , AB // CD , M 为 CE 的中点. 2
F

E

(1)证明: BM // 平面 ADEF ; (2)证明:平面 BCE ? 平面 BDE .

M

D C A B

19.(本小题满分 12 分)已知点 A(2,2) ,直线 l : y ? 2 x ? 1 .

(1)求点 A 关于直线 l 的对称点 A ' 的坐标; (2)当点 B,C 分别在 x 轴和直线 l 上运动时,求 ?ABC 周长的最小值.

20. (本小题满分 14 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? ?APB ? 90? ,

AB ? 4MB ,且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD .
(1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 DM 与平面 PCD 所成角的正弦值.

21.(本小题满分 14 分)在等边三角形 ABC 中,AB=2,E 是线段 AB 上的点(除点 A 外) ,过 点 E 作 EF ? AC 于点 F,将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?PEF (点 A 与点 P 重合,如图),使得

3 (1) 求证: EF ? PC ;
(2) 试问,当点 E 在线段 AB 上移动时,二面角 P-EB-C 的大小是否为定值? 若是,求出这个二面角的平面角的正切值,若不是,请说明理由.

?PFC ?

?



A F E B C B
E F

P

C

参考答案

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 A 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 60
0

12.50 ?

13. 2

14.

15 10

15.

2 4

16. 2

17. (??, ?2] [0,1]

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 解析: (1) (解法一)取 DE 的中点 N ,连结 MN , AN . 在 ?DEC 中,因为 M,N 分别为 EC,ED 的中点,
F E

1 所以 MN // CD ,且 MN ? CD . 2 1 又因为 AB // CD , AB ? CD , 2

N

M

D

P C

A

B

所以 MN // AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABMN 为平行四边形, 故 MB // NA , 又因为 MB ? 平面 ADEF , NA ? 平面 ADEF , 所以 BM // 平面 ADEF . (解法二)取 DC 的中点 P ,连结 MP, BP . 在直角梯形 ABCD 中,因为 AB // CD , AB ? 所以 AB // DP ,且 AB= DP , 故四边形 ABPD 为平行四边形,所以 BP // AD . 在 ?DEC 中,因为 M,P 分别为 EC,DC 的中点,所以 MP // ED . 又因为 MP (5 分)

1 1 CD , DP ? DC , 2 2

PB ? P , ED

DA ? D ,

所以平面 MPB // 平面 EDA , 又因为 MB ? 平面 MPB ,所以 BM // 平面 ADEF . (2)直角梯形 ABCD 中, AB // CD ,设 AD ? AB ? 所以 BD ? BC ? (5 分)

1 CD ? a , 2

2a , CD ? 2a ,
(8 分)

2 2 2 故 BD ? BC ? CD ,所以 BD ? BC .

因为平面 ADEF ? 平面 ABCD , 又平面 ADEF 平面 ABCD ? AD , ED ? AD ,

所以 ED ? 平面 ABCD , 故 ED ? BC . 又因为 BD (10 分) (11 分) (12 分)

ED ? D ,所以 BC ? 平面 BDE .

又因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BCE ? 平面 BDE . 19.(本小题满分 12 分)

解:( 1)设A '(a, b), 则有 ?b ? 2 2 a?2 ? a?- , ? 2? ?1 ? ? ? 2 ? 5 2 解得 ? ? b 2 1 16 ? ?b? ?? ? a 2 2 5 ? ? 2 16 ?点A '的坐标为(- , ).???(6分) 5 5
(2)点A关于x轴的坐标为A ( 2 2,-2) 2 16 820 2 205 A ' A2 ? (- - 2) 2 ? ( ? 2) 2 ? = , 5 5 5 5 则?ABC周长的最小值是 2 205 ..??? (12分) 5

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 AB ? 2PB ? 4BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD , 所以 PM ? 面 ABCD , 且 PM ? 面 PAB. 所以,面 PAB ? 面 ABCD .………(6 分) (2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , 所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD ,得到平面 PMH ? 平面 PCD , 平面 PMH ? 平面 PCD ? PH ,过点 M 作 MN ? PH ,即有 MN ? 平面 PCD , 连结 DN ,则 ?MDN 为直线 DM 与平面 PCD 所成角. ………(10 分)

在四棱锥 P ? ABCD 中,设 AB ? 2t , 则 DM ?

13 3 7 5 4 5 7 3 t , MH ? t ,∴ PH ? t , MN ? t, t , PM ? 2 10 5 16 2

从而 sin ?MDN ?

MN 7 39 ,………(13 分) ? DM 104

即直线 DM 与平面 PCD 所成角的正弦值为

7 39 .………(14 分) 104

21. (本小题满分 14 分)

(1)证明: EF ? PF , EF ? FC, PF ? FC ? F ,? EF ? 平面PFC. 又PC ? 平面PFC,? EF ? PC. (5分)
(2)由( 1)知EF ? 平面PFC , ? 平面BCFE ? 平面PFC. 作PH ? FC交FC于点H , 则PH ? 平面BCFE 作HG ? BE交BE于点G,连结PG,则BE ? PG, 所以?PGH 就是二面角的平面角 (10分)

设AF ? x, 据题意有0 ? x ? 1. x 3 ?PFC ? 600 ,? FH ? , PH ? x, 2 2 3 3 在图形( 1)中可求得GH ? x, 4 PH 2 ? tan ?PGH ? ? . (13分) GH 3 ?当点E在线段AB上移动时,二面角P ? EB ? C的大小定值, 2 这个二面角的平面角的正切值为 . (14分) 3
备注:对于简答题的其他解法,请参照评分标准评分.


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